呂學(xué)柱

(江蘇省灌南高級(jí)中學(xué) 222500)

在使用高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)的教學(xué)和教研中，時(shí)常會(huì)接觸到“建構(gòu)思路不自然”、“思維展開不流暢”、“求知欲望不強(qiáng)烈”、“似懂非懂”以及“學(xué)完尚存困惑”等教學(xué)現(xiàn)象.這些現(xiàn)象極易讓教學(xué)陷入窘境.其成因主要來自知識(shí)本身難度的影響，學(xué)生認(rèn)知水平的不足，教材與教學(xué)的脫節(jié)，教師研究不深、重視不夠、方法不當(dāng)?shù)鹊?而諸多因素中教師是解決問題的關(guān)鍵因素.筆者經(jīng)過深入的學(xué)習(xí)、研究、實(shí)踐與思考，認(rèn)為可采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略重構(gòu)教材，擺脫知識(shí)建構(gòu)窘境.現(xiàn)將心得呈現(xiàn)，作為引玉之磚.

1 鋪路搭橋 打通聯(lián)系 讓知識(shí)自然生長(zhǎng)

奧蘇貝爾認(rèn)為“影響學(xué)習(xí)最主要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容，弄清了這一點(diǎn)之后，再進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué).”只有當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)的新知識(shí)與其原有的認(rèn)知相聯(lián)系，才能產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)，進(jìn)而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).這種聯(lián)系越暢通，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)越自然、越穩(wěn)固.有些新知識(shí)與相關(guān)舊知識(shí)之間跨度較大，如果教師一味地“教教材”，不重視知識(shí)形成過程的教學(xué)，只能把新知識(shí)強(qiáng)行灌輸給學(xué)生，學(xué)生當(dāng)然會(huì)感覺生硬、難以接受.教師只有注重知識(shí)形成過程的教學(xué)，在深入研究教材和學(xué)情的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地重構(gòu)教材，通過鋪路搭橋、適當(dāng)鋪墊，打通已有認(rèn)知與新的認(rèn)知之間的聯(lián)系，才能讓新的認(rèn)知成為在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上的自然生長(zhǎng).

如“任意角的三角函數(shù)”一節(jié)，學(xué)生已有認(rèn)知是初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)，新概念形成是本節(jié)的難點(diǎn)，這一難點(diǎn)的形成因素較多，抓住關(guān)鍵因素才能高效地消除疑難，并從根本上擺脫教學(xué)窘境.有的教師認(rèn)為“坐標(biāo)系引進(jìn)”是關(guān)鍵因素，其教學(xué)設(shè)計(jì)則在坐標(biāo)系引進(jìn)的自然性上下功夫.有的教師認(rèn)為“函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)新概念”是關(guān)鍵因素， 其教學(xué)設(shè)計(jì)則在“三角函數(shù)是角為自變量的函數(shù)”上做文章，著力于“比值與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)”.筆者經(jīng)過學(xué)情調(diào)查及分析研究后認(rèn)為，“坐標(biāo)系引進(jìn)”并非關(guān)鍵因素，在“任意角”的學(xué)習(xí)中已經(jīng)將坐標(biāo)系引進(jìn).對(duì)于普通的學(xué)生來說不構(gòu)成障礙，教師無需在此發(fā)力.至于“函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)新概念”，教材內(nèi)容已經(jīng)足以解決，教師無需在此費(fèi)力.真正的關(guān)鍵是如何打通從“銳角三角函數(shù)”到“任意角的三角函數(shù)”的聯(lián)系.使學(xué)生跨越從“邊長(zhǎng)比”到“坐標(biāo)比”之間的這道坎.筆者以蘇教版教材為基礎(chǔ)[1]，汲取人教A版教材的養(yǎng)分[2]，對(duì)教材進(jìn)行重構(gòu)，將任意角的三角函數(shù)定義及三角函數(shù)線進(jìn)行整體設(shè)計(jì)形成如下教學(xué)片斷.

案例1“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)片斷

師：在平面直角坐標(biāo)系中，P(x,y)為任意角α終邊上的一點(diǎn)，|OP|=r>0.(即原點(diǎn)O為圓心r為半徑的圓與終邊交于P).則(r,α)和(x,y)均可確定點(diǎn)P的位置，怎樣用數(shù)學(xué)模型刻畫二者之間的關(guān)系？在什么情況下二者關(guān)系我們?nèi)菀籽芯浚?/p>

師：從“邊長(zhǎng)的比”到“坐標(biāo)的比”對(duì)于α為銳角是沒有問題的，α超出了銳角的范圍，坐標(biāo)未必是正數(shù)，邊長(zhǎng)之比就沒有普適性了.比如α為鈍角，已學(xué)的銳角三角函數(shù)定義不再適用.看來需要對(duì)“銳角三角函數(shù)定義”重新認(rèn)識(shí).對(duì)銳角而言，沿著終邊從O到P行程r，鄰邊OM和對(duì)邊MP分別為行走產(chǎn)生的水平位移(x軸方向上)和豎直位移(y軸方向上)，銳角三角函數(shù)定義中的鄰邊和對(duì)邊分別是水平位移和豎直位移(此處位移為正，與邊長(zhǎng)一致).下面我們看看鈍角三角函數(shù)，情況如何？

師：按照“位移”的想法，對(duì)于第一象限、第二象限的角銳角三角函數(shù)定義可以推廣嗎？第三象限角、第四象限角以及坐標(biāo)軸上的角，情況又如何？

生：(略加思考后)依然可以，銳角三角函數(shù)定義可以推廣到任意角的情形.

師：這樣任意角的三角函數(shù)定義就形成了(師生共同給出定義).如果不用兩個(gè)量的比，而只有一個(gè)量你能表示三角函數(shù)嗎？如何表示？

生：這個(gè)容易，分母為1就可以了，r=1，正弦、余弦分別是y和x，也就是位移MP和OM，正切是y(x=1時(shí)).

(教師引導(dǎo)對(duì)正切的情形進(jìn)行修正，可準(zhǔn)確自然地建構(gòu)三角函數(shù)線的知識(shí)，限于篇幅不再展開)

注將“邊長(zhǎng)”改造成“位移”，架起了“銳角三角函數(shù)”與“任意角三角函數(shù)”之間的橋梁，再將“位移”輕松改造成 “有向線段的數(shù)量”，“三角函數(shù)線”也就水到渠成了.這樣一來，任意角三角函數(shù)和三角函數(shù)線都成了在銳角三角函數(shù)基礎(chǔ)上的自然生長(zhǎng).

2 因勢(shì)利導(dǎo) 整合方法 讓思維流暢展開

發(fā)現(xiàn)法作為一種嚴(yán)格意義的教學(xué)法是由布魯納(美國(guó)心理學(xué)家)在《教育過程》一書中提出的.這種方法要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能象科學(xué)家發(fā)現(xiàn)真理那樣，通過獨(dú)立思考去探索新知識(shí)，從而發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的奧秘.而高中數(shù)學(xué)新知識(shí)的絕大部分是可以讓學(xué)生在適當(dāng)條件下“發(fā)現(xiàn)”的，這就決定了發(fā)現(xiàn)法在高中數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中所處的突出地位.

在教學(xué)中如果教師一味“認(rèn)準(zhǔn)”發(fā)現(xiàn)法甚至其中的具體方式，不加整合，不善變通，則會(huì)造成學(xué)生思維受阻、課堂效益低下的尷尬局面.因此，在運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)時(shí)教師必須因勢(shì)利導(dǎo)，從直覺感知、歸納猜想、類比遷移、邏輯推演等“發(fā)現(xiàn)”方式中適當(dāng)選擇，與其它教學(xué)方法有機(jī)整合，并結(jié)合學(xué)情重構(gòu)教材，才能讓學(xué)生的思維流暢地展開，獲得滿意的教學(xué)效益.

案例2“二項(xiàng)式定理”教學(xué)片斷

師：我們已經(jīng)知道：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,試計(jì)算 (a+b)4和(a+b)5，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

生：容易發(fā)現(xiàn)展開式的項(xiàng)數(shù)比指數(shù)多1，各項(xiàng)次數(shù)與指數(shù)相同，按a降冪排列，系數(shù)對(duì)稱，兩端系數(shù)為1等等.

(師生互動(dòng)，系數(shù)列出后形成三角形即“楊輝三角”，系數(shù)規(guī)律尚不透徹.)

師：既然歸納法不能完成一般規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，我們不妨換換方法.(稍頃)我們來演繹一下怎么樣？ (a+b)n是(a+b)自乘n次，看系數(shù)是怎么產(chǎn)生的，還是沒轍.不妨再“退”到簡(jiǎn)單的情況.

師：很好！(a+b)n展開式中an-rbr系數(shù)是什么？為什么？

師：非常好！現(xiàn)在我們就完成了一般規(guī)律(二項(xiàng)式定理)的發(fā)現(xiàn)，并且也獲得了推導(dǎo).這個(gè)規(guī)律是偉大的數(shù)學(xué)家(物理學(xué)家)牛頓在1664年發(fā)現(xiàn)的，而楊輝三角首見于南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書，在歐洲稱為帕斯卡三角(1654年發(fā)現(xiàn))，牛頓的發(fā)現(xiàn)距帕斯卡三角10年，距楊輝三角400多年.難怪我們的探究道路曲折.

注二項(xiàng)式定理的建構(gòu)如果一味采用歸納法，將楊輝三角中的數(shù)據(jù)改為相應(yīng)的組合數(shù)呈現(xiàn)給學(xué)生，表面上看教學(xué)程序流暢了，但這個(gè)發(fā)現(xiàn)明顯是老師灌輸?shù)?，是“偽發(fā)現(xiàn)”.如果一味地采用演繹法，學(xué)生會(huì)感覺不自然，很生硬，探究熱情不高，課堂效益低下.要讓學(xué)生的思維流暢地展開，必須進(jìn)行教材教法的整合.

3 循循善誘 植入文化 讓素養(yǎng)悄然提升

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神[3].“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”不僅符合新課程的基本理念，在知識(shí)建構(gòu)中有時(shí)可以發(fā)揮無可替代的作用.

比如“數(shù)系的擴(kuò)充”一節(jié)，教材(蘇教版選修2-2)介紹了社會(huì)需要及數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾兩個(gè)方面在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，做到了科學(xué)性與量力性的有機(jī)統(tǒng)一，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.盡管如此，如果照本宣科“教教材”，學(xué)生對(duì)“虛數(shù)”還是存在排斥、疑惑等負(fù)面情緒，而且缺乏學(xué)習(xí)激情.有的教師認(rèn)為數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家是在解三次方程中“發(fā)現(xiàn)”虛數(shù)的，教學(xué)中沿著歷史上數(shù)學(xué)家的足跡“急速行走”，學(xué)習(xí)激情上升了，但排斥、疑惑等負(fù)面情緒猶在，而且由于學(xué)生對(duì)當(dāng)初數(shù)學(xué)家所用的三次方程解法一無所知，教學(xué)中反而平添了一個(gè)疑點(diǎn).只有按照“學(xué)情”對(duì)教材和數(shù)學(xué)史進(jìn)行整合重構(gòu)，才能借助數(shù)學(xué)文化的力量，促進(jìn)新知識(shí)的建構(gòu),促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

案例3“數(shù)系的擴(kuò)充”教學(xué)片斷

教師：甲的做法中假如x存在，其結(jié)果應(yīng)該是對(duì)的，x一定是超出實(shí)數(shù)范圍的一種“新數(shù)”，這種“新數(shù)”會(huì)是什么樣子呢？

教師：大家閱讀教材，并對(duì)數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系的擴(kuò)充過程進(jìn)行回顧和歸納.

(在師生互動(dòng)中引入虛數(shù)單位、虛數(shù)、復(fù)數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)數(shù)系的新的擴(kuò)充)

教師；我們用分分鐘的時(shí)間，就發(fā)現(xiàn)了“虛數(shù)”，真是了不起.公元前500年古希臘數(shù)學(xué)家希伯斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)之后，數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)的研究大約2000年未能突破實(shí)數(shù)的范圍.1484年，法國(guó)數(shù)學(xué)家在解二次方程x2+4=3x時(shí)，結(jié)果用到負(fù)數(shù)的平方根，但仍聲明這是不可能的.到1545年，意大利數(shù)學(xué)家在解三次方程時(shí)得到類似的結(jié)果，引入負(fù)數(shù)的平方根，并稱它為“詭辯量”.后來，經(jīng)過笛卡爾、歐拉等數(shù)學(xué)家的努力，到1837完成了從實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充.這項(xiàng)工作歷經(jīng)近300年才得以大功告成.如果讓我們穿越“時(shí)空隧道”進(jìn)入“16世紀(jì)歐洲”，我們都會(huì)是世界一流的數(shù)學(xué)家.我們用一節(jié)課解決那個(gè)時(shí)代世界頂級(jí)數(shù)學(xué)家百年的困惑，如果我們還有點(diǎn)困惑算得了什么？再用幾節(jié)課，我們?cè)陬I(lǐng)略經(jīng)過近300年形成的“復(fù)數(shù)”的風(fēng)光中，將會(huì)不斷消除困惑，享受怡人美景.

注由簡(jiǎn)單問題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，認(rèn)識(shí)數(shù)系擴(kuò)充的必要性，提高數(shù)學(xué)探究的熱情.適當(dāng)植入數(shù)學(xué)文化帶給學(xué)生探索精神和奮斗動(dòng)力，幫助學(xué)生增強(qiáng)信心、消除疑慮、提升素養(yǎng).

4 再造情境 激趣導(dǎo)入 讓建構(gòu)暢快淋漓

教材對(duì)情境設(shè)置有生活的、歷史的以及學(xué)科知識(shí)的等多種背景.盡管如此，在教學(xué)中如果教師不能對(duì)它進(jìn)行改造，常常與學(xué)生的生活、認(rèn)知及情感脫節(jié)，不利于學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的激發(fā)和新知識(shí)的建構(gòu).教師只有根據(jù)“學(xué)情”和學(xué)習(xí)目標(biāo)，再造情境，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓知識(shí)建構(gòu)暢快淋漓.

案例4“等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和”教學(xué)片斷

教材(蘇教版必修5)中未設(shè)置情境，教師通過講述古印度國(guó)王西拉謨獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋發(fā)明者的經(jīng)典故事，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探求新知識(shí)的熱情.

教材中對(duì)公式的推導(dǎo)只提供了“錯(cuò)位相減法”，缺乏研究的教師也只能“教教材”，這樣產(chǎn)生的結(jié)果是知識(shí)和方法基本學(xué)會(huì)了，而“思路不自然”、“ 生硬”成為好多學(xué)生的內(nèi)心感受.究其原因是這種方法與學(xué)生原有的認(rèn)知脫節(jié).筆者作如下處理.

教師：Sn=a1+a2+a3+…+an，如何用基本量表達(dá)Sn？(稍頃)看來由于特點(diǎn)不同，等差數(shù)列的求和方法失效了.怎么辦？看特點(diǎn)！(適當(dāng)啟發(fā))

生甲：Sn=Sn-1+an，Sn=a1+qSn-1,解方程組可得.(師生互動(dòng)，分類討論，逐步完善)

生乙：Sn=a1+qSn-an+1,解方程就可以了.(完善方式同上)

教師：抓住式子的特點(diǎn)，運(yùn)用常用數(shù)學(xué)思想(方程思想)，用自己的智慧獲得了公式及推導(dǎo)，非常好！我們?cè)倏纯唇滩氖侨绾瓮茖?dǎo)的.(閱讀、交流后，教師點(diǎn)評(píng))其實(shí)同樣是抓住式子的特點(diǎn)，只是表達(dá)形式不同而已，教材方法非常經(jīng)典，稱為“錯(cuò)位相減法”，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)使用.(至此，新知識(shí)順暢建構(gòu)，生硬感瞬間消失)

5 多元表征 變式深化 讓過程錦上添花

所謂知識(shí)的表征，是指人在自己的工作記憶和長(zhǎng)時(shí)記憶中對(duì)信息的貯存、表示和再現(xiàn)方式.數(shù)學(xué)多元表征大致分為言語化表征和視覺化表征，前者如符號(hào)表征、文字表征等，后者如圖形表征、情境表征、操作表征等.多元表征指通過多種形式的表征及各表征之間的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行多角度、多層面認(rèn)識(shí)，從而優(yōu)化已有的認(rèn)知圖式.變式教學(xué)作為我國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)在某種程度上與多元表征不謀而合[4].在概念學(xué)習(xí)中學(xué)生如果不能從多角度、多背景深入理解概念，那么一旦換一個(gè)側(cè)面去闡述同一個(gè)概念，他們就會(huì)不知所云.同樣，在命題學(xué)習(xí)中，如果學(xué)生沒有完善的命題域和命題系，那么在解決問題時(shí)他們就不能及時(shí)有效的調(diào)用適當(dāng)?shù)哪Ｊ?，從而使欲解決的問題難度加大，甚至無法解決[5].由此可見，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中多元表征和變式教學(xué)是不可或缺的.

案例5“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

基本不等式有多種表征形式，主要有下面幾種.

(4)語言表征 兩個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

(6)圖形表征 構(gòu)造AB為直徑的半圓O，點(diǎn)C把AB分成兩段，AC,BC長(zhǎng)度分別為a,b.CD⊥AB交半圓于D，試比較半弦CD與半徑OD的大小.

知識(shí)運(yùn)用從某種意義上說也是知識(shí)表征不同形式、不同層次之間的轉(zhuǎn)換.這一點(diǎn)與變式教學(xué)如出一轍.可針對(duì)學(xué)生思維水平設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)摹斑\(yùn)用”題組，使知識(shí)在運(yùn)用中深化，讓建構(gòu)過程錦上添花.(篇幅所限，題組略去)

綜上可知，教師只有摒棄單純“教教材”的教學(xué)行為，加強(qiáng)學(xué)習(xí)、研究和反思，針對(duì)學(xué)生認(rèn)知水平和相關(guān)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，潛心重構(gòu)教材、整合教法，才能擺脫知識(shí)建構(gòu)中的種種窘境，提高課堂教學(xué)效益，提升課堂教學(xué)品位.