華中師范大學第一附屬中學(430223) 王雪冰

華南師范大學數(shù)學科學學院(510630) 林曉珊

一、2016-2018年全國卷I 卷試題考點分析

為了更好的把握考點，突破重點，筆者將近3年全國文理I 卷中解析幾何考點做了整理，以求更好地探索出命題規(guī)律，提高高考二輪復習的針對性，整理如下表一、表二.

表二：2016-2018年全國卷I 解析幾何文科考點統(tǒng)計表

由表一、二可知近3年全國I 卷中解析幾何的考查特點：

(1)題量穩(wěn)定，分值穩(wěn)定.2016-2018年全國高考文理I 卷嚴格遵循考綱要求，考查題量一般為三道題，均為兩道小題一道大題，分值穩(wěn)定，均為22 分.

(2)知識考查以基礎(chǔ)為主，穩(wěn)中有升.在宏觀知識的考查范圍上，圓、橢圓、雙曲線、拋物線均有涉及，其中雙曲線的考查以客觀題為主，橢圓與拋物線較多作為解答題的載體.

在客觀題的考查上，理科主要以雙曲線、拋物線為主，文科主要以橢圓、圓與直線為主.考查內(nèi)容主要是圓錐曲線、直線與圓的定義、幾何性質(zhì)及基本量求解.難度則是基礎(chǔ)與中等相結(jié)合，題型新穎，位置不定.

在解答題中，理科主要以橢圓為載體，文科主要以拋物線為載體，來考查定點、定值問題，弦長問題，面積問題，范圍問題、探索性問題等，其中定點、定值問題是近年高考理科解答題的考查熱點.解答題題目設(shè)問層層遞進，第一問難度較緩，均為考查基本知識點，第二問有一定的難度梯度，主要考查學生邏輯推理能力、分析與計算能力.解答題一般作為倒數(shù)第二道壓軸題目，著重考查學生對知識的綜合應(yīng)用能力.

(3)解法多種，趨向于多想精算.高考數(shù)學注重對學生基本概念和思想的考查，而解析幾何則更注重“代數(shù)”與“幾何”相結(jié)合.如果許多題目僅通過代數(shù)解決問題會相對繁瑣，但從“幾何角度”入手可以更為簡便地剖析出問題本質(zhì)，再輔以計算，則既可精簡計算量，又可逐步培養(yǎng)學生邏輯推理分析能力.

二、常見考題類型

為了使高考二輪復習更加有針對性，筆者通過整理近3年全國文理卷的相同考點分布情況，總結(jié)出六種?？碱}型，希望能夠給讀者提供一定的啟示.

題型一：考查曲線定義及標準方程問題

表三：2016-2018年全國文、理科卷曲線定義及標準方程考查統(tǒng)計表

由表三可以發(fā)現(xiàn)全國卷對于曲線定義及標準方程的考查較為簡單，均只考查簡單定義，故只要學生牢牢掌握住曲線定義即可解決問題.

例1(2017年高考全國卷I 文科)設(shè)A,B是橢圓長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是( )

A.(0,1]∪[9,+∞) B.

C.(0,1]∪[4,+∞) D.

解析①當0＜m＜3 時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB=120°，則即得0＜m≤1； ②當m＞3 時，焦 點在y軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB=120°，則即得m≥9，故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞)，選A.

總結(jié)基于圓錐曲線的定義，求解其標準方程基本的步驟是：先定形，再定量.在本題中，學生只有牢牢抓住問題本質(zhì)，才能領(lǐng)悟需要分類討論的原因.由此體現(xiàn)出鞏固基礎(chǔ)知識十分重要.

對于一般求標準方程問題考查的幾種基本解法為：

①直接求，圓錐曲線的一般方程多考慮用待定系數(shù)法來確定方程的基本量(如a,b,c,e)，進而確定曲線方程(2017年高考全國卷III 理科第5 題)；

②若所求為雙曲線方程且已知漸近線，則可利用設(shè)公共漸近線的雙曲線為來求解(如2015年新課標II 文科卷第15 題).

題型二：考查橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)(以離心率、漸近線為主)

表四：2016-2018年高考全國卷離心率與漸近線考查統(tǒng)計表

由表四可以發(fā)現(xiàn)，解析幾何對于幾何性質(zhì)的考查相對全面，建議教師在復習過程中不僅要引導學生學會用一般的代數(shù)方法解決，也要引導其學會從簡單的幾何性質(zhì)入手輔助計算來快速解決問題.

常見幾種考查曲線幾何性質(zhì)的類型：

①若圖形中出現(xiàn)三角形，可多考慮正、余弦公式(如2018年高考全國卷III 理科第12 題)，正、余弦定理(如2018年高考全國卷II 理科第11 題)，全等、相似三角形(如2016年高考全國卷|lm3 理科第11 題)等.

②若圖形為圓錐曲線與直線相結(jié)合，則需多考慮點到直線距離公式(如2017年高考全國III 理科第10 題)，兩點之間距離公式，正、余弦公式，向量基本定理等.

同時在解題過程中輔助以二級推論(如雙曲線焦點到漸近線距離為定值，橢圓、雙曲線焦半徑為定值等)，同時結(jié)合曲線基本定義與幾何性質(zhì)則可以更為便捷解決問題.

例2(2016年高考全國卷III 理科)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，A,B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為( )

解析

解法1(代數(shù)角度)由題可知F(-c,0)，A(-a,0)，設(shè)BM與y軸交點為G.設(shè)直線l為y=k(x+a)(k＞0)①，可得E(0,ak)，由題可知PF:x=-c②，聯(lián)立① ②可得M(-c,k(a - c))，所以直線BM斜率為故BM為解得由題可知直線BM經(jīng)過OE中點，故解得a=3c，所以橢圓C的離心率為

解法2(幾何角度)由題意設(shè)直線l的方程為y=k(x+a)，分別令x=-c與x=0 得|FM|=|k|(a-c)，|OE|=|k|a.設(shè)OE的中點為N，則△OBN～△FBM，則即整理，得所以橢圓C的離心率為故選A.

總結(jié)由例2 兩種解法可知，幾何角度比代數(shù)角度更為快捷直接，這反映了高考對學生的要求不僅僅是模式化的計算能力，更是要求學生具有邏輯思維能力與分析能力.培養(yǎng)學生從幾何角度分析問題不僅可以簡化計算量，而且可以更好的培養(yǎng)學生數(shù)學思維與能力.同時也可發(fā)現(xiàn)，讓學生記憶一些二級推論有助其更迅速地聯(lián)想到幾何性質(zhì)，同時加快解題速度.

題型三：考查拋物線幾何性質(zhì)(以準線為主)問題

表五：2016-2018年全國文、理科卷拋物線幾何性質(zhì)問題考查統(tǒng)計表

拋物線的準線是拋物線一個十分重要的幾何性質(zhì)，它可以將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行相互轉(zhuǎn)化，促進問題簡單化.

例3(2017年高考全國卷II 理科)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=____.

解析如圖所示，不妨設(shè)點M位于第一象限，設(shè)拋物線的準線l與x軸交于點F′，作MB⊥l于點B，NA⊥l于點A，由拋物線的解析式可得準線方程為x=-2，則|AN|=2，|FF′|=4，在直角梯形ANFF′中，中位線由拋物線的定義有：|MF|=|MB|=3，結(jié)合題意，有|MN|=|MF|=3，故|FN|=|FM|+|MN|=3+3=6.

圖1

題型四：考查(軌跡)方程問題

表六：2016-2018年全國文、理科卷(軌跡)方程問題考查統(tǒng)計表

運動軌跡所給出來的條件千差萬別，因此求軌跡方程的方法也是多種多樣，常用的幾種方法主要有：待定系數(shù)法、直譯法、相關(guān)點法、參數(shù)法.

①待定系數(shù)法：從題目中已知曲線的定義(如橢圓、雙曲線等)，通過條件確定已知常量，即得出軌跡方程(如2018年高考全國卷II 理科第19 題)；

②直譯法：求軌跡方程最常用的方法，通過題目條件代入滿足幾何的等量數(shù)量關(guān)系，求出其結(jié)果.

③相關(guān)點法：動點P的軌跡是與另一動點相關(guān)的，建立兩者之間的等量關(guān)系即可求出結(jié)果(如2017年高考全國卷III 理科第20 題).

例4(2016年高考全國卷III 理科)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.

(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

解析由題設(shè)設(shè)l1:y=a，l2:y=b，則ab0，設(shè)R為PQ中點，記過A,B兩點的直線為l，則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.

(2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0)，則由題設(shè)可得所 以x1=0 (舍去)，x1=1.設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).當AB與x軸不垂直時，由kAB=kDE可得而所以y2=x-1(x1).當AB與x軸垂直時，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2=x-1.

例5(2018年高考全國卷II 理科)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A,B兩點，|AB|=8.

(1)求直線l的方程；

(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

解析(1)l的方程為y=x-1(過程略).

(2)解法一(純代數(shù)角度)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0)，則半徑為x0+1，圓心到AB的距離為又因為圓心在直線y=-x+5，所以可得解得或因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.

解法二(幾何、代數(shù)角度相結(jié)合)由拋物線的二級推論可知，以直線AB的中點M為圓心，以AB長度為半徑的圓與拋物線的準線相切.故半徑為4，可求得(x-3)2+(y-2)2=16.另一解法則可由r=|MA|解得.

總結(jié) 例4 采用的是直譯法，通過題目的已知三角形面積建立等價的數(shù)量關(guān)系，從而得出軌跡方程.例5 則是采用待定系數(shù)法，已知所求為圓的方程，通過圓的幾何性質(zhì)求出圓點與半徑.因此求曲線的軌跡方程要學會“執(zhí)果”并采取適當方法入手“索因”，以此更高效地解決問題.

題型五：考查曲線的定點、定值問題

定點、定值問題是近幾年高考理科大題的熱點，從表七可以得知，近兩年的全國I、II 卷考查頻率較高，題目相對來說較為靈活，需要學生從“變”中尋找“不變”，牢牢抓住問題變化的關(guān)鍵.

表七：2016-2018年全國文、理科卷曲線定點、定值問題考查統(tǒng)計表

化解定點這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等.根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

解決直線過定點問題通法：設(shè)出直線方程，通過已知條件找出一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可.

圓錐曲線定點問題的幾種常用解法：

①“手電筒”模型：過圓錐曲線上某一點P的直線與曲線交于A,B兩點，只要任意一個限定條件(如kAP ·kBP=定值，kAP+kBP=定值，P為某特殊點等)直線AB會過某定點(如例5).

②切點弦恒過定點(如2017年高考全國卷II 理科第20 題)；

③相交弦恒過定點；

例6(定點問題)(2017年高考全國卷I 理科)已知橢圓四點P1(1,1)，P2(0,1)，中恰有三點在橢圓C上.

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解析(1)過程略.C的方程為(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2，如果l與x軸 垂 直，設(shè)l:x=t，由題設(shè)知且|t|＜2，可得A,B的坐標分別為則得t=2，不符合題設(shè).從而可設(shè)l:y=kx+m(m1).將y=kx+m代入得，(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，即由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)＞0.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則而由 題 設(shè)k1+k2=-1，故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0，即(2k+1)·解 得又因為4k2- m2+1＞0，可得m＞-1.當且僅當m＞-1時，Δ＞0，所以l 的方程為：即所以l過定點(2,-1).

圓錐曲線定值問題的幾種常用解法：

(1)特殊探路，一般論證.(從特殊入手，求出其值，再證明這個值與變量無關(guān).這符合一般到特殊的思維辯證關(guān)系)

(2)直接推理、計算.在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值(如例7).

例7(定值問題)(2018年高考全國卷I 理科)設(shè)橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A,B兩點，點M的坐標為(2,0).

(2)設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解析(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y=k(x -1)(k0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則直線MA,MB的斜率之和為由y1=kx1- k，y2=kx2-k，得將y=k(x-1)代入得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以，x1+x2則0.從而kMA+kMB=0，故MA,MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB.綜上，∠OMA=∠OMB.

題型六：最值、取值范問題

圓錐曲線最值問題的兩種常用解法：

①幾何方法，所求最值量具有明顯的幾何意義時可以利用幾何性質(zhì)結(jié)合圖形直觀求解；

②目標函數(shù)法，選取適當?shù)淖兞?，建立目標函?shù)，然后按照求函數(shù)的最值方法求解(多涉及二次函數(shù)與不等式)，同時要注意變量的范圍；

例8(2013年高考新課標II卷理科)平面直角坐標系xOy中，過橢圓0)右焦點的直線交M于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為

圖2

(2)C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

解析(用點差法求解，過程略)M的方程為

(2)因為CD⊥AB，所以可設(shè)直線CD的方程y=x+t，聯(lián)立消去y得到3x2+4tx+2t2-6=0，因為直線CD與橢圓有兩個不同的交點，故Δ=16t2-12(2t2-6)=72-8t2＞0，解-3＜t＜3 ①.設(shè)C(x3,y3)，D(x4,y4)，所以因為聯(lián)立得到解得x=0或所以交點為故因此所以當且僅當t=0 時，四邊形ABCD面積的最大值為滿足①.即四邊形ABCD面積的最大值為

此外，近年高考還出現(xiàn)了探索性問題，將圓錐曲線幾何性質(zhì)與其他的知識融合來考查學生的綜合能力.

三、備考建議

基于以上對解析幾何考點整理與常見類型題的考查，筆者給出相應(yīng)的幾點備考建議：

1.始于基礎(chǔ)，變于基礎(chǔ)

近3年全國卷解析幾何考查內(nèi)容源于教材又高于教材，因此，在透徹理解教材的基礎(chǔ)上要對教材進行一定變式教學，教會學生靈活應(yīng)變才是教學的根本所在.故教師在教學過程中要更多在課本練習題狠下功夫，多變式，少“題海戰(zhàn)術(shù)”，減輕學生負擔的同時培養(yǎng)學生的問題分析能力.在回顧基礎(chǔ)知識的時候，應(yīng)該擯棄“填空題”的知識回顧形式，采用“知識環(huán)環(huán)相扣逐步深化”的提問形式引導學生通過問題引發(fā)認知沖突，學會思考，逐步建立知識之間的聯(lián)系，這樣才能更好地幫助學生融會貫通地掌握知識.

2.研究方法與深化思維相結(jié)合

解析幾何不僅是用代數(shù)的方法研究幾何的問題，更是從幾何的角度處理代數(shù)的問題.在解決問題的過程中不僅需要將圖形融入坐標系中輔助代數(shù)尋找關(guān)系，也需要利用圓錐曲線幾何性質(zhì)將代數(shù)譯成幾何，在此過程中幾何與代數(shù)相輔相成解決問題，這才是解析幾何的精髓.

同時，解析幾何中存在大量的數(shù)學方法，如換元法，配方法，待定系數(shù)法及消元法等，在教學的過程中不僅要引導學生能夠熟練掌握、運用這些方法，而且要學會在解決問題過程中體會代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化，以求真正提高學生的邏輯推理與數(shù)形分析能力.

3.注重引導一題多解

解析幾何注重“以數(shù)解形”，從數(shù)的角度發(fā)現(xiàn)形的關(guān)系，但這在一定程度會使學生習慣單從代數(shù)計算的角度來推導圖形關(guān)系，反而容易禁錮學生從幾何角度剖析問題的能力，不利于學生邏輯推理能力的發(fā)展.

因此在教學過程中注重引導學生一題多解，從多方角度(代數(shù)角度與幾何角度)思考，同時輔助適當?shù)亩壨普?，借助幾何結(jié)合代數(shù)尋求更為簡便的方法，大大的體現(xiàn)“解析”與“幾何”之間的聯(lián)系(例如本文例2，例3 以及例4 的解法二).這樣不僅可以幫助學生快速解決問題，還可以輔助檢查前面的計算，同時幫助學生逐漸學會從多角度看待問題，理解問題本質(zhì).

4.適當引導學生記憶二級推論

在重視基礎(chǔ)的過程中，還要適當引導學生推導、理解、掌握一定的相關(guān)二級推論.適當?shù)亩壨普摬粌H可以幫助學生更為透徹理解概念定義的本質(zhì)，而且可以培養(yǎng)學生嘗試從多角度看待問題，開啟多種思路，在一定程度上提高客觀題解題效率(如本文例2 解法二)與知識的積累.同時提高主觀題的思維反應(yīng)能力，減少計算量(如本文例5 解法二).