廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

函數(shù)的零點(diǎn)問題是新課標(biāo)增加的考查內(nèi)容，這種問題往往具有知識點(diǎn)多、覆蓋面積廣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，是集數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論四大數(shù)學(xué)思想方法于一身的良好題材，能有效考查學(xué)生的思維水平和解題能力.隨著高考對導(dǎo)數(shù)知識考查的深入，進(jìn)一步拓寬了對函數(shù)零點(diǎn)問題的命題空間和解題空間，以致在近幾年來的高考或模擬考中，試題的難度、深度和廣度都在不斷加大，試題的背景、結(jié)構(gòu)、交匯更加豐富、更加活潑、更加新穎.函數(shù)零點(diǎn)問題已悄然成為逐步升級的高考亮點(diǎn)和高考熱點(diǎn).本文筆者將通過對高考題或高考模擬題中函數(shù)零點(diǎn)問題的解法及處理策略的研究與探討，總結(jié)歸納了函數(shù)零點(diǎn)問題的一般性解題策略和方法，以期對廣大師生在解決此類問題時(shí)帶來一定的幫助.

一.函數(shù)零點(diǎn)與不等式證明的綜合問題

例1[1]已知x1,x2是函數(shù)f(x)=ex-ax的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1＜x2，求證：x1x2＜1，x1+x2＞2.

點(diǎn)評本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運(yùn)用，涉及了函數(shù)零點(diǎn)及不等式證明問題，解答的關(guān)鍵在于利用消元思想，先消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為含雙變量x1,x2的不等式，再利用“二元化一元”的思想，通過等價(jià)換元再構(gòu)造函數(shù)得證，常需利用到高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則.x1+x2＞2 的證明也可利用函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的一般處理策略.詳細(xì)解答請參見[1].

例2[1],[4](2016年全國卷I 理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(I)求a的取值范圍；

(II)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2.

點(diǎn)評本題考查函數(shù)零點(diǎn)概念以及導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析問題、解決問題的能力，綜合考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想.詳細(xì)解答參見[1]及[4].

第(II)問要求證明的兩個(gè)零點(diǎn)滿足x1+x2＜2，將函數(shù)與不等式有機(jī)結(jié)合，試題設(shè)置不能直接求出零點(diǎn)，證法一需要考生打破常規(guī)思路，將x1+x2＜2 轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(2-x2)，進(jìn)而通過構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(2-x)，研究輔助函數(shù)g(x)的單調(diào)性得到問題的證明! 此問對考生運(yùn)用所學(xué)知識尋找合理的解題策略以及推理論證能力都提出了較高要求，突出選拔功能! 證法二利用函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的處理策略，是程序化解法.目前，極值點(diǎn)偏移問題的流行解法與2010年天津市高考題的命題結(jié)構(gòu)具有高度的近似性，形成了程序化思路.當(dāng)導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、難于求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，可以通過二階求導(dǎo)、對解析式的局部求導(dǎo)、調(diào)整解析式結(jié)構(gòu)后再求導(dǎo)來解決極值問題.該題第(II)問題干設(shè)置與解法同2010年天津20 題第(3)問，其題目如下：

(2010年天津理)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x ∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1 對稱.證明：當(dāng)x＞1 時(shí)，f(x)＞g(x)；

(3)如果x12且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2＞2.

二.不等式證明中的隱性零點(diǎn)問題

例3[1]-[4](2013年課標(biāo)II 理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0 是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2 時(shí)，證明：f(x)＞0.

詳細(xì)解答請參見[1]或[4].

點(diǎn)評證法一優(yōu)先消去參m，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，思路雖簡單，但由于最小值φ(x0)對應(yīng)的x0不可求，涉及函數(shù)隱性零點(diǎn)問題，需利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理及設(shè)而不求法較巧妙地解決了該證明問題，對思維及轉(zhuǎn)化能力的要求相當(dāng)高.證法二利用函數(shù)型不等式：ex≥x+1(x ∈R)及l(fā)n(x+1)≤x(x＞-1)進(jìn)行放縮證明，證明過程相當(dāng)快捷、簡便.證法三利用“公切線”法證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，方法相當(dāng)精妙，可實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)放縮，證明方向也相當(dāng)明確.但此方法只適用于一凸、一凹函數(shù)類型，若兩函數(shù)同為凸函數(shù)或凹函數(shù)，可對不等式作適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為一凸、一凹函數(shù)類型，再用“公切線”法證明.通過一題多解的例題講解，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與深刻性，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

方法的優(yōu)化、拓展、一般化

下面把證法二、三的方法優(yōu)化、整合拓展一下，常見的函數(shù)y=ex，y=lnx，y=xlnx(x＞0)我們均可以把它們放縮為如下一次函數(shù)形式(可利用構(gòu)造函數(shù)法證明)：

函數(shù)型不等式1ex≥kx+k-klnk(k＞0).

函數(shù)型不等式2lnx≤kx-lnk-1(x＞0，k＞0)，該不等式可變式為：lnx≤e-(m+1)x+m(x＞0，m ∈R).

函數(shù)型不等式3xlnx≥kx-ek-1(x＞0，k ∈R).

三.函數(shù)零點(diǎn)與不等式恒成立條件下的參數(shù)取值范圍問題

例4(2010 海南、寧夏文第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.

(1)略；(2)若當(dāng)x≥0 時(shí)，f(x)≥0.求a的取值范圍.

解析當(dāng)x≥0 時(shí)，f(x)≥0?g(x)=ex-1-ax≥0.當(dāng)x=0 時(shí)，g(x)≥0 恒成立，此時(shí)a ∈R.當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≥0?a≤設(shè)設(shè)h(x)=xex -ex+1(x＞0)，因?yàn)閔′(x)=xex＞0，所以h(x)在(0,+∞)上遞增，所以h(x)＞h(0)=0，所以φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0,+∞)上遞增，所以φ(x)＞φ(0)，但φ(0)無意義.

解法一因?yàn)橛筛叩葦?shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則有所以

解法二聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的概念得所以a的取值范圍為(-∞,1].

點(diǎn)評本題分離參數(shù)后多次構(gòu)造函數(shù)或局部函數(shù)求導(dǎo)，最后遇到了一個(gè)“不定型”函數(shù)極限問題.如何突破該解題障礙? 解法一利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則，輕松破解了該壓軸題，但由于涉及高等數(shù)學(xué)知識，普通學(xué)生不易理解掌握；解法二結(jié)合函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的概念，非常巧妙地破解了該壓軸題.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用的“根”和“本”，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地.

例5(2017 全國II 文科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)略；(2)當(dāng)x≥0 時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1?a≥設(shè)函數(shù)所以設(shè)函數(shù)h(x)=1-(x3+x2-x+1)ex，因?yàn)閔′(x)=-(x3+4x2+x)ex＜0，所以h(x)在(0,+∞)上遞減，所以h(x)＞h(0)=0，所以φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0,+∞)上遞增，但φ(0)不存在，聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)概念有1，所以a≥1，所以a的取值范圍為[1,+∞).

例6(2015年武漢模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2+ln(x+1).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式f(x)＞-x2(k ∈N?)在(0,+∞)上恒成立，求k的最大值.

解(1)略；(2)解法一直接分離參數(shù)

解法二線性分離方式

由題意，1+ln(x+1)＞在(0,+∞)上恒成立.設(shè)g(x)=1+ln(x+1)-(x＞0)，則g′(x)=

(1)當(dāng)k=1 時(shí)，則g′(x)=所以g(x)單調(diào)遞增，g(0)=1＞0，即g(0)＞0 恒成立.

(2)當(dāng)k＞1 時(shí)，則g(x)在(0,k -1)上單調(diào)遞減，在(k-1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)的最小值為g(k-1)，只需g(k-1)＞0 即可，即lnk-k+2＞0.設(shè)h(k)=lnk-k+2則h(k)單調(diào)遞減，因?yàn)閔(2)=ln 2，h(3)=ln 3-1＞0，h(4)=ln 4-2＜0，所以k的最大值為3.

四.求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例7已知函數(shù)f(x)=klnx-x2，k ∈R.

(1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求k的取值范圍；

(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析(1)略； (2)恰當(dāng)分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合，常需分類討論.

當(dāng)k=0 時(shí)，f(x)=-x2(x＞0)沒有零點(diǎn).當(dāng)k0 時(shí)方程f(x)=設(shè)g(x)=(x＞0)，則g′(x)則有而x→0 且x＞0，g(x)→-∞；x→+∞且x＞0，g(x)→0 且g(x)＞0.

圖1