孫朝仁

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下簡稱《標準》)將數(shù)學抽象作為數(shù)學學科的第一個素養(yǎng).《標準》明確指出，“數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言予以表征”[1].可以說，數(shù)學抽象既是數(shù)學的基本思想，更是形成理性思維的重要基礎(chǔ).由于“數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象”而處于核心地位，因此，數(shù)學抽象不只是高中生的專屬素養(yǎng)，也應(yīng)是初中生的必備素養(yǎng).

史寧中教授將數(shù)學抽象劃分為感性抽象和理性抽象[2].其中，感性抽象是把現(xiàn)實中的一些與數(shù)量和圖形有關(guān)的東西引入數(shù)學內(nèi)部，形成數(shù)學概念、數(shù)學法則和數(shù)學模型；理性抽象是對感性抽象得到的思想材料進行二次抽象，是從“此理性具體”到“彼理性具體”的思維過程.而數(shù)學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學教與學的活動方式，是在教師的引導下，學生運用有關(guān)工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學結(jié)論的思維活動，其中審美意識滲透于整個活動過程之中.顯然，數(shù)學實驗過程中的操作、思考、運用、審美的過程從某種意義上來說，正是“數(shù)學抽象”的過程.因此說，數(shù)學實驗是數(shù)學抽象素養(yǎng)形成和發(fā)展的有效路徑.

我們認為，數(shù)學實驗過程中的“操作”與“思考”是感性抽象的通用技術(shù)，影響概念本質(zhì)屬性的發(fā)生、發(fā)展與使用，以及客觀理想化抽象以及條件擴張式抽象(弱抽象)的經(jīng)驗水平；而“運用”“審美”則是理性抽象的適應(yīng)性路徑，影響概念關(guān)系原型的建立，以及強化結(jié)構(gòu)式抽象以及聯(lián)結(jié)關(guān)系式抽象的能力水平.

1 基于“操作”的理想化抽象，抽象概念屬性

動手“做數(shù)學”是數(shù)學實驗的主體，是初中段學生進行數(shù)學學習的基本途徑，起于感官認知理解，在揭示概念本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)客觀理想化抽象.

鄭毓信從數(shù)學實驗的客觀性出發(fā)，確認數(shù)學抽象具有理想化、精確化、模式化的特點[3].理想化數(shù)學抽象的基本含義是：一方面，數(shù)學源于現(xiàn)實，包括數(shù)學概念、數(shù)學結(jié)論、數(shù)學方法是現(xiàn)實世界的反映產(chǎn)物；另一方面，數(shù)學高于現(xiàn)實，數(shù)學對象是抽象思維的產(chǎn)物，是理想化的知覺產(chǎn)物.如，各種球類、交叉路口等都給我們以“點”的印象.眾所周知，數(shù)學意義上的點源于千姿百態(tài)的生活實物中“點”的形象(如，起跳點等)，但卻是去物理屬性的“點”，因此“點”沒有大小就是數(shù)學抽象的結(jié)果；還比如，數(shù)學研究范疇的線、面是沒有粗細之分、沒有厚薄之分的，這種去物理屬性的數(shù)學對象也是數(shù)學抽象的結(jié)果形態(tài).

動手“做數(shù)學”，也即動手操作的本質(zhì)就是剔除概念物理屬性，獲得概念或概念本質(zhì)關(guān)系的過程.基于這一意義，可以說“操作”是實現(xiàn)數(shù)學抽象的一個起點，是獲得數(shù)學研究對象及其規(guī)律的思想前提.當然，在初中階段 “做數(shù)學”與“基本活動經(jīng)驗”顯著相關(guān)，“數(shù)學活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀”.為此，“操作”需要做好三個層面的問題導學工作，方能達成理想化數(shù)學抽象的目標.一是“情境性”問題導學，落實發(fā)生概念抽象的先行組織行為；二是“工具性”問題導學，提高知覺概念發(fā)展的抽象水平；三是“關(guān)系性”問題導學，建立全息數(shù)學結(jié)論的通用技術(shù).比如，在研究“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”的基本事實時，就是通過客觀理想化抽象實現(xiàn)對概念的把握.

具體設(shè)計實施客觀理想化抽象過程如下：

首先，讓學生研究“交通圖”(見圖1)，在問題導學基礎(chǔ)上，抽象出平行線性質(zhì)的“存在性”和“唯一性”.其一是，說出圖中存在的近似平行的道路形象；其二是，過人民廣場與建設(shè)路平行的道路有哪幾條？其三是，過勞動路與青年路交叉點且與建設(shè)路平行的道路有哪幾條？在感知基礎(chǔ)上，基于生活經(jīng)驗還原平行事實的本來面貌，為概念事實性質(zhì)的發(fā)生提供情境支持體系.

圖1

其次，讓學生通過“折紙活動”，抽象出平行線性質(zhì)的“唯一性”.即用一張方格紙任意折平行線，說出你的發(fā)現(xiàn)；在A4紙上任意確定一個點，過這個點，折出其中一邊的平行線，能折幾條？在A4紙上任意確定一個點，并折出一條斜線型折痕，過該點折出與斜線折痕平行的折痕.寫出你的發(fā)現(xiàn)，由此你有怎樣的經(jīng)驗感悟？

最后，讓學生通過“畫圖”，抽象出平行線的“唯一性”.其一是，利用方格紙的格點和格線，畫已知點和已知直線的平行線；其二是，在練習紙上，任意確定一個點和任意畫一條直線，使用“三角板+直尺”，畫出過已知點且與已知直線平行的直線，在抽象出畫圖經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，表述平行線的基本事實；其三是，借助“直尺+三角板”驗證，進一步感悟在較復雜圖形中存在的平行線的“唯一性”特征.

之所以把“操作”作為初中段數(shù)學抽象的起點，是因為，一方面有助于知覺認知抽象的適應(yīng)性發(fā)生，能讓學習者直覺感知概念的本體特征；另一方面有助于理想化抽象的理性發(fā)生，形成概念間的內(nèi)部邏輯關(guān)系.如果說，把“交通圖”中的平行關(guān)系事實作為情境抽象的載體，那么“折紙活動”就是工具抽象發(fā)生的行為，而“畫、說平行事實”則是數(shù)學關(guān)系抽象的一種可表現(xiàn)形式，終于理想化抽象對數(shù)學概念認知的積極推動作用.

2 基于“思考”的擴張式抽象，抽象概念本質(zhì)

在“做”的基礎(chǔ)上進行“思考”，做思結(jié)合，有助于數(shù)學概念本質(zhì)屬性的揭示.在這里，“思考”作為數(shù)學實驗教學不可或缺的一個重要元素，是概念得以同化的思維模塊，是擴張式抽象(弱抽象)的思維“地基”.當然，“直觀的看”對于抽象概念本質(zhì)，探索問題解決的思路并預(yù)測結(jié)果，其作用也不可低估.

日常教學中，“數(shù)學閱讀”“賞析圖片”“畫板演示”等都是以獲得概念本質(zhì)為特征的擴張式抽象的一個個具體行為.換句話說，擴張式抽象就是研究對象的內(nèi)涵被不斷壓縮，而外延得以不斷擴大，即“原型”思想產(chǎn)生式.像“正比例函數(shù)→一次函數(shù)→初等函數(shù)→函數(shù)→映射”“一元一次方程→整式方程→有理方程→方程”就是“函數(shù)”“方程”概念擴張式抽象的基本鏈條.

在數(shù)學家麥考萊恩看來[4]，“數(shù)學的發(fā)展就是利用經(jīng)驗和直覺的洞察力去發(fā)現(xiàn)合適的形式結(jié)構(gòu)，對這些結(jié)構(gòu)進行演繹分析，并建立這些結(jié)構(gòu)之間的形式聯(lián)系.”也就是說，無論是經(jīng)驗利用、直覺洞察抑或結(jié)構(gòu)關(guān)系等，都是“思考”的支持系統(tǒng). 正是因為有了“數(shù)學思考”，才使得擴張式抽象得以將知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認知結(jié)構(gòu)，進而形成知識形態(tài)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.

有研究[5]認為，學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)能力發(fā)展存在差異，城區(qū)學校的學生在數(shù)學抽象能力的發(fā)展上好于鄉(xiāng)村學校的學生等.其實，造成這種差異的主要原因來自于自身的天然優(yōu)勢，城區(qū)學生有更多的數(shù)學實驗資源和裝備.當然，這里的數(shù)學“抽象”，對處于從形象思維向抽象思維過渡期的初中學生來說，主要是條件性擴張式抽象，關(guān)系到知識結(jié)構(gòu)的定量與知識形態(tài)的定性，在抽象水平上表現(xiàn)為知覺認知水平的一致性原則.事實上，獲得數(shù)學“原型”的過程就是擴張式抽象再抽象的過程，貫穿于數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.

為此，數(shù)學實驗教學要做好三個維度的擴張式抽象工作：一是基于已有經(jīng)驗，實施“前抽象”反應(yīng)塊，建立概念層級關(guān)系；二是基于數(shù)學內(nèi)部關(guān)系，執(zhí)行“主抽象”行為，實現(xiàn)模型順應(yīng)；三是基于知識的重組關(guān)系，建立“后抽象”支架，落實知識結(jié)構(gòu)性目標，終于數(shù)學抽象整體水平的提升.

例如，在探討“一元二次方程”與“基本圖形”的概念關(guān)系時，通過設(shè)計“思維反應(yīng)組塊”，可以實現(xiàn)擴張式數(shù)學抽象.

問題導學：某學校九年級數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究.如圖1，已知AB=8，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.(1)在點P運動時，這兩個正方形面積之和能否是32？24呢？如果是，求出AP的長；若不是，請說明理由；(2)分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由；(3)如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，在點P從A到D的運動過程中，求出PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長.

分析問題不難看出，問題(1)是對方程原型的抽象，是關(guān)于方程求解與解釋及其根的判別式的使用問題；問題(2)是對基本圖形的運動與構(gòu)造，需要運用分類思想，是關(guān)于圖形關(guān)系的結(jié)構(gòu)性變化的問題；問題(3)是數(shù)形結(jié)合的基本方法，關(guān)系到學生的擴張式抽象能力，以及對動態(tài)過程的把握問題.

圖1

圖2

懷特海在《教育的目的》一書中指出，數(shù)學課程的目標是“學生能夠通曉抽象思維，能夠認識到它是如何應(yīng)用于特殊而具體的環(huán)境，應(yīng)該知道怎樣在合乎邏輯的調(diào)查研究中使用一般的方法.”數(shù)學抽象是數(shù)學的三大能力之一，是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵目標.這里的“具體應(yīng)用→合乎邏輯”是模型使用到結(jié)構(gòu)關(guān)系建立的表現(xiàn)形式，反映擴張式數(shù)學抽象的基本特征，有助于學生形成知識體系.

3 基于“運用”的結(jié)構(gòu)式抽象，抽象概念關(guān)系

“學習的最終目的在于運用”.在數(shù)學學習過程中，“運用”是最高境界，是數(shù)學抽象后的轉(zhuǎn)化，有助于概念關(guān)系的深度把握.而深刻認識概念的本質(zhì)關(guān)系，離不開數(shù)學“強化結(jié)構(gòu)式抽象”(簡稱“強抽象”)行為的支持.強抽象的特點是研究對象的外延不斷縮小，而內(nèi)涵不斷擴大，有助于把握某一具體事物的某一方面特征，對于概念特征的把握具有不可替代的作用，與“弱抽象”一樣都是認識事物的基本方式.

從思維行為來說，弱抽象與強抽象都帶有“特殊與一般”的關(guān)系特征.如，“四邊形→梯形→平行四邊形→矩形或菱形→正方形”以及“映射→函數(shù)→初等函數(shù)→一次函數(shù)→正比例函數(shù)”的概念鏈條，通過強抽象，可以使學生更深刻地認識“子概念”的某一方面特征.比如，平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線互相平分且垂直，正方形的對角線互相平分、互相垂直且相等，等等.通過這些局部特征就能很好地認識基本圖形的性質(zhì)和類型，凸顯數(shù)學抽象的作用和認識事物的價值.

按照抽象的程度不同，史寧中教授把數(shù)學抽象分為約簡階段、符號階段、普適階段.對于“運用”數(shù)學來說涵蓋兩方面的強抽象，一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊含大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題(約簡階段)，用數(shù)學的方法予以解決(符號階段)；另一方面，有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題(普適階段).基于強抽象的這些作用，數(shù)學實驗要做好三個維度的抽象工作：一是在“約簡概念或形成概念”中，把握概念的本質(zhì)特征，落實強抽象的具體化功能；二是在“符號化概念或使用概念”中，構(gòu)造概念關(guān)系特征，提升強抽象的素養(yǎng)水平；三是在“普適概念或使用套路”中，擴充解法體系結(jié)構(gòu)，提升問題解決水平和思維抽象修養(yǎng)，給學生在課堂留下更多的“帶得走的東西”.

例如，“圓”概念起始課的教學，基于“強化結(jié)構(gòu)式抽象”的一般原則，具體可從三條主線進行研究.第一是，讓學生任意剪一個圓形紙片，交流剪法且觀察旋轉(zhuǎn)中的圓形紙片，描述靜態(tài)圓和動態(tài)圓的特征，并舉例說明生活中存在的各種各樣圓的形態(tài)本質(zhì)；第二是，讓學生在剪出的圓形紙片上標出圓心，并在此圓所在的平面上任取一點，連接該點與圓心，通過度量的方式探究半徑與圓心距的大小關(guān)系.在交流互動的基礎(chǔ)上，抽象出點與圓的位置關(guān)系；第三是，在問題解決中感受點與圓的位置關(guān)系的基本屬性，在折疊圓形紙片中抽象出垂徑定理，在畫圖中認識“集合概念”的一般意義.這些子概念的內(nèi)涵特征的把握與形成就源自于強化結(jié)構(gòu)式抽象的反復作用.

強抽象是形成數(shù)學概念的核心.盡管目前義務(wù)教育階段還沒有明確確立數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)地位，僅在高中課程標準中給出明確的說明.但是“使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)造數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”的宗旨就是數(shù)學抽象核心素養(yǎng)地位得以確立的標志.

柯朗在《什么是數(shù)學》一書中指出，“一切數(shù)學的發(fā)展在心理學上都或多或少地基于實際的，但是理論一旦在實際的需要中出現(xiàn)，就不可避免的會使它自身獲得發(fā)展的動力，并超越出直接實用的局面.”這里的“心理實際范疇”與運用數(shù)學高度相關(guān).一方面，數(shù)學實驗的本質(zhì)是一種具有實際意義的心理活動，促進概念認知理解；另一方面，數(shù)學實驗在抽象與被抽象中獲得自支持性發(fā)展，讓概念抽象性有了具體可觸特征.

在抽象“圓”這一概念中，“剪出+旋轉(zhuǎn)”圓形紙片的行為是約簡概念階段，確立“點與圓的位置關(guān)系”的實驗過程是符號概念抽象過程，三個維度運用數(shù)學概念是普適概念的抽象階段.事實上，三個階段抽象本身就是一種強抽象—弱抽象—強抽象的思維邏輯順序，是對概念的思考與再思考的過程.

4 基于“審美”的關(guān)系式抽象，抽象概念原型

“數(shù)學是這樣一門科學，在其中我們既不知道說的是什么，也不知道說的是否為真.”(羅素語)；“數(shù)學是唯一的這樣一門學科，在其中我們確切知道自己在說什么，并能肯定自己是否為真.”(波萊爾語)前者可以看作是“自然要求多樣性”的審美行為，而后者可以看作是對“理性要求一體性”的思維本義，反映數(shù)學實驗審美屬性的兩個側(cè)面.一方面，是數(shù)學抽象對象所反映出的自然美；另一方面，是數(shù)學聯(lián)結(jié)關(guān)系所體現(xiàn)出的理性美，二者在用“審美”中由對立走向統(tǒng)一，這就是數(shù)學實驗的獨特價值.

數(shù)學實驗過程中的“情境創(chuàng)設(shè)”(由拼紙片得到因式分解公式就是一個典型的情境創(chuàng)設(shè)范例)就是自然美的一種使用原則，而從數(shù)學內(nèi)部關(guān)系(如，基于多項式乘法運算的逆思考建構(gòu)因式分解概念則是解析二者內(nèi)部關(guān)系的典型范例)建設(shè)概念關(guān)系則是理性美的一種具象.從某種意義上來說，數(shù)學實驗的創(chuàng)新就是表現(xiàn)在將數(shù)學對象的自然屬性與理性屬性并軌，體現(xiàn)數(shù)學實驗的審美價值.一般地，學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心，歸納概括得到猜想和規(guī)律并加以驗證則是創(chuàng)新的重要方法.事實上，創(chuàng)新的基礎(chǔ)、方法以及核心，都與比格斯(John Biggs)教授提出的SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome，觀察到的學習結(jié)果的結(jié)構(gòu))評價理論[6]高度相關(guān)，突出“抽象拓展結(jié)構(gòu)水平”(Extended Abstract Level)(需要通過推理、演繹的理性，提出具有普遍意義的猜想)審美的一般屬性特征.

在史寧中教授看來，初中階段數(shù)學核心素養(yǎng)，就是“用數(shù)學的眼光觀察數(shù)學世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達數(shù)學世界.”[7]這里的“觀察-分析-表達”恰是數(shù)學實驗的一般審美秩序.因此，數(shù)學實驗的“審美”本身既是原型抽象，又是關(guān)系聯(lián)結(jié)，終于直觀與抽象，理性與自然的哲學審美合一.