陳建文，譚躍剛，雷成林，陶紅武

(武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070)

四足機器人以自然界的四足動物為仿生對象。四足機器人只需一些離散的落足點，就可以在各種復雜路面上完成行走，跨越障礙，有非常好的地形適應能力，在工程探險，搶險救災，軍事偵察，物資運輸?shù)确矫婢哂袕V泛的應用前景[1]。

跳躍步態(tài)是四足生物的典型運動步態(tài)之一，四足生物可以通過跳躍輕松越過障礙物和快速移動。國內外許多學者都對四足機器人跳躍展開了研究，1986年Raibert[2]最早對單腿彈跳機器人進行研究，制作了單腿跳躍樣機，其單腿樣機能獨立保持平衡并周期性穩(wěn)定跳躍。Sato等[3]仿照貓腿部的生理特點制作了雙足樣機Sugoi-Neco legs，在跳躍過程中樣機足底加入障礙物也能實現(xiàn)穩(wěn)定跳躍，有較好地地形適應性。MIT的Cheetah 2代四足機器人[4]采用阻抗控制的方法來控制腿部運動，能以跳躍步態(tài)輕松跨越障礙物，動態(tài)性能很好。國內的孟健[5]、鐘建鋒[6]、高炳微[7]和張雪峰[8]等對基于單腿樣機對四足機器人單腿跳躍的控制方法和軌跡規(guī)劃進行了研究，取得了一定的研究成果。此外，還有學者從蝗蟲[9]，袋鼠[10]等生物汲取靈感對機器人的跳躍運動進行了分析和研究。

國內外的研究者在機器人跳躍運動的運動機理，軌跡規(guī)劃和運動控制上均取得了較好的研究成果，但是在機器人跳躍過程中依然存在足端沖擊力大、柔順性不好的問題。在跳躍過程中，機器人足端與地面的接觸時間短，能量輸出大，機器人在起跳和著地時足端存在很大的沖擊力。一方面沖擊力會破壞機器人機械結構，影響控制系統(tǒng)和傳感系統(tǒng)的可靠性，另一方面沖擊力會影響機器人行走的平衡性能，嚴重時甚至會發(fā)生傾倒。解決機器人跳躍過程的柔順性問題，能有效地改善機器人足端受力情況，提高機器人的動態(tài)運動穩(wěn)定性，實現(xiàn)高性能的跳躍運動。

針對單腿跳躍的柔順性問題，筆者以四足機器人單腿系統(tǒng)為研究對象，建立單腿系統(tǒng)的運動學模型，分析單腿跳躍運動并規(guī)劃了足端的運動。設計了一種基于阻抗控制的單腿控制系統(tǒng)，并對單腿的豎直跳躍運動進行仿真，為后續(xù)研究提供設計和控制依據。

1 運動學模型

1.1 機械結構

單腿結構設計是以生物狗為依據，根據生物狗后腿各肢段尺寸和比例進行設計。圖1為四足機器人單腿，它為三段式結構，具有兩個自由度，有利于簡化運動控制，提高運動性能。腿部肢段采用平行四邊形機構，利用平行四邊形特性，將髖關節(jié)和膝關節(jié)的電機置于機身，從而減小腿部運動慣量，提高腿部的靈活性。其結構原理如圖2所示，桿件l1和桿件l4為原動桿件，其余桿件為從動桿件，各桿長參數(shù)如表1所示。

圖1 四足機器人單腿

圖2 單腿結構原理圖 圖3 單腿結構簡圖

表1 單腿桿長參數(shù)

1.2 運動學分析

根據平行四邊形機構的運動學特點，將平行四邊形機構進行運動等效簡化，去除平行四邊形的兩個平行桿，得到單腿結構簡圖,如圖3所示。在單腿系統(tǒng)中，驅動元件為電機。θ1，θ2分別為電機角位移，φ1，φ2，φ3分別為桿件間的夾角，兩者的關系如式(1)所示，且根據右手定則可知，θ1和θ2均為負值。

φ1=360°+θ1

φ2=θ3=θ2-θ1

φ3=360°-φ2=360°+θ1-θ2

(1)

根據桿長和關節(jié)角度，用D-H(Denavit -Hartenberg)法對單腿運動學進行分析，列出D-H參數(shù)表,如表2所示。

表2 單腿D-H參數(shù)表

根據D-H參數(shù)求連桿變換矩陣，其中01T表示坐標系{1}相對于坐標系{0}的坐標變換，12T表示坐標系{2}相對于坐標系{1}的坐標變換，依此類推。s1表示sinθ1,c1表示cosθ1，s12表示sin(θ1+θ2)，c12表示cos(θ1+θ2)，s123表示sin(θ1+θ2+θ3)，c123表示cos(θ1+θ2+θ3)。

01T=c1-s100

s1c100

0010

000112T=c2-s20l1

s2c200

0010

0001

23T=c3-s30l2

s3c300

0010

000134T=100l5

0100

0010

0001

04T=c123-s1230l2c12+l1c1+l5c123

s123c1230l2s12+l1s1+l5s123

0010

0001

(2)

由變換04T可知，足端坐標(x,y)可表示為：

x=l2cos(φ1+φ2)+

l1cosφ1+l5cos(φ1+φ2+φ3)

y=l2sin(φ1+φ2)+

l1sinφ1+l5sin(φ1+φ2+φ3)

(3)

根據式(3)和φ1，φ2，φ3的取值范圍，計算足端可達工作空間，如圖4所示。

圖4 足端可達工作空間

由式(1)中φ1，φ2，φ3和θ1，θ2的關系，可將足端位置和電機角位移關聯(lián)起來：

x=l2cosθ2+(l1+l5)cosθ1

y=l2sinθ2+(l1+l5)sinθ1

(4)

求運動學逆解得：

θ1=arcsinx2+y2+(l1+l5)2-l222l1x2+y2-arctanxy

θ2=-arcsinx2+y2-(l1+l5)2+l222l2x2+y2

(5)

為了進一步得到足端運動速度和電機轉動速度之間的關系，將式(4)兩邊對時間求導，得到單腿的速度雅可比矩陣。

x·

y·=-(l1+l5)sinθ1-l2sinθ2

(l1+l5)cosθ1l2cosθ2θ1·

θ2·

(6)

速度雅可比矩陣J為：

J=-(l1+l5)sinθ1-l2sinθ2

(l1+l5)cosθ1l2cosθ2

(7)

2 跳躍運動分析與軌跡規(guī)劃

2.1 豎直跳躍運動分析

為了對單腿的跳躍運動進行規(guī)劃，首先需要對單腿的跳躍運動進行分析。單腿的跳躍可按照足端是否觸地分為騰空相和著地相，騰空相又可根據騰空最高點分上升階段和下落階段，著地相可根據著地最低點分為緩沖階段和起跳階段。圖5為單腿跳躍運動的各個階段。

圖5 跳躍運動各階段

在四足機器人中，腿部主要功能是支撐軀體并帶動軀體運動，雖然腿部連桿具有一定質量，但機器人的大部分質量集中在軀體部分。為便于研究單腿運動，對單腿系統(tǒng)進行簡化分析，忽略腿部連桿的質量。根據腿部關節(jié)的剛度和阻尼，將單腿視為“質量-彈簧-阻尼”系統(tǒng)，如圖6所示。其中，m為系統(tǒng)質量，k為系統(tǒng)剛度，c為系統(tǒng)阻尼，H為單腿初始長度，F(xiàn)τ為驅動器提供的力。

圖6 “質量-彈簧-阻尼”系統(tǒng)

騰空相時，忽略空氣阻力單腿只受重力作用，騰空相動力學方程為：

x··=0

y··=-g

(8)

著地相時，單腿受重力和地面的反作用力。在著地瞬間，單腿系統(tǒng)速度最大，具有最大動能，地面對單腿有較大的沖擊力。隨后進入緩沖階段，單腿系統(tǒng)消耗并存儲一部分動能，直至速度降為零，到達著地最低點，此時動能為零。接著進入起跳階段，腿部驅動器提供力矩和能量，驅使單腿蹬地并起跳。

緩沖階段動力學方程：

x··=0

my··=-mg+k(H-y)+cy·

(9)

起跳階段動力學方程：

x··=0

my··=-mg+k(H-y)-cy·+Fτ

(10)

2.2 足端軌跡規(guī)劃

根據單腿系統(tǒng)豎直跳躍各階段運動分析，規(guī)劃足端的運動軌跡。以單腿髖關節(jié)為原點建立豎直平面坐標系，在此坐標系對足端運動進行規(guī)劃。在豎直跳躍過程中，為保證足端落地點不變，足端橫坐標保持不變：

x=0

(11)

足端縱坐標根據不同運動階段切換運動軌跡：

y=

-D(t0≤t

-D+vc(t-t2)+12as(t-t2)2(t2≤t

-D+S(t=t3)著地最低點

-D+S+12ac(t-t2)2(t3

(12)

式中：D為足端著地點與髖關節(jié)的垂直距離；vc為著地時單腿相對地面的速度；as為緩沖加速度；S為緩沖距離且S=v2c/2as；ac為起跳加速度。

騰空相時為維持運動的穩(wěn)定以及修正起跳誤差，保持足端豎直位置為D。

緩沖階段時根據沖量定理F×t=m×Δv，為減小沖量作用，減小沖擊力，規(guī)劃足端相對的地面速度為零，在運動規(guī)劃坐標系下，接觸地面時足端速度大小為vc。為保持接觸力平穩(wěn)，機身以勻減速到達最低點，在運動規(guī)劃坐標系下，足端為勻減速運動，加速度為as。

起跳階段時為保持足端接觸力平穩(wěn)無沖擊，機身以勻加速起跳，直到足端離地，在運動規(guī)劃坐標系下，足端為勻加速運動，加速度為ac。

3 單腿控制系統(tǒng)

在單腿的跳躍運動中，因跳躍運動具有動態(tài)性高和瞬間功率大的特點，在單腿著地和起跳時存在較大的沖擊力。這對單腿的控制系統(tǒng)提出了更高的要求：①控制系統(tǒng)要有較高的快速性，要在觸地的極短時間內對系統(tǒng)進行有效控制；②控制系統(tǒng)需對足端沖擊力進行控制，通過控制有效減小足端沖擊力。

基于阻抗控制的思想，設計了一種單腿控制系統(tǒng)，帶速度前饋的位置控制器為內環(huán)，力反饋型阻抗控制器為外環(huán)。為提高單腿系統(tǒng)響應的快速性，采用速度前饋控制的方式縮短響應時間。為了減小足端接觸力沖擊，采用力反饋型阻抗控制器實現(xiàn)力的柔順。其控制框圖如圖7所示。

圖7 單腿控制系統(tǒng)框圖

其中，xd為期望位置；x·d為期望速度；F為足端與地面的接觸力；T為單腿前向運動學方程；J-1為單腿速度雅可比矩陣的逆；Kp為位置控制系數(shù)矩陣；Kv為速度控制系數(shù)矩陣；KFp為阻抗剛度系數(shù)矩陣，其值為系統(tǒng)期望剛度的倒數(shù)；KFv為阻抗阻尼系數(shù)矩陣，其值為系統(tǒng)期望阻尼的倒數(shù)；Kp、Kv、KFV、KRp均為對角矩陣；q為關節(jié)角度。

僅對足端進行位置控制時，電機的輸入轉速ω由位置反饋控制部分和速度前饋控制部分共同決定：

ω=KpJ-1[xd-T(q)]+KvJ-1x·d

(13)

機器人足端受到外力或外力矩時會產生較大的沖擊力。為實現(xiàn)力的柔順，將力反饋引入位置反饋控制和速度前饋控制中，通過改變力反饋系數(shù)KFp和KFv，調整整個系統(tǒng)的阻抗，引入力反饋后：

ω=KpJ-1[xd-T(q)+KFpF]+

KvJ-1(x·d+KFvF)

(14)

根據式(14)可知，系統(tǒng)受外力時允許出現(xiàn)一定的位置偏差和速度偏差，降低了足端位置控制剛度，增加了足端速度的粘滯阻尼，改變了系統(tǒng)的阻抗，從而使足端表現(xiàn)出一定的柔順性。KFp越大，末端剛度越低;KFv越大，末端的粘滯阻尼越小。此外，為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，Kp取值不宜過大。

4 仿真分析

為了驗證足端軌跡規(guī)劃和阻抗控制方法的有效性，對四足機器人單腿系統(tǒng)進行了Adams-Simulink聯(lián)合仿真。將單腿三維模型導入Adams中，并相應地定義單腿各運動副，在模型中約束單腿平臺的3個旋轉自由度，從而保證單腿在垂直面運動而不發(fā)生側向傾倒，單腿系統(tǒng)的Adams模型如圖8所示。

圖8 單腿系統(tǒng)Adams模型

根據單腿控制系統(tǒng)框圖，在Simulink中建立控制模型，并將Simulink控制模型與Adams模型進行聯(lián)合仿真。通過參數(shù)整定，選取控制參數(shù)如表3所示。

表3 控制參數(shù)表

4.1 自由下落仿真對比

為了驗證阻抗控制對足端接觸沖擊力的柔順作用，在仿真環(huán)境下將單腿系統(tǒng)從高處自由下落。通過兩組實驗對比分析，一組為無阻抗控制自由下落，鎖定關節(jié)位置，另一組為有阻抗控制自由下落。在自由下落仿真中，足端距地面高度h=0.073 m。仿真結果如表4和圖9所示。

表4 自由下落過程中接觸力對比

圖9 自由下落力響應和位置響應對比

在足端接觸地面之前，單腿的運動為自由落體運動。足端接觸地面瞬間，足端與地面會產生瞬間沖擊力峰值，隨后接觸沖擊力在一小段時間內保持穩(wěn)定，隨著單腿逐漸趨于靜止，接觸力逐漸減小最后等于重力。在無阻抗控制的自由下落中，沖擊力的瞬間峰值(1 141 N)與沖擊力穩(wěn)定值(1 050 N)相差不大，隨后足端在沖擊力的作用下回彈一定高度并再次下落，造成二次沖擊(246 N)。但在帶阻抗控制的自由下落中，沖擊力達到瞬時峰值(1 059 N)后，阻抗控制開始作用，足端回縮，其沖擊力穩(wěn)定值(723 N)有一定的減小，且由于足端的主動回縮，單腿不會回彈，消除了足端的二次沖擊作用。根據仿真結果可知，基于阻抗控制的單腿控制系統(tǒng)有效地減小了接觸力沖擊，消除了二次落地的接觸沖擊，具有較好的柔順效果。

4.2 豎直跳躍仿真

根據式(12)的足端軌跡規(guī)劃方程，在豎直跳躍運動仿真中，D=0.31，足端距地面高度為h=0.073 m，足端與地面接觸速度vc=2gh=1.196 m/s。為限制緩沖距離，取緩沖加速度as=7.5 m/s2，為保證起跳高度相同，經參數(shù)整定，取起跳加速度ac=11.3 m/s2。將以上參數(shù)代入式(12)中，得到足端運動軌跡規(guī)劃。以該足端軌跡作為期望輸入，對單腿系統(tǒng)的豎直跳躍運動進行仿真。單腿系統(tǒng)的足端接觸力、足端位置和足端離地高度如圖10所示。

圖10 豎直跳躍運動仿真

在豎直跳躍過程中，著地瞬間沖擊力峰值為432 N，由于阻抗控制作用，著地過程中沖擊力降至235 N。隨著單腿的緩沖收縮接觸力減小并穩(wěn)定在75 N。緩沖階段結束后單腿進入起跳階段，起跳過程中，足端接觸力穩(wěn)定在90 N且平穩(wěn)無沖擊。隨后進入下一次跳躍周期。跳躍過程中，足端位置幅值誤差和相位誤差均很小，跟蹤效果較理想。且單腿多次跳起高度保持在0.073 m，跳躍運動具有較好的穩(wěn)定性。

對比圖9和圖10的仿真結果，與自由下落仿真相比，在豎直跳躍仿真中，著地瞬間沖擊力峰值(432 N)和著地過程沖擊力穩(wěn)定值(235 N)都比較小，柔順性更好。造成這種差別的原因是在自由下落仿真中，足端僅在阻抗作用下回縮，而在豎直跳躍仿真中，不但有阻抗作用，跳躍過程中的緩沖運動也使接觸沖擊力減小了。在足端軌跡規(guī)劃中，規(guī)劃了單腿的緩沖階段，緩沖階段中足端與地面相對速度較小，減小了沖量作用，有效地緩沖了一部分沖擊力。

根據仿真結果及以上分析可知，在豎直跳躍仿真中，在阻抗控制和足端軌跡規(guī)劃的作用下，單腿系統(tǒng)和地面的接觸沖擊力小，具有較好的柔順性，且足端位置跟蹤效果理想，跳躍高度穩(wěn)定。

5 結論

以四足機器人單腿系統(tǒng)為研究對象，研究單腿跳躍運動時的柔順性問題，通過對單腿的運動學模型和跳躍運動進行分析，規(guī)劃了足端的運動軌跡。設計了一種基于阻抗控制的單腿控制系統(tǒng)，并在Adams-Simulink聯(lián)合仿真環(huán)境下對單腿的跳躍運動進行仿真。仿真結果表明，四足機器人單腿系統(tǒng)在跳躍運動中具有較好的柔順性。