陳志江

(常熟外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 215500)

1 問(wèn)題的提出

近年來(lái)，平面向量?jī)?nèi)容在?？?、高考中逐漸加大了考查難度和力度，與此相對(duì)的是學(xué)生對(duì)向量問(wèn)題的解決似乎越來(lái)越不理想．筆者在與師生的交流中了解到：學(xué)生們認(rèn)為向量題解法靈活多樣、變化多端、難以捉摸，有的題目甚至無(wú)從下手；教師們則認(rèn)為該講的都講了，很多題目并不難，但學(xué)生錯(cuò)誤率卻很高，認(rèn)為還是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)差，同時(shí)也感到平面向量的教學(xué)越來(lái)越困難了．教與學(xué)出現(xiàn)了矛盾，《平面向量》這一單元到底如何教？讓筆者陷入了深深的思考，筆者認(rèn)為可能是教師在平面向量?jī)?nèi)容的教學(xué)中僅僅完成了書(shū)本知識(shí)的傳授，站位較低，缺少高位的教學(xué)目標(biāo)指引和一些整體構(gòu)想，于是造成了學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的理解不深刻，應(yīng)用不靈活.

章建躍博士在其論文《中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題》中提出：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是進(jìn)行新課程有效教學(xué)的三大基石．”這句話發(fā)人深?。P(guān)于“平面向量”這一單元的教學(xué)我們是否做到了“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”？在反思后筆者寫(xiě)就本文，以蘇教版教材為例(其他版本教材可參考)，闡述在“三個(gè)理解”指導(dǎo)下對(duì)《平面向量》這一單元內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)想，希望以此改進(jìn)教學(xué)，在此拋磚引玉，請(qǐng)方家指正.

2 基于“三個(gè)理解”的《平面向量》單元教學(xué)構(gòu)想

2.1 理解數(shù)學(xué)，將向量?jī)?nèi)容有機(jī)融入數(shù)學(xué)知識(shí)體系

理解數(shù)學(xué)是指教師不僅清楚數(shù)學(xué)知識(shí)本身是什么，能解各種數(shù)學(xué)題，也指教師清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景、形成過(guò)程、形成方法，清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)及其與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系．教師只有理解了所教學(xué)的內(nèi)容，才會(huì)在教學(xué)設(shè)計(jì)中準(zhǔn)確地確定教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，才不會(huì)“撿了芝麻丟了西瓜”.

在平面向量教學(xué)中，教師要清楚向量知識(shí)“來(lái)自何處，又去向何方”，還要清楚平面向量的知識(shí)系統(tǒng)(如圖1)，在此基礎(chǔ)上我們才能把現(xiàn)成的、成熟的數(shù)學(xué)知識(shí)還原為生成的、發(fā)展的知識(shí)．傳統(tǒng)觀念下的中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容就是數(shù)、式、方程、函數(shù)及幾何圖形，而平面向量?jī)?nèi)容的加入如打開(kāi)了一扇窗，透過(guò)這扇窗，可使學(xué)生領(lǐng)略到不少優(yōu)美的數(shù)學(xué)景象．比如向量擴(kuò)充了運(yùn)算的對(duì)象和內(nèi)涵，有向量的加法、減法運(yùn)算(a±b=c)、向量的數(shù)乘運(yùn)算(λa=b)、數(shù)量積運(yùn)算(a·b=c)，向量運(yùn)算時(shí)運(yùn)算對(duì)象從一元擴(kuò)展到多元，這對(duì)于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算(如導(dǎo)數(shù)、矩陣、變換等)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力具有奠基作用．在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，向量的引入與尋求幾何研究的新工具有很大關(guān)系，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具．在教學(xué)中要善于用向量語(yǔ)言和方法與這些內(nèi)容有機(jī)整合，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在平面幾何、立體幾何、解析幾何和三角函數(shù)等方面的廣泛應(yīng)用，認(rèn)識(shí)向量在更新完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)方面的重要作用．

2.2 理解學(xué)生，既要對(duì)接還需發(fā)展學(xué)生的知識(shí)水平

理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)、潛能、需求與差異，清楚學(xué)生學(xué)習(xí)特定數(shù)學(xué)知識(shí)已有的知識(shí)萌芽、生長(zhǎng)點(diǎn)與潛在的困難，清楚學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的對(duì)象是學(xué)生，教學(xué)設(shè)計(jì)是為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)．因此在教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)前對(duì)學(xué)生的分析，教學(xué)問(wèn)題的診斷顯得尤其重要，只有較為深刻地理解了學(xué)生，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中才能準(zhǔn)確地確定難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，反之，離開(kāi)了對(duì)學(xué)生現(xiàn)狀的準(zhǔn)確把握，再漂亮完善的教學(xué)設(shè)計(jì)也達(dá)不到理想效果，正如蘇霍姆林斯基說(shuō)“沒(méi)有也不可能有抽象的學(xué)生”.

向量的內(nèi)容對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新知，我們要尋找好知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，主要是兩個(gè)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)：一是物理中矢量的相關(guān)知識(shí)；二是數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系．教材充分考慮到這兩點(diǎn)，在新知內(nèi)容的展開(kāi)時(shí)緊密結(jié)合學(xué)生的已有知識(shí)，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從大量的實(shí)際背景中抽象出向量的概念(數(shù)學(xué)模型)；然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的性質(zhì)；最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題，這樣一種“循序漸進(jìn)，螺旋上升”的設(shè)計(jì)使對(duì)新知內(nèi)容的教學(xué)變得容易且自然清楚，因此，就向量新知內(nèi)容的教學(xué)而言并不困難．但如果教學(xué)停留于此，那么就把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程變成了識(shí)記的過(guò)程，而不是思考怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生的能力就得不到提高．事實(shí)上，向量教學(xué)的難點(diǎn)主要在于向量的應(yīng)用，這也是學(xué)生的困難所在，如果學(xué)完了內(nèi)容卻不知道這有什么用及如何用來(lái)處理問(wèn)題，那這樣的教學(xué)一定是意義不足的、價(jià)值殘缺的、也是沒(méi)有深度的，所以我們應(yīng)深入思考向量應(yīng)用的教學(xué)，培育發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用能力．

2.3 理解教學(xué)，培育學(xué)生處理向量問(wèn)題的四種意識(shí)

理解教學(xué)是指教師清楚教學(xué)的本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法和教學(xué)藝術(shù)，清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機(jī)的、統(tǒng)一的、相互促進(jìn)的整體來(lái)加以處理．基于筆者對(duì)平面向量單元內(nèi)容教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，將本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)為四個(gè)層次，并深化教學(xué)目標(biāo)為培育學(xué)生處理向量問(wèn)題的四種意識(shí)，具體如下：

第一層次，在類比與比較中建構(gòu)線性運(yùn)算，培育學(xué)生基底化意識(shí).

教材中向量?jī)?nèi)容是在與物理中一些矢量(如位移、速度、加速度、力等)的類比和數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律的比較中逐步展開(kāi)的．在引出向量概念時(shí)提出問(wèn)題“位移和距離這兩個(gè)量有什么不同”，又再現(xiàn)了數(shù)量的概念，并將其與向量作比較；在研究向量的加法時(shí)首先研究“兩次位移后游艇的合位移是什么”，研究向量加法的運(yùn)算律時(shí)直言為“交換律、結(jié)合律”引發(fā)與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的比較；在研究向量的數(shù)乘運(yùn)算時(shí)以“質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)下的位移問(wèn)題”為引入，給出數(shù)乘的運(yùn)算律后提出了思考“向量的數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)”等等，教學(xué)中我們要充分認(rèn)識(shí)到這些，設(shè)計(jì)好從數(shù)和矢量到向量的類比比較學(xué)習(xí).

此時(shí)要達(dá)到建構(gòu)好向量的線性運(yùn)算體系尚且不夠，還需要以“平面向量基本定理”來(lái)統(tǒng)領(lǐng)，該定理的本質(zhì)就是：平面上任何一個(gè)向量總是可以由兩個(gè)不共線的向量線性表出，這樣才能“升華”學(xué)生對(duì)向量線性運(yùn)算的理解．就定理本身而言，其內(nèi)容與證明并不難，難就難在對(duì)定理的應(yīng)用上，學(xué)生往往不清楚有了這個(gè)定理能解決什么問(wèn)題，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)定理的理解并不深刻，即缺乏對(duì)向量問(wèn)題通過(guò)基底化后來(lái)解決的意識(shí)．因此教學(xué)中我們要選擇好典型問(wèn)題，通過(guò)典型問(wèn)題的解決培育好學(xué)生的基底化意識(shí).

解法如下：

第二層次，從向量分解到向量的坐標(biāo)運(yùn)算，培育學(xué)生坐標(biāo)化意識(shí).

平面向量基本定理實(shí)際上是在對(duì)向量進(jìn)行分解，當(dāng)把一組基底取成互相垂直的單位向量時(shí)，就可在平面直角坐標(biāo)系中定義平面向量的坐標(biāo)表示了，因此，“平面向量基本定理”起到了承上啟下的作用．向量的坐標(biāo)化使形到數(shù)的轉(zhuǎn)化變?yōu)榭赡?，打開(kāi)了向量與解析幾何聯(lián)系的窗戶，為很多問(wèn)題的解決開(kāi)辟了新的道路．當(dāng)然隨之而來(lái)的是要探討平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示(進(jìn)一步完善了向量線性運(yùn)算的體系)，以及后續(xù)學(xué)習(xí)的向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

同樣，對(duì)向量的坐標(biāo)運(yùn)算我們也不能只停留在知道運(yùn)算法則和會(huì)作運(yùn)算上，更應(yīng)培育學(xué)生應(yīng)用向量的坐標(biāo)化進(jìn)行問(wèn)題解決的意識(shí).

圖3

分析本題載體為矩形，存在兩線垂直的條件，又加上AB，BC的長(zhǎng)度已知，會(huì)給我們聯(lián)想，建立坐標(biāo)系，將向量進(jìn)行坐標(biāo)化.

從上例可以看出，坐標(biāo)化解決一些幾何問(wèn)題可謂“四兩撥千斤”．此類問(wèn)題的幾何載體，一般涉及正方形、矩形、等邊三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，有時(shí)也會(huì)給已知一個(gè)定角和一些線段長(zhǎng)度的不規(guī)則圖形，均可嘗試坐標(biāo)化處理．這也為以后解析幾何中進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析法埋下了伏筆．

第三層次，對(duì)數(shù)量積的物理性作數(shù)學(xué)抽象，培育學(xué)生數(shù)量化意識(shí).

向量的數(shù)量積對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種新的運(yùn)算，在學(xué)習(xí)了向量的加法、減法、數(shù)乘三種運(yùn)算后，教材從問(wèn)題：“向量與向量能否‘相乘’呢？”引入可謂直擊“要害”，簡(jiǎn)明自然，很好地引起認(rèn)知沖突；然后從物理中的力對(duì)物體做功問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，定義兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算，直觀形象，水到渠成，教學(xué)中要充分結(jié)合實(shí)際問(wèn)題幫助學(xué)生理解運(yùn)算含義．對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律更是要注意與實(shí)數(shù)中乘法運(yùn)算律及向量的數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行比較，且要正確區(qū)分它們的相同與不同之處．向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算則是對(duì)向量坐標(biāo)化的進(jìn)一步完善.

在這一層次的教學(xué)中，重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算，難點(diǎn)則是數(shù)量積的應(yīng)用，而學(xué)生大多對(duì)數(shù)量積運(yùn)算的理解是很不深刻的，事實(shí)上該運(yùn)算是向量與向量相乘和數(shù)量與數(shù)量相乘相互轉(zhuǎn)化的橋梁(a·b=|a||b|cosθ，特別地a2=|a|2)．?dāng)?shù)量積在向量條件的轉(zhuǎn)化中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生是否具有將向量進(jìn)行數(shù)量化的意識(shí)直接關(guān)系著問(wèn)題的能否解決.

圖4

則有1=x2+y2+2xycos120°，

即1=x2+y2-xy．

從而x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)．

故x+y的最大值為2.

解法二設(shè)∠AOC=α，則

再如《解三角形》一章中，對(duì)“正、余弦定理”的證明就是對(duì)向量式子應(yīng)用上述方法實(shí)施數(shù)量化，這當(dāng)然是對(duì)學(xué)生數(shù)量化意識(shí)培育的又一個(gè)好機(jī)會(huì).

第四層次，用向量實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化，培育學(xué)生幾何化意識(shí).

這一層次是本章最后一節(jié)內(nèi)容“向量的應(yīng)用”，篇幅雖不長(zhǎng)，但內(nèi)蘊(yùn)很豐富，需要深入挖掘．在學(xué)習(xí)向量基本知識(shí)后，我們應(yīng)有意識(shí)地將向量與三角恒等變形，與幾何、代數(shù)之間的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的聯(lián)系，并通過(guò)比較和感受向量在處理三角、幾何、代數(shù)等各不同數(shù)學(xué)分支問(wèn)題中的獨(dú)到之處和橋梁作用，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的整體性．這樣有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過(guò)程.

在這個(gè)層次中，培育學(xué)生的幾何化意識(shí)尤為重要，其實(shí)，向量?jī)?nèi)容中很多式子都有其幾何意義．比如向量的加法和減法對(duì)應(yīng)著平行四邊形或三角形，向量的模對(duì)應(yīng)著線段的長(zhǎng)度，兩非零向量的數(shù)量積為0對(duì)應(yīng)著相互垂直，兩向量的數(shù)量積也可視作一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在其方向上投影的乘積……但學(xué)生在問(wèn)題解決中往往缺少這種意識(shí)，不能把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合．如下題目，此題在我市實(shí)測(cè)難度為0.18，就暴露出了學(xué)生的上述問(wèn)題.

題目(2011年蘇錫常鎮(zhèn)二模第12題)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量α，β滿足 |β|=1，且α與β-α的夾角為135°,則|α| 的取值范圍是.

分析本題解決需要學(xué)生有幾何化的意識(shí)，由三角形法則構(gòu)造出一個(gè)三角形，這樣條件中的向量模長(zhǎng)與邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，向量夾角與三角形內(nèi)角角度對(duì)應(yīng)，問(wèn)題就可完成轉(zhuǎn)化．當(dāng)然如果能聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)的話，那么就更簡(jiǎn)單了，于是有以下兩種解法．

圖5

圖6

3 結(jié)語(yǔ)：宏觀的課程與微觀的課堂之間應(yīng)有中觀的單元教學(xué)設(shè)計(jì)

什么是教學(xué)？這一問(wèn)題可謂仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智．希伯特將其描述為“在課堂中圍繞內(nèi)容，并促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成的師生、生生活動(dòng)”．教學(xué)的任務(wù)是創(chuàng)造一個(gè)學(xué)生參與的環(huán)境來(lái)引起學(xué)生思考，并且讓學(xué)生解釋他們知道什么以及是如何思考的，所以它受到教師、學(xué)生和學(xué)科知識(shí)之間關(guān)系的制約，這需要我們教師考慮到各方面的因素并做出的決策和行動(dòng)，也就是要充分思考“三個(gè)理解”．筆者認(rèn)為，在宏觀的課程與微觀的課堂之間還應(yīng)有中觀的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)中，單元教學(xué)設(shè)計(jì)尤為重要，它應(yīng)是教師教學(xué)活動(dòng)的重心所在，也是教學(xué)研究的永恒主題．“三個(gè)理解”指導(dǎo)下的單元教學(xué)可以有多個(gè)角度的思考與實(shí)踐，它是一個(gè)需要經(jīng)歷種種迷茫、困惑、沖突、感悟、發(fā)現(xiàn)，否定——肯定——再否定——再肯定的過(guò)程，它不可能一蹴而就，也不可能一勞永逸，但據(jù)此會(huì)產(chǎn)生新的變革、擴(kuò)大、深化、再創(chuàng)造，一線教師正應(yīng)在這樣的過(guò)程中修煉自己的教學(xué)行為，提升教育智慧．