廖 穎， 陳江漢

(1.眉山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 眉山 620010；2.武漢大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，武漢 430072)

0 引 言

跳頻通信系統(tǒng)是指在相同的同步算法和偽隨機(jī)跳頻圖案算法的控制下，射頻頻率在約定的頻率范圍內(nèi)偽隨機(jī)且同步跳變的通信方式。跳頻通信是現(xiàn)代通信中最為重要的一種抗干擾技術(shù)手段，在軍事和民用通信領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。同時(shí)，也給通信對(duì)抗偵察帶來了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[1-3]。

跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)指的是在通信接收機(jī)檢測到跳頻信號(hào)后，對(duì)檢測到的跳頻信號(hào)的跳時(shí)刻、跳周期、頻率集合、DOA參數(shù)等進(jìn)行估計(jì)。針對(duì)跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問題，現(xiàn)有算法大多集中在時(shí)頻域的參數(shù)，較少關(guān)注空域參數(shù)。跳頻信號(hào)空域參數(shù)估計(jì)主要分為稀疏重構(gòu)法和空時(shí)頻分析法，其中稀疏重構(gòu)法算法復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]中提出一種已知信源個(gè)數(shù)的跳頻信號(hào)DOA估計(jì)算法，但是該算法只適用于超定條件下，并且算法復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[5-6]中第1次提出了空時(shí)頻概念，并將其用于非平穩(wěn)信號(hào)的DOA估計(jì)；由于空時(shí)頻發(fā)具有較好的信號(hào)選擇性以及抑制噪聲特性，因此，取得了比傳統(tǒng)方法更優(yōu)的估計(jì)效果。文獻(xiàn)[7]中提出一種基于空時(shí)頻分析法的跳頻信號(hào)DOA估計(jì)算法，思路新穎，取得了良好的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[8-9]中將波達(dá)方向上升到二維空間，提出一種空間極化時(shí)頻分布與ESPRIT算法結(jié)合的跳頻信號(hào)二維DOA估計(jì)算法，這種算法能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)的三維定位，但是對(duì)陣列的要求較高；文獻(xiàn)[10-11]中提出了一種基于2D-MUSIC的跳頻信號(hào)2D-DOA估計(jì)算法，這種算法對(duì)陣列沒有特殊要求，方法簡單易于實(shí)現(xiàn)，但是算法復(fù)雜度較高。綜合以上問題，本文提出一種基于求導(dǎo)的降維MUSIC的均勻面陣跳頻信號(hào)2D-DOA快速估計(jì)算法。該算法將二維DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為兩級(jí)一維DOA估計(jì)問題，避免了峰值搜索與配對(duì)，降低了算法復(fù)雜度。同時(shí)，在DOA參數(shù)求解過程中始終保持了方向向量各元素間的相關(guān)性，提高了算法的估計(jì)性能。

1 跳頻信號(hào)與空時(shí)頻矩陣模型

1.1 跳頻信號(hào)模型

假設(shè)第n個(gè)跳頻信號(hào)sn(t)的跳周期為Tn，在觀測時(shí)間內(nèi)共有K個(gè)完整跳，第k(k=1,2,…,K)個(gè)完整跳的中心頻率為fnk，初相為φnk，最開始非完整跳的持續(xù)時(shí)間為Δtn0，中心頻率為fn0，初相為φn0，則

(1)

式中，rect(t)表示單位矩形脈沖函數(shù)。假設(shè)在觀測時(shí)間(0,T]內(nèi)共有N個(gè)跳頻信號(hào)，則接收信號(hào)可表示為

(2)

式中：sn(t)表示第n個(gè)跳頻信號(hào)；cn表示第n個(gè)跳頻信號(hào)的幅度；v(t)表示均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。

假設(shè)陣列結(jié)構(gòu)為均勻面陣，x軸方向有N個(gè)陣元，y軸方向有M個(gè)陣元，陣元間距為d，并且滿足d

圖1 入射角度示意圖

假設(shè)陣元噪聲為高斯白噪聲，坐標(biāo)原點(diǎn)處的陣元為參考陣元，則均勻面陣中任一陣元的輸出可以表示為[12]：

(3)

式中：yknm表示x軸位置為n，y軸位置為m的第k個(gè)跳頻信號(hào)的陣元輸出；δknm表示x軸位置為n，y軸位置為m的第k個(gè)跳頻信號(hào)的接受增益；

τknm=d(ncosθksinφk+msinθksinφk)/λ

λ為入射波的波長，表示x軸位置為n，y軸位置為m的第k個(gè)跳頻信號(hào)相對(duì)于參考陣元信號(hào)的時(shí)延；vnm(t)表示噪聲信號(hào)。

由圖1的入射角度示意得到：

(4)

推導(dǎo)出θk與φk的表達(dá)式為：

(5)

x軸上N個(gè)陣元的導(dǎo)向矢量

Αx=

[a1(θ1,φ1),a2(θ2,φ2),…,an(θk,φk)]

(6)

式中，

an(θk,φk)=an(αk)=

[1,ej2πdcos αk/λ,…,ej2πd(N-1)cos αk/λ]T

y軸上M個(gè)陣元的導(dǎo)向矢量

Αy=[b1(θ1,φ1),b2(θ2,φ2),…,bm(θk,φk)]

(7)

式中，

bm(θk,φk)=bm(βk)=

[1,ej2πdcos βk/λ,…,ej2πd(M-1)cos βk/λ]T

根據(jù)式(6)、(7)可得，由導(dǎo)向矢量組成的陣列流型矩陣為：

A=

[ΑxD1(Αy),ΑxD2(Αy),…,ΑxDM(Αy)]T

(8)

式中，Dm(·)表示由矩陣Αy的m行構(gòu)造的一個(gè)對(duì)角矩陣。

因此，將跳頻信號(hào)表示成矢量形式，陣列的快拍矢量模型為：

X(t)=Y(t)+V(t)=AS(t)+V(t)

(9)

式中：X(t)表示陣列接收信號(hào)的數(shù)據(jù)矢量；S(t)表示信源的數(shù)據(jù)矢量；V(t)表示陣列的噪聲數(shù)據(jù)矢量。

1.2 跳頻信號(hào)協(xié)方差矩陣的構(gòu)造

跳頻信號(hào)是載頻隨機(jī)跳變的寬帶信號(hào)，因此構(gòu)建的均勻面陣的流型矩陣也隨著載頻跳變而變化，但是只考慮某一跳持續(xù)時(shí)間內(nèi)時(shí)，每個(gè)跳頻信號(hào)的載頻都是恒定的，因此流型矩陣也是固定的，可以將其簡化為窄帶信號(hào)處理。因此，本文首先采用文獻(xiàn)[8]中介紹的組合時(shí)頻法將跳頻信號(hào)分解為一個(gè)個(gè)跳，然后選擇時(shí)頻圖上一跳來構(gòu)造空時(shí)頻矩陣。

跳頻信號(hào)xi(t)與xj(t)離散形式的Cohen類互時(shí)頻分布定義為[13-14]：

(10)

因此，跳頻信號(hào)x(t)的空時(shí)頻分布定義為：

XH(t+l-τ)e-j4πfτ

(11)

式中，

[DXX(t,f)]ij=Dxixj(t,f)

為各陣列輸出信號(hào)之間的互時(shí)頻分布。因此，跳頻信號(hào)的時(shí)頻域協(xié)方差矩陣為：

E[DXX(t,f)]=E[DYY(t,f)]+E[DNN(t,f)]=

ADSS(t,f)AH+E[DNN(t,f)]

(12)

2 跳頻信號(hào)2D-DOA的估計(jì)

2.1 基于2D-MUSIC算法估計(jì)2D-DOA

(13)

式中：US為K個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的信號(hào)子空間；UN為(NM-K)個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的噪聲子空間；Ξ為E[DXX(t,f)]特征值組成的對(duì)角矩陣。

因此，根據(jù)正交子空間原理，由噪聲子空間UN構(gòu)造的2D-MUSIC算法空間譜函數(shù)P2D-MUSIC可以表示為[15-16]：

P2D-MUSIC=

(14)

根據(jù)P2D-MUSIC，通過二維搜索，使得P2D-MUSIC取得極值的(θ,φ)即為跳頻信號(hào)的二維DOA參數(shù)。這種方法雖然簡單有效，但是需要在跳頻信號(hào)的方位角和俯仰角的所有定義域內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索，使得算法運(yùn)算量較大。

2.2 基于求導(dǎo)RD-MUSIC算法估計(jì)2D-DOA

根據(jù)P2D-MUSIC定義檢測量

Ψ(αk,βk)=[an(αk)?bm(βk)]HUN·

(15)

可以進(jìn)一步變形為：

企業(yè)建立先進(jìn)的經(jīng)濟(jì)管理制度之后，管理者如果沒有將管理制度落實(shí)，加之企業(yè)內(nèi)部不同的管理部門職責(zé)沒有真正落實(shí)，員工的實(shí)際工作就沒有落實(shí)，以上因素都是造成企業(yè)無法適應(yīng)經(jīng)濟(jì)體制發(fā)展的阻礙，甚至對(duì)企業(yè)的正常發(fā)展造成影響。為了實(shí)現(xiàn)管理制度的實(shí)際作用，建立對(duì)應(yīng)的制度，企業(yè)要關(guān)注經(jīng)濟(jì)制度的具體落實(shí)情況，不同部門的員工和管理者要明確經(jīng)濟(jì)制度的含義和價(jià)值，將經(jīng)濟(jì)制度落實(shí)在日常工作中，保證企業(yè)發(fā)展的穩(wěn)健。

(16)

(17)

假設(shè)αk為固定值，βk為待計(jì)算的值，檢測量Ψ(αk,βk)對(duì)βk求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于零，即：

?Ψ(αk,βk)/?βk=0

(18)

根據(jù)式(18)將αk作為搜索對(duì)象最終得出βk的值。式(18)的具體求解過程為：令ck=ej2πdcos βk/λ，則

式(18)可以轉(zhuǎn)化為：

(19)

(r11+r22+…+rMM)+

(20)

根據(jù)式(19)、(20)可以進(jìn)一步得到：

(r12+r23+…+r(M-1)M)+

(21)

根據(jù)多項(xiàng)式求根可知，式(21)存在2(M-1)個(gè)根，但是只有落于單位圓上的根才是ck真正的解。由于噪聲的影響，根據(jù)式(17)可以求得αk的估計(jì)值為：

(22)

根據(jù)式(22)對(duì)αk進(jìn)行搜索，搜索出的K個(gè)峰值即為αk的估計(jì)值，然后進(jìn)一步可以得到βk的估計(jì)值為：

(23)

根據(jù)式(22)、(23)的αk、βk的估計(jì)值結(jié)合式(4)即可以得到跳頻信號(hào)的方位角θk與俯仰角φk。

綜上所述，本文所提算法只需要在αk估計(jì)時(shí)進(jìn)行一維搜索，并且βk的估計(jì)值與αk的值一一對(duì)應(yīng)，不需要角度匹配。

3 算法步驟

根據(jù)上述的理論推導(dǎo)，基于求導(dǎo)的降維MUSIC的均勻面陣跳頻信號(hào)2D-DOA快速估計(jì)算法的步驟可以歸納為：

步驟1根據(jù)式(8)構(gòu)建跳頻信號(hào)陣列的快拍矢量模型；

步驟2根據(jù)式(11)得到跳頻信號(hào)的時(shí)頻域協(xié)方差矩陣；

步驟3根據(jù)式(13)構(gòu)建跳頻信號(hào)2D-DOA估計(jì)的空間譜函數(shù)；

步驟4根據(jù)式(21)對(duì)αk進(jìn)行搜索估計(jì)出αk，然后根據(jù)式(22)求解得到βk的估計(jì)值；

步驟5根據(jù)估計(jì)出的αk和βk，運(yùn)用式(4)計(jì)算出跳頻信號(hào)的2D-DOA參數(shù)。

4 仿真與分析

假設(shè)陣列為圖1所示的均勻面陣，陣元間距d=10 m；入射信號(hào)為4個(gè)跳頻信號(hào)(FH1～FH4)，跳周期均為10 μs，采樣率為50 MHz；其方位角和俯仰角參數(shù)(θ,φ)分別為(20°,40°)，(80°,75°)，(40°,60°)，(70°,70°)。

采用方位角和俯仰角估計(jì)的均方根誤差來衡量算法的有效性。方位角和俯仰角的RMSE定義為：

(24)

4.1 實(shí)驗(yàn)1

為了驗(yàn)證算法性能隨噪聲的信噪比變化的影響，假設(shè)均勻面陣的x、y軸方向的陣元數(shù)均為7個(gè)，每跳的快拍數(shù)均為1 500，信噪比從-5 dB以2 dB為步進(jìn)遞增至15 dB，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE如圖2所示。

(a) RMSEθ

(b) RMSEφ

從圖2可以看出，隨著信噪比的增加，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的跳頻信號(hào)方位角和俯仰角的估計(jì)精度都越來越高，但是信噪比達(dá)到一定值時(shí)估計(jì)精度趨于穩(wěn)定；求導(dǎo)RD-MUSIC算法的估計(jì)精度整體上要高于2D-MUSIC 算法；低信噪比條件下，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的估計(jì)性能相差不大，高信噪比條件下性能相差較大。

4.2 實(shí)驗(yàn)2

為了驗(yàn)證快拍數(shù)對(duì)算法性能的影響，假設(shè)均勻面陣的x、y軸方向的陣元數(shù)均為7個(gè)，信噪比為5 dB，每跳的快拍數(shù)從1 000以200為步進(jìn)遞增到2 000，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE如圖3所示。

(a) RMSEθ

(b) RMSEφ

由圖3可以看出，隨著陣元數(shù)的增加，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的估計(jì)精度都逐漸增加，但是當(dāng)快拍數(shù)達(dá)到2 400左右時(shí)，估計(jì)精度趨于穩(wěn)定；不同快拍數(shù)下求導(dǎo)RD-MUSIC算法的估計(jì)精度要高于2D-MUSIC算法。

4.3 實(shí)驗(yàn)3

為了驗(yàn)證陣元數(shù)對(duì)算法性能的影響，假設(shè)每跳的快拍數(shù)均為1 500，信噪比為5 dB，均勻面陣的x、y軸方向的陣元數(shù)從5個(gè)以1為步進(jìn)遞增至15個(gè)，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著陣元數(shù)的增加，求導(dǎo)RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的估計(jì)精度都越來越高；求導(dǎo)RD-MUSIC算法的估計(jì)精度整體上要高于2D-MUSIC算法，陣元數(shù)小于10時(shí)，兩種算法的估計(jì)精度相差不大，陣元數(shù)大于10后，求導(dǎo)RD-MUSIC算法的估計(jì)精度要遠(yuǎn)高于2D-MUSIC算法。

5 結(jié) 語

本文提出一種基于求導(dǎo)降維MUSIC的均勻面陣跳頻信號(hào)2D-DOA快速估計(jì)算法，該算法將二維波達(dá)方向估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為兩級(jí)一維波達(dá)方向的估計(jì)問題。相比較傳統(tǒng)2D-MUSIC算法，所提算法避免了二維角度搜索與配對(duì)，大大降低了算法復(fù)雜度。同時(shí)，在求解過程中始終保持了方向向量各元素間的相關(guān)性，提高了算法的估計(jì)性能。仿真結(jié)果表明，本文算法不僅可以提高運(yùn)算時(shí)間還可以提高估計(jì)精度。

(a) RMSEθ

(b) RMSEφ