陳志江

(常熟外國語學(xué)校 215500)

1 問題的提出

近年來，平面向量內(nèi)容在?？肌⒏呖贾兄饾u加大了考查難度和力度，與此相對的是學(xué)生對向量問題的解決似乎越來越不理想．筆者在與師生的交流中了解到：學(xué)生們認(rèn)為向量題解法靈活多樣、變化多端、難以捉摸，有的題目甚至無從下手；教師們則認(rèn)為該講的都講了，很多題目并不難，但學(xué)生錯誤率卻很高，認(rèn)為還是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)差，同時也感到平面向量的教學(xué)越來越困難了．教與學(xué)出現(xiàn)了矛盾，《平面向量》這一單元到底如何教？讓筆者陷入了深深的思考，筆者認(rèn)為可能是教師在平面向量內(nèi)容的教學(xué)中僅僅完成了書本知識的傳授，站位較低，缺少高位的教學(xué)目標(biāo)指引和一些整體構(gòu)想，于是造成了學(xué)生對向量知識的理解不深刻，應(yīng)用不靈活.

章建躍博士在其論文《中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題》中提出：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是進行新課程有效教學(xué)的三大基石．”這句話發(fā)人深?。P(guān)于“平面向量”這一單元的教學(xué)我們是否做到了“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”？在反思后筆者寫就本文，以蘇教版教材為例(其他版本教材可參考)，闡述在“三個理解”指導(dǎo)下對《平面向量》這一單元內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計構(gòu)想，希望以此改進教學(xué)，在此拋磚引玉，請方家指正.

2 基于“三個理解”的《平面向量》單元教學(xué)構(gòu)想

2.1 理解數(shù)學(xué)，將向量內(nèi)容有機融入數(shù)學(xué)知識體系

理解數(shù)學(xué)是指教師不僅清楚數(shù)學(xué)知識本身是什么，能解各種數(shù)學(xué)題，也指教師清楚數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生背景、形成過程、形成方法，清楚數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)及其與相關(guān)知識的聯(lián)系．教師只有理解了所教學(xué)的內(nèi)容，才會在教學(xué)設(shè)計中準(zhǔn)確地確定教學(xué)的重點和難點，才不會“撿了芝麻丟了西瓜”.

在平面向量教學(xué)中，教師要清楚向量知識“來自何處，又去向何方”，還要清楚平面向量的知識系統(tǒng)(如圖1)，在此基礎(chǔ)上我們才能把現(xiàn)成的、成熟的數(shù)學(xué)知識還原為生成的、發(fā)展的知識．傳統(tǒng)觀念下的中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容就是數(shù)、式、方程、函數(shù)及幾何圖形，而平面向量內(nèi)容的加入如打開了一扇窗，透過這扇窗，可使學(xué)生領(lǐng)略到不少優(yōu)美的數(shù)學(xué)景象．比如向量擴充了運算的對象和內(nèi)涵，有向量的加法、減法運算(a±b=c)、向量的數(shù)乘運算(λa=b)、數(shù)量積運算(a·b=c)，向量運算時運算對象從一元擴展到多元，這對于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中進一步理解其他數(shù)學(xué)運算(如導(dǎo)數(shù)、矩陣、變換等)，發(fā)展學(xué)生的運算能力具有奠基作用．在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，向量的引入與尋求幾何研究的新工具有很大關(guān)系，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具．在教學(xué)中要善于用向量語言和方法與這些內(nèi)容有機整合，使學(xué)生認(rèn)識到向量在平面幾何、立體幾何、解析幾何和三角函數(shù)等方面的廣泛應(yīng)用，認(rèn)識向量在更新完善數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)方面的重要作用．

2.2 理解學(xué)生，既要對接還需發(fā)展學(xué)生的知識水平

理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)、潛能、需求與差異，清楚學(xué)生學(xué)習(xí)特定數(shù)學(xué)知識已有的知識萌芽、生長點與潛在的困難，清楚學(xué)生的認(rèn)知特點與認(rèn)知規(guī)律．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的對象是學(xué)生，教學(xué)設(shè)計是為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)來設(shè)計教學(xué)．因此在教學(xué)過程設(shè)計前對學(xué)生的分析，教學(xué)問題的診斷顯得尤其重要，只有較為深刻地理解了學(xué)生，教師在教學(xué)設(shè)計中才能準(zhǔn)確地確定難點和關(guān)鍵點，反之，離開了對學(xué)生現(xiàn)狀的準(zhǔn)確把握，再漂亮完善的教學(xué)設(shè)計也達不到理想效果，正如蘇霍姆林斯基說“沒有也不可能有抽象的學(xué)生”.

向量的內(nèi)容對學(xué)生來說是新知，我們要尋找好知識的最近發(fā)展區(qū)，主要是兩個知識生長點：一是物理中矢量的相關(guān)知識；二是數(shù)學(xué)中實數(shù)的運算體系．教材充分考慮到這兩點，在新知內(nèi)容的展開時緊密結(jié)合學(xué)生的已有知識，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從大量的實際背景中抽象出向量的概念(數(shù)學(xué)模型)；然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運算的性質(zhì)；最后再運用數(shù)學(xué)模型去解決實際問題，這樣一種“循序漸進，螺旋上升”的設(shè)計使對新知內(nèi)容的教學(xué)變得容易且自然清楚，因此，就向量新知內(nèi)容的教學(xué)而言并不困難．但如果教學(xué)停留于此，那么就把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程變成了識記的過程，而不是思考怎樣用數(shù)學(xué)知識去解決數(shù)學(xué)問題的過程，學(xué)生的能力就得不到提高．事實上，向量教學(xué)的難點主要在于向量的應(yīng)用，這也是學(xué)生的困難所在，如果學(xué)完了內(nèi)容卻不知道這有什么用及如何用來處理問題，那這樣的教學(xué)一定是意義不足的、價值殘缺的、也是沒有深度的，所以我們應(yīng)深入思考向量應(yīng)用的教學(xué)，培育發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用能力．

2.3 理解教學(xué)，培育學(xué)生處理向量問題的四種意識

理解教學(xué)是指教師清楚教學(xué)的本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法和教學(xué)藝術(shù)，清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機的、統(tǒng)一的、相互促進的整體來加以處理．基于筆者對平面向量單元內(nèi)容教學(xué)的經(jīng)驗，將本單元的教學(xué)設(shè)計為四個層次，并深化教學(xué)目標(biāo)為培育學(xué)生處理向量問題的四種意識，具體如下：

第一層次，在類比與比較中建構(gòu)線性運算，培育學(xué)生基底化意識.

教材中向量內(nèi)容是在與物理中一些矢量(如位移、速度、加速度、力等)的類比和數(shù)學(xué)中實數(shù)的運算和運算律的比較中逐步展開的．在引出向量概念時提出問題“位移和距離這兩個量有什么不同”，又再現(xiàn)了數(shù)量的概念，并將其與向量作比較；在研究向量的加法時首先研究“兩次位移后游艇的合位移是什么”，研究向量加法的運算律時直言為“交換律、結(jié)合律”引發(fā)與實數(shù)運算律的比較；在研究向量的數(shù)乘運算時以“質(zhì)點做勻速直線運動下的位移問題”為引入，給出數(shù)乘的運算律后提出了思考“向量的數(shù)乘和實數(shù)乘法有哪些相同點和不同點”等等，教學(xué)中我們要充分認(rèn)識到這些，設(shè)計好從數(shù)和矢量到向量的類比比較學(xué)習(xí).

此時要達到建構(gòu)好向量的線性運算體系尚且不夠，還需要以“平面向量基本定理”來統(tǒng)領(lǐng)，該定理的本質(zhì)就是：平面上任何一個向量總是可以由兩個不共線的向量線性表出，這樣才能“升華”學(xué)生對向量線性運算的理解．就定理本身而言，其內(nèi)容與證明并不難，難就難在對定理的應(yīng)用上，學(xué)生往往不清楚有了這個定理能解決什么問題，這說明學(xué)生對定理的理解并不深刻，即缺乏對向量問題通過基底化后來解決的意識．因此教學(xué)中我們要選擇好典型問題，通過典型問題的解決培育好學(xué)生的基底化意識.

解法如下：

第二層次，從向量分解到向量的坐標(biāo)運算，培育學(xué)生坐標(biāo)化意識.

平面向量基本定理實際上是在對向量進行分解，當(dāng)把一組基底取成互相垂直的單位向量時，就可在平面直角坐標(biāo)系中定義平面向量的坐標(biāo)表示了，因此，“平面向量基本定理”起到了承上啟下的作用．向量的坐標(biāo)化使形到數(shù)的轉(zhuǎn)化變?yōu)榭赡埽蜷_了向量與解析幾何聯(lián)系的窗戶，為很多問題的解決開辟了新的道路．當(dāng)然隨之而來的是要探討平面向量的坐標(biāo)運算，加法、減法、數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示(進一步完善了向量線性運算的體系)，以及后續(xù)學(xué)習(xí)的向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示.

同樣，對向量的坐標(biāo)運算我們也不能只停留在知道運算法則和會作運算上，更應(yīng)培育學(xué)生應(yīng)用向量的坐標(biāo)化進行問題解決的意識.

圖3

分析本題載體為矩形，存在兩線垂直的條件，又加上AB，BC的長度已知，會給我們聯(lián)想，建立坐標(biāo)系，將向量進行坐標(biāo)化.

從上例可以看出，坐標(biāo)化解決一些幾何問題可謂“四兩撥千斤”．此類問題的幾何載體，一般涉及正方形、矩形、等邊三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，有時也會給已知一個定角和一些線段長度的不規(guī)則圖形，均可嘗試坐標(biāo)化處理．這也為以后解析幾何中進一步學(xué)習(xí)解析法埋下了伏筆．

第三層次，對數(shù)量積的物理性作數(shù)學(xué)抽象，培育學(xué)生數(shù)量化意識.

向量的數(shù)量積對學(xué)生來說是一種新的運算，在學(xué)習(xí)了向量的加法、減法、數(shù)乘三種運算后，教材從問題：“向量與向量能否‘相乘’呢？”引入可謂直擊“要害”，簡明自然，很好地引起認(rèn)知沖突；然后從物理中的力對物體做功問題進行數(shù)學(xué)抽象，定義兩個向量的數(shù)量積運算，直觀形象，水到渠成，教學(xué)中要充分結(jié)合實際問題幫助學(xué)生理解運算含義．對數(shù)量積的運算律更是要注意與實數(shù)中乘法運算律及向量的數(shù)乘運算律進行比較，且要正確區(qū)分它們的相同與不同之處．向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算則是對向量坐標(biāo)化的進一步完善.

在這一層次的教學(xué)中，重點是數(shù)量積的運算，難點則是數(shù)量積的應(yīng)用，而學(xué)生大多對數(shù)量積運算的理解是很不深刻的，事實上該運算是向量與向量相乘和數(shù)量與數(shù)量相乘相互轉(zhuǎn)化的橋梁(a·b=|a||b|cosθ，特別地a2=|a|2)．?dāng)?shù)量積在向量條件的轉(zhuǎn)化中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生是否具有將向量進行數(shù)量化的意識直接關(guān)系著問題的能否解決.

圖4

則有1=x2+y2+2xycos120°，

即1=x2+y2-xy．

從而x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取等號．

故x+y的最大值為2.

解法二設(shè)∠AOC=α，則

再如《解三角形》一章中，對“正、余弦定理”的證明就是對向量式子應(yīng)用上述方法實施數(shù)量化，這當(dāng)然是對學(xué)生數(shù)量化意識培育的又一個好機會.

第四層次，用向量實現(xiàn)代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化，培育學(xué)生幾何化意識.

這一層次是本章最后一節(jié)內(nèi)容“向量的應(yīng)用”，篇幅雖不長，但內(nèi)蘊很豐富，需要深入挖掘．在學(xué)習(xí)向量基本知識后，我們應(yīng)有意識地將向量與三角恒等變形，與幾何、代數(shù)之間的相應(yīng)內(nèi)容進行有機的聯(lián)系，并通過比較和感受向量在處理三角、幾何、代數(shù)等各不同數(shù)學(xué)分支問題中的獨到之處和橋梁作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)的整體性．這樣有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程.

在這個層次中，培育學(xué)生的幾何化意識尤為重要，其實，向量內(nèi)容中很多式子都有其幾何意義．比如向量的加法和減法對應(yīng)著平行四邊形或三角形，向量的模對應(yīng)著線段的長度，兩非零向量的數(shù)量積為0對應(yīng)著相互垂直，兩向量的數(shù)量積也可視作一個向量的模與另一個向量在其方向上投影的乘積……但學(xué)生在問題解決中往往缺少這種意識，不能把數(shù)與形有機結(jié)合．如下題目，此題在我市實測難度為0.18，就暴露出了學(xué)生的上述問題.

題目(2011年蘇錫常鎮(zhèn)二模第12題)平面內(nèi)兩個非零向量α，β滿足 |β|=1，且α與β-α的夾角為135°,則|α| 的取值范圍是.

分析本題解決需要學(xué)生有幾何化的意識，由三角形法則構(gòu)造出一個三角形，這樣條件中的向量模長與邊長對應(yīng)，向量夾角與三角形內(nèi)角角度對應(yīng)，問題就可完成轉(zhuǎn)化．當(dāng)然如果能聯(lián)系圓的相關(guān)知識的話，那么就更簡單了，于是有以下兩種解法．

圖5

圖6

3 結(jié)語：宏觀的課程與微觀的課堂之間應(yīng)有中觀的單元教學(xué)設(shè)計

什么是教學(xué)？這一問題可謂仁者見仁，智者見智．希伯特將其描述為“在課堂中圍繞內(nèi)容，并促進學(xué)習(xí)目標(biāo)達成的師生、生生活動”．教學(xué)的任務(wù)是創(chuàng)造一個學(xué)生參與的環(huán)境來引起學(xué)生思考，并且讓學(xué)生解釋他們知道什么以及是如何思考的，所以它受到教師、學(xué)生和學(xué)科知識之間關(guān)系的制約，這需要我們教師考慮到各方面的因素并做出的決策和行動，也就是要充分思考“三個理解”．筆者認(rèn)為，在宏觀的課程與微觀的課堂之間還應(yīng)有中觀的單元教學(xué)設(shè)計，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)中，單元教學(xué)設(shè)計尤為重要，它應(yīng)是教師教學(xué)活動的重心所在，也是教學(xué)研究的永恒主題．“三個理解”指導(dǎo)下的單元教學(xué)可以有多個角度的思考與實踐，它是一個需要經(jīng)歷種種迷茫、困惑、沖突、感悟、發(fā)現(xiàn)，否定——肯定——再否定——再肯定的過程，它不可能一蹴而就，也不可能一勞永逸，但據(jù)此會產(chǎn)生新的變革、擴大、深化、再創(chuàng)造，一線教師正應(yīng)在這樣的過程中修煉自己的教學(xué)行為，提升教育智慧．