孫朝仁

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下簡稱《標準》)將數學抽象作為數學學科的第一個素養(yǎng).《標準》明確指出，“數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養(yǎng).主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數學語言予以表征”[1].可以說，數學抽象既是數學的基本思想，更是形成理性思維的重要基礎.由于“數學源于對現實世界的抽象”而處于核心地位，因此，數學抽象不只是高中生的專屬素養(yǎng)，也應是初中生的必備素養(yǎng).

史寧中教授將數學抽象劃分為感性抽象和理性抽象[2].其中，感性抽象是把現實中的一些與數量和圖形有關的東西引入數學內部，形成數學概念、數學法則和數學模型；理性抽象是對感性抽象得到的思想材料進行二次抽象，是從“此理性具體”到“彼理性具體”的思維過程.而數學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現數學規(guī)律、理解數學知識、驗證數學結論的思維活動，其中審美意識滲透于整個活動過程之中.顯然，數學實驗過程中的操作、思考、運用、審美的過程從某種意義上來說，正是“數學抽象”的過程.因此說，數學實驗是數學抽象素養(yǎng)形成和發(fā)展的有效路徑.

我們認為，數學實驗過程中的“操作”與“思考”是感性抽象的通用技術，影響概念本質屬性的發(fā)生、發(fā)展與使用，以及客觀理想化抽象以及條件擴張式抽象(弱抽象)的經驗水平；而“運用”“審美”則是理性抽象的適應性路徑，影響概念關系原型的建立，以及強化結構式抽象以及聯(lián)結關系式抽象的能力水平.

1 基于“操作”的理想化抽象，抽象概念屬性

動手“做數學”是數學實驗的主體，是初中段學生進行數學學習的基本途徑，起于感官認知理解，在揭示概念本質屬性的基礎上，實現客觀理想化抽象.

鄭毓信從數學實驗的客觀性出發(fā)，確認數學抽象具有理想化、精確化、模式化的特點[3].理想化數學抽象的基本含義是：一方面，數學源于現實，包括數學概念、數學結論、數學方法是現實世界的反映產物；另一方面，數學高于現實，數學對象是抽象思維的產物，是理想化的知覺產物.如，各種球類、交叉路口等都給我們以“點”的印象.眾所周知，數學意義上的點源于千姿百態(tài)的生活實物中“點”的形象(如，起跳點等)，但卻是去物理屬性的“點”，因此“點”沒有大小就是數學抽象的結果；還比如，數學研究范疇的線、面是沒有粗細之分、沒有厚薄之分的，這種去物理屬性的數學對象也是數學抽象的結果形態(tài).

動手“做數學”，也即動手操作的本質就是剔除概念物理屬性，獲得概念或概念本質關系的過程.基于這一意義，可以說“操作”是實現數學抽象的一個起點，是獲得數學研究對象及其規(guī)律的思想前提.當然，在初中階段 “做數學”與“基本活動經驗”顯著相關，“數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀”.為此，“操作”需要做好三個層面的問題導學工作，方能達成理想化數學抽象的目標.一是“情境性”問題導學，落實發(fā)生概念抽象的先行組織行為；二是“工具性”問題導學，提高知覺概念發(fā)展的抽象水平；三是“關系性”問題導學，建立全息數學結論的通用技術.比如，在研究“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”的基本事實時，就是通過客觀理想化抽象實現對概念的把握.

具體設計實施客觀理想化抽象過程如下：

首先，讓學生研究“交通圖”(見圖1)，在問題導學基礎上，抽象出平行線性質的“存在性”和“唯一性”.其一是，說出圖中存在的近似平行的道路形象；其二是，過人民廣場與建設路平行的道路有哪幾條？其三是，過勞動路與青年路交叉點且與建設路平行的道路有哪幾條？在感知基礎上，基于生活經驗還原平行事實的本來面貌，為概念事實性質的發(fā)生提供情境支持體系.

圖1

其次，讓學生通過“折紙活動”，抽象出平行線性質的“唯一性”.即用一張方格紙任意折平行線，說出你的發(fā)現；在A4紙上任意確定一個點，過這個點，折出其中一邊的平行線，能折幾條？在A4紙上任意確定一個點，并折出一條斜線型折痕，過該點折出與斜線折痕平行的折痕.寫出你的發(fā)現，由此你有怎樣的經驗感悟？

最后，讓學生通過“畫圖”，抽象出平行線的“唯一性”.其一是，利用方格紙的格點和格線，畫已知點和已知直線的平行線；其二是，在練習紙上，任意確定一個點和任意畫一條直線，使用“三角板+直尺”，畫出過已知點且與已知直線平行的直線，在抽象出畫圖經驗的基礎上，表述平行線的基本事實；其三是，借助“直尺+三角板”驗證，進一步感悟在較復雜圖形中存在的平行線的“唯一性”特征.

之所以把“操作”作為初中段數學抽象的起點，是因為，一方面有助于知覺認知抽象的適應性發(fā)生，能讓學習者直覺感知概念的本體特征；另一方面有助于理想化抽象的理性發(fā)生，形成概念間的內部邏輯關系.如果說，把“交通圖”中的平行關系事實作為情境抽象的載體，那么“折紙活動”就是工具抽象發(fā)生的行為，而“畫、說平行事實”則是數學關系抽象的一種可表現形式，終于理想化抽象對數學概念認知的積極推動作用.

2 基于“思考”的擴張式抽象，抽象概念本質

在“做”的基礎上進行“思考”，做思結合，有助于數學概念本質屬性的揭示.在這里，“思考”作為數學實驗教學不可或缺的一個重要元素，是概念得以同化的思維模塊，是擴張式抽象(弱抽象)的思維“地基”.當然，“直觀的看”對于抽象概念本質，探索問題解決的思路并預測結果，其作用也不可低估.

日常教學中，“數學閱讀”“賞析圖片”“畫板演示”等都是以獲得概念本質為特征的擴張式抽象的一個個具體行為.換句話說，擴張式抽象就是研究對象的內涵被不斷壓縮，而外延得以不斷擴大，即“原型”思想產生式.像“正比例函數→一次函數→初等函數→函數→映射”“一元一次方程→整式方程→有理方程→方程”就是“函數”“方程”概念擴張式抽象的基本鏈條.

在數學家麥考萊恩看來[4]，“數學的發(fā)展就是利用經驗和直覺的洞察力去發(fā)現合適的形式結構，對這些結構進行演繹分析，并建立這些結構之間的形式聯(lián)系.”也就是說，無論是經驗利用、直覺洞察抑或結構關系等，都是“思考”的支持系統(tǒng). 正是因為有了“數學思考”，才使得擴張式抽象得以將知識結構轉化為認知結構，進而形成知識形態(tài)的系統(tǒng)化、結構化.

有研究[5]認為，學生的數學抽象素養(yǎng)能力發(fā)展存在差異，城區(qū)學校的學生在數學抽象能力的發(fā)展上好于鄉(xiāng)村學校的學生等.其實，造成這種差異的主要原因來自于自身的天然優(yōu)勢，城區(qū)學生有更多的數學實驗資源和裝備.當然，這里的數學“抽象”，對處于從形象思維向抽象思維過渡期的初中學生來說，主要是條件性擴張式抽象，關系到知識結構的定量與知識形態(tài)的定性，在抽象水平上表現為知覺認知水平的一致性原則.事實上，獲得數學“原型”的過程就是擴張式抽象再抽象的過程，貫穿于數學的產生、發(fā)展、應用的過程中.

為此，數學實驗教學要做好三個維度的擴張式抽象工作：一是基于已有經驗，實施“前抽象”反應塊，建立概念層級關系；二是基于數學內部關系，執(zhí)行“主抽象”行為，實現模型順應；三是基于知識的重組關系，建立“后抽象”支架，落實知識結構性目標，終于數學抽象整體水平的提升.

例如，在探討“一元二次方程”與“基本圖形”的概念關系時，通過設計“思維反應組塊”，可以實現擴張式數學抽象.

問題導學：某學校九年級數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究.如圖1，已知AB=8，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC與正方形PBFE.(1)在點P運動時，這兩個正方形面積之和能否是32？24呢？如果是，求出AP的長；若不是，請說明理由；(2)分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由；(3)如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，在點P從A到D的運動過程中，求出PQ的中點O所經過的路徑的長.

分析問題不難看出，問題(1)是對方程原型的抽象，是關于方程求解與解釋及其根的判別式的使用問題；問題(2)是對基本圖形的運動與構造，需要運用分類思想，是關于圖形關系的結構性變化的問題；問題(3)是數形結合的基本方法，關系到學生的擴張式抽象能力，以及對動態(tài)過程的把握問題.

圖1

圖2

懷特海在《教育的目的》一書中指出，數學課程的目標是“學生能夠通曉抽象思維，能夠認識到它是如何應用于特殊而具體的環(huán)境，應該知道怎樣在合乎邏輯的調查研究中使用一般的方法.”數學抽象是數學的三大能力之一，是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關鍵目標.這里的“具體應用→合乎邏輯”是模型使用到結構關系建立的表現形式，反映擴張式數學抽象的基本特征，有助于學生形成知識體系.

3 基于“運用”的結構式抽象，抽象概念關系

“學習的最終目的在于運用”.在數學學習過程中，“運用”是最高境界，是數學抽象后的轉化，有助于概念關系的深度把握.而深刻認識概念的本質關系，離不開數學“強化結構式抽象”(簡稱“強抽象”)行為的支持.強抽象的特點是研究對象的外延不斷縮小，而內涵不斷擴大，有助于把握某一具體事物的某一方面特征，對于概念特征的把握具有不可替代的作用，與“弱抽象”一樣都是認識事物的基本方式.

從思維行為來說，弱抽象與強抽象都帶有“特殊與一般”的關系特征.如，“四邊形→梯形→平行四邊形→矩形或菱形→正方形”以及“映射→函數→初等函數→一次函數→正比例函數”的概念鏈條，通過強抽象，可以使學生更深刻地認識“子概念”的某一方面特征.比如，平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線互相平分且垂直，正方形的對角線互相平分、互相垂直且相等，等等.通過這些局部特征就能很好地認識基本圖形的性質和類型，凸顯數學抽象的作用和認識事物的價值.

按照抽象的程度不同，史寧中教授把數學抽象分為約簡階段、符號階段、普適階段.對于“運用”數學來說涵蓋兩方面的強抽象，一方面，認識到現實生活中蘊含大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題(約簡階段)，用數學的方法予以解決(符號階段)；另一方面，有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題(普適階段).基于強抽象的這些作用，數學實驗要做好三個維度的抽象工作：一是在“約簡概念或形成概念”中，把握概念的本質特征，落實強抽象的具體化功能；二是在“符號化概念或使用概念”中，構造概念關系特征，提升強抽象的素養(yǎng)水平；三是在“普適概念或使用套路”中，擴充解法體系結構，提升問題解決水平和思維抽象修養(yǎng)，給學生在課堂留下更多的“帶得走的東西”.

例如，“圓”概念起始課的教學，基于“強化結構式抽象”的一般原則，具體可從三條主線進行研究.第一是，讓學生任意剪一個圓形紙片，交流剪法且觀察旋轉中的圓形紙片，描述靜態(tài)圓和動態(tài)圓的特征，并舉例說明生活中存在的各種各樣圓的形態(tài)本質；第二是，讓學生在剪出的圓形紙片上標出圓心，并在此圓所在的平面上任取一點，連接該點與圓心，通過度量的方式探究半徑與圓心距的大小關系.在交流互動的基礎上，抽象出點與圓的位置關系；第三是，在問題解決中感受點與圓的位置關系的基本屬性，在折疊圓形紙片中抽象出垂徑定理，在畫圖中認識“集合概念”的一般意義.這些子概念的內涵特征的把握與形成就源自于強化結構式抽象的反復作用.

強抽象是形成數學概念的核心.盡管目前義務教育階段還沒有明確確立數學抽象的核心素養(yǎng)地位，僅在高中課程標準中給出明確的說明.但是“使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構造數學模型、尋求結果、解決問題的過程”的宗旨就是數學抽象核心素養(yǎng)地位得以確立的標志.

柯朗在《什么是數學》一書中指出，“一切數學的發(fā)展在心理學上都或多或少地基于實際的，但是理論一旦在實際的需要中出現，就不可避免的會使它自身獲得發(fā)展的動力，并超越出直接實用的局面.”這里的“心理實際范疇”與運用數學高度相關.一方面，數學實驗的本質是一種具有實際意義的心理活動，促進概念認知理解；另一方面，數學實驗在抽象與被抽象中獲得自支持性發(fā)展，讓概念抽象性有了具體可觸特征.

在抽象“圓”這一概念中，“剪出+旋轉”圓形紙片的行為是約簡概念階段，確立“點與圓的位置關系”的實驗過程是符號概念抽象過程，三個維度運用數學概念是普適概念的抽象階段.事實上，三個階段抽象本身就是一種強抽象—弱抽象—強抽象的思維邏輯順序，是對概念的思考與再思考的過程.

4 基于“審美”的關系式抽象，抽象概念原型

“數學是這樣一門科學，在其中我們既不知道說的是什么，也不知道說的是否為真.”(羅素語)；“數學是唯一的這樣一門學科，在其中我們確切知道自己在說什么，并能肯定自己是否為真.”(波萊爾語)前者可以看作是“自然要求多樣性”的審美行為，而后者可以看作是對“理性要求一體性”的思維本義，反映數學實驗審美屬性的兩個側面.一方面，是數學抽象對象所反映出的自然美；另一方面，是數學聯(lián)結關系所體現出的理性美，二者在用“審美”中由對立走向統(tǒng)一，這就是數學實驗的獨特價值.

數學實驗過程中的“情境創(chuàng)設”(由拼紙片得到因式分解公式就是一個典型的情境創(chuàng)設范例)就是自然美的一種使用原則，而從數學內部關系(如，基于多項式乘法運算的逆思考建構因式分解概念則是解析二者內部關系的典型范例)建設概念關系則是理性美的一種具象.從某種意義上來說，數學實驗的創(chuàng)新就是表現在將數學對象的自然屬性與理性屬性并軌，體現數學實驗的審美價值.一般地，學生自己發(fā)現和提出問題是創(chuàng)新的基礎，獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心，歸納概括得到猜想和規(guī)律并加以驗證則是創(chuàng)新的重要方法.事實上，創(chuàng)新的基礎、方法以及核心，都與比格斯(John Biggs)教授提出的SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome，觀察到的學習結果的結構)評價理論[6]高度相關，突出“抽象拓展結構水平”(Extended Abstract Level)(需要通過推理、演繹的理性，提出具有普遍意義的猜想)審美的一般屬性特征.

在史寧中教授看來，初中階段數學核心素養(yǎng)，就是“用數學的眼光觀察數學世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達數學世界.”[7]這里的“觀察-分析-表達”恰是數學實驗的一般審美秩序.因此，數學實驗的“審美”本身既是原型抽象，又是關系聯(lián)結，終于直觀與抽象，理性與自然的哲學審美合一.