2019年1月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀斌 龔為民 441700)

(1)

(2)

因為

2462已知 如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E.點(diǎn)M1、M2在OC上，且CM1=OM2.直線AM1、AM2分別交⊙O于點(diǎn)N1、N2.求證：

S△DCN1·S△DCN2=S△DBN1·S△DBN2.

(北京市芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

證明如圖，連接AC，設(shè)AN1、AN2分別與BC交于點(diǎn)F1、F2，△ACN1邊AN1上的高為h1，△ABN1邊AN1上的高為h2(即BN1).

(Ⅰ)

(Ⅱ)

因為CM1=OM2，

所以CM2=OM1.

又AB為⊙O的直徑，AO為⊙O的半徑.

(Ⅲ)

因為A、C、N1、B四點(diǎn)共圓，

所以∠ACN1+∠ABN1=180°.

所以sin ∠ACN1=sin ∠ABN1.

(Ⅳ)

同理可證

(Ⅴ)

由(Ⅳ)×(Ⅴ)得

(Ⅵ)

易證Rt△ABC∽Rt△DBE.

(Ⅶ)

由(Ⅵ)和(Ⅶ)得

所以(DC·CN1)(DC·CN2)

=(DB·BN1)(DB·BN2).

因為C、D、B、N1四點(diǎn)共圓，

所以sin ∠DCN1=sin ∠DBN1.

同理可證sin ∠DCN2=sin ∠DBN2.

所以S△DCN1·S△DCN2=S△DBN1·S△DBN2.

2463設(shè)a,b,c>0,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

證明由a,b,c>0知，(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)中，至多有一個是非正數(shù).

當(dāng)(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)中，有一個是非正數(shù)時，所要證的不等式(記為(*))顯然成立；

當(dāng)(b+c-a),(c+a-b),(a+b-c)都是正數(shù)時，a,b,c構(gòu)成一個三角形的三邊長.

因為(ab+bc+ca)(a+b+c)≥9abc,

于是，要證明不等式(*)，只要證明

(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).(**)

應(yīng)用三角形面積公式

知，不等式(**)等價于

a2+b2+c2≤9R2.

其中，R是三角形的外接圓半徑，這是常見的不等式，故原不等式獲證.

2464△ABC的內(nèi)切圓O分別與邊BC、CA相切于D、E，連AD，AD與圓O又交于P，連BP，CP.求證：∠BPC=90°的充要條件是AE+AP=PD.

(江蘇無錫市第一中學(xué) 李廣修 214031)

解如圖，設(shè)AB切圓O于F，由切線長定理，

可設(shè)AE=AF=x，CD=CE=y，BD=BF=z，

又設(shè)AP=λAE，則AP=λx，

由切割線定理，得AE2=AP·AD，

D在邊BC上，對于△ABC，由斯特瓦爾特定理，

得AB2·CD+AC2·BD

=AD2·BC+BD·CD·BC，

將AB=AF+BF=x+z，CD=y，

BC=BD+CD=y+z，

代入上式，得(1-λ2)(xy+xz)=4λ2yz，

同理，P在邊AD上，對于△ABD和△ACD，由斯特瓦爾特定理，

得BP2=z2+2(1-λ2)xz和

CP2=y2+2(1-λ2)xy，

從而，由勾股定理和勾股定理逆定理，

?(1-λ2)(xy+xz)=yz?4λ2yz=yz

證畢.

(山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) 宋志敏 256600)

證明首先證明不等式

(1)

成立.事實上，利用H?lder不等式，可知

(2)

所以要證(1)成立，只需證明

再次利用H?lder不等式，可知

所以(1)成立.因此要證問題成立，利用(1)，只需證明

(3)

利用Cauchy不等式可知

2019年2月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

(貴州省織金縣第六中學(xué) 鄧波 552100)

2468設(shè)不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)在梯形ABCD的腰AB上， 且滿足∠CED=∠CFD=∠ABC= 90°，在另一腰CD上求點(diǎn)P，使得AB≤PE+PF≤CD.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

2469在△ABC中，設(shè)三邊a,b,c上對應(yīng)的高、角平分線、中線、旁切圓半徑分別為ha,hb,hc；ta,tb,tc；ma,mb,mc；ra,rb,rc，∑表示循環(huán)和，求證：

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

(安徽省岳西縣湯池中學(xué) 楊續(xù)亮 246620)