湖北省武漢職業(yè)技術學院商學院(430074) 鄒峰

本文就近幾年高考數(shù)學及競賽中所出現(xiàn)的遞推數(shù)列問題，分三種類型給出了矩陣思想的相應求解方法，用矩陣思想來求解數(shù)列問題有時比常規(guī)做法要來得更簡便、快捷些；同時讓我們的數(shù)學思想得到進一步的拓展.

文[1-2]將幾類常見的數(shù)列通項能統(tǒng)一為用二階矩陣的方冪求解；在特征互異的情況下用二階矩陣的特征向量求解，特征根相同的情況下用矩陣變換和特征多項式理論求解；文[3]將線性分式函數(shù)的n次迭代問題都轉化為與之相應矩陣的n次迭代的一般公式；文[4]巧構矩陣及矩陣變換理論知識解n元遞推數(shù)列通項公式.

類型1二階遞推式a1=a，a2=b，an=pan-1+qan-2+f(n)，p,q為常數(shù)且n≥3 類型數(shù)列通項的求法

此類二階線性遞推數(shù)列關系式可以寫成如下的矩陣形式：

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，且an+2=4an+1+12an+3n(n ∈N?)，求數(shù)列{an}的通項公式.

解設an+2-A·3n+2=4(an+1-A·3n+1)+12(an-A·3n)(A為待定常數(shù))，展開式比較系數(shù)可知則令則bn+2=4bn+1+12bn，易知則λ2-4λ -12，于是A的特征根為λ1=-2，λ2=6 與之對應的特征向量分別為設則

于是

例2在數(shù)列{an}中，a1=a2=0 且an+2=6an+1-9an+8(n ∈N?)，求數(shù)列{an}的通項公式.

解將遞推關系式改寫為矩陣形式如下：

令A=則因為A的特征多項式f(λ)=|λI-A|=所以特征根出現(xiàn)重根λ1=λ2=3，取則A=PCP-1，即An=PCnP-1.因為3I -9D，注意到(n≥2)，所以

評注一般的二階a1=a，a2=b，an=pan-1+qan-2+f(n)，p,q為常數(shù)且n≥3 求通項，方法一：通過待定系數(shù)法轉化為二階線性遞推式，再改寫成矩陣形式，從而求通項可以轉化為矩陣方冪問題；方法二：直接根據(jù)遞推式特點和二階線性遞推式改寫成矩陣形式的技巧，把遞推式轉化為矩陣形式，從而求通項可以轉化為矩陣方冪問題.

類型2遞推式a1=a，a2=b，an+2=a,b,c,d,e,f為常數(shù)，n ∈N?類型求數(shù)列通項的求法.

例3數(shù)列{an}滿足求{an}的通項公式.

解設an=其中bn,cn都是正整數(shù).即有

當n=2k-1(k=1,2,3,···)時，有

a2k-1=當n=2k(k=1,2,3,···)時，有

a2k=所以an=N?).

評注處理方法換元后，將轉化為二階遞推數(shù)列關系式，然后利用矩陣思想可達到思路清晰，一目了然的效果.

類型3遞推式a0=1，b0=0，c0=0，a,b,c,d,e,f為常數(shù)，類型求數(shù)列通項的求法.

例4每次隨機地從正三角形的一個頂點跳到另一個相鄰的頂點，求跳6 后返回到原頂點的概率.

解設正角形的三個頂點為A,B,C.設an,bn,cn.為從A點出發(fā)，跳n次后到達A,B,C點的概率.當n=0 時，顯然有.由題意可知，轉移概率矩陣為

所以有

可見，跳n次后回到A點的概率為(n=0,1,2,···).所以，跳6次后回到A點的概率為

評注此類問題歸結于巧用矩陣思想，解決遞推式數(shù)列中的概率問題.

總結上述問題在高中階段只是在選修系列4(矩陣與變換)中有矩陣的一些初步知識，但對興趣愛好者要加深學習，會用高等數(shù)學的思想做高考和競賽試題.