吳 曉

(湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

疊加梁結(jié)構(gòu)在機(jī)械、土木工程中得到廣泛應(yīng)用，例如車輛工程中的懸架鋼板彈簧、土木工程中的鋼混凝土梁等。疊加鋼板彈簧是車輛懸架系統(tǒng)的重要組成部件，疊加鋼板彈簧彎曲問題可以歸結(jié)為懸臂梁的彎曲問題。文獻(xiàn)[1]研究了汽車鋼板彈簧主片結(jié)構(gòu)的組合優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[2]采用“共同曲率”假設(shè)研究了疊加鋼板彈簧彎曲問題。但是利用文獻(xiàn)[2]方法研究疊加鋼板彈簧彎曲問題，存在3個(gè)缺陷：集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零的缺陷，均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布?jí)毫Φ娜毕?，外載荷作用下上下層鋼板彎曲撓度相等的缺陷。

文獻(xiàn)[3-4]認(rèn)為，剪切變形可以改變集中載荷作用下疊加梁層間壓力為零的情況，采用“共同曲率”假設(shè)研究了疊加梁的彎曲問題。文獻(xiàn)[5-6]在文獻(xiàn)[3-4]的基礎(chǔ)上，研究了疊加梁的內(nèi)力計(jì)算。文獻(xiàn)[7]采用彈性理論，證明集中載荷作用下疊加梁層間壓力不為零，且呈曲線分布。眾所周知，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲問題，剪切變形的影響是可以忽略不計(jì)的，而不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧都屬于細(xì)長(zhǎng)梁，因此剪切變形對(duì)外載荷作用下疊加梁層間壓力的影響是可以忽略不計(jì)的。

基于上述原因，本文采用“共同曲率中心”方法重新研究了不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧的彎曲變形計(jì)算問題。

2 不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧彎曲

對(duì)于圖1所示不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧，文獻(xiàn)[2]采用“共同曲率”假設(shè)研究不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧彎曲會(huì)導(dǎo)致：集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零、均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布?jí)毫Α⑼廨d荷作用下疊加梁段部分上下鋼板彎曲撓度相等的缺陷。

圖1 不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧

事實(shí)上，圖1所示疊加鋼板彈簧彎曲時(shí)，僅有共同的“曲率中心”，因此下式成立：

M(x)=M1(x)+M2(x)

(1)

(2)

(3)

由式(1)、式(2)和式(3)可得：

hM12-(Mh+D1+D2)M1+D1M=0

(4)

由式(4)可以求得上層鋼板截面彎矩為：

(5)

把式(5)代入式(1)中，可求得下層鋼板截面彎矩為：

(6)

上下鋼板的彎曲微分方程分別為：

(7)

(8)

(9)

把式(5)代入式(7)中，可得0≤x≤l1時(shí)彎曲微分方程為：

(10)

對(duì)式(10)積分可得0≤x≤l1時(shí)轉(zhuǎn)角方程為：

(11)

對(duì)式(11)積分可得0≤x≤l1時(shí)撓曲線表達(dá)式為：

(12)

把式(6)代入式(8)中，可得0≤x≤l2時(shí)彎曲微分方程為：

(13)

對(duì)式(13)積分得到0≤x≤l2時(shí)轉(zhuǎn)角方程為：

(14)

對(duì)式(14)積分得到0≤x≤l2時(shí)撓曲線表達(dá)式：

(15)

疊加鋼板彈簧上下鋼板的邊界條件分別為：

(16)

(17)

利用以上有關(guān)各式可以確定：

(18)

由式(2)、式(3)可以求得不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上下鋼板的應(yīng)力計(jì)算公式分別為：

(19)

3 算例分析

以文獻(xiàn)[2]討論的某兩片鋼板組成的不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧為例，上鋼板厚度h1=12mm，長(zhǎng)度一半l1=700mm；下鋼板厚度h2=10mm，長(zhǎng)度一半l2=500mm。上下鋼板寬度均為b=20mm,彈性模量E=200GPa，集中載荷P=200N。

把鋼板彈簧材料參數(shù)代入式(9)中，可得不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧層間壓力曲線，如圖2所示( 0≤x≤l2)。

圖2 不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧層間壓力

把鋼板彈簧材料參數(shù)分別代入式(12)、式(15)中，可得x=l2處，不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上下層鋼板彈簧的撓度分別為w1=-14.68mm，w2=-14.64mm。

再把鋼板彈簧材料參數(shù)分別代入式(12)中，可得x=l1處，不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度為w1=-25.17mm。

而文獻(xiàn)[2]采用材料力學(xué)理論給出的x=l1處，不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧的撓度為w1=-25.49mm。

對(duì)圖2所示曲線進(jìn)行分析可知，集中載荷作用下，不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力曲線近似為直線，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)[7] 吻合。在固定端絕對(duì)壓力值最大，自由端絕對(duì)壓力值最小。由于最大絕對(duì)壓力值層間壓力與最小絕對(duì)壓力值相差較小，因此在集中載荷作用下，疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力可近似為均布載荷。不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧在集中載荷作用下，如果把文獻(xiàn)[2]采用“共同曲率”假設(shè)給出的撓曲線表達(dá)式代入式(9)中，可知疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力為零。不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧在均布載荷作用下，如果把文獻(xiàn)[2]采用“共同曲率”假設(shè)給出的撓曲線表達(dá)式代入式(9)中，可知疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力為均布?jí)毫?，這顯然不符合文獻(xiàn)[7]給出的彈性理論。

文獻(xiàn)[2]采用“共同曲率”假設(shè)給出的疊加鋼板彈簧上下層鋼板彎曲撓度是相同的。 而本文方法給出x=l2處不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上下層鋼板彈簧的撓度分別為w1=-14.68mm，w2=-14.64mm ，所以疊加鋼板彈簧在集中載荷作用下，上下層鋼板彎曲撓度是不相同的。造成以上缺陷的原因是，疊加鋼板的彎曲是一個(gè)非線性問題，僅存在共同“曲率中心”，文獻(xiàn)[2-6] 采用“共同曲率”假設(shè)研究疊加梁的彎曲問題，則是把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題。這就是產(chǎn)生“集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零的缺陷，均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布?jí)毫Φ娜毕?，外載荷作用下上下層鋼板彎曲撓度相同的缺陷”的原因。

本文采用共同“曲率中心”方法給出x=l1處不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度為w1=-25.17mm，文獻(xiàn)[2]采用“共同曲率”假設(shè)給出的x=l1處不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度為w1=-25.49mm，兩種方法計(jì)算結(jié)果相差不大，實(shí)際工程設(shè)計(jì)都可接受。

4 結(jié) 論

(1)產(chǎn)生“集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零的缺陷，均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布?jí)毫Φ娜毕荩廨d荷作用下上下層鋼板彎曲撓度相同的缺陷”的原因是：疊加鋼板的彎曲是一個(gè)非線性問題，僅存在共同“曲率中心”，有關(guān)文獻(xiàn)采用“共同曲率”假設(shè)研究疊加梁的彎曲問題，則是把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題。

(2)采用共同“曲率中心”方法計(jì)算的不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度與采用“共同曲率”假設(shè)計(jì)算的不等長(zhǎng)疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度相差不大，實(shí)際工程設(shè)計(jì)都可接受。