張 嚴(yán)，黃妙華

(武漢理工大學(xué) 汽車工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

無(wú)人駕駛車輛中，路徑跟隨是指車輛在不同的車速、載荷、路況以及風(fēng)阻等條件下自動(dòng)跟隨目標(biāo)行車路線，并保持一定的準(zhǔn)確性、平穩(wěn)性和舒適性[1]。目前，應(yīng)用較為廣泛的路徑跟隨算法有傳統(tǒng)的預(yù)瞄跟隨算法、PID(proportion integral derivative)控制算法、Pure Pursuit算法、自適應(yīng)控制算法和模糊預(yù)測(cè)算法[2]等。

模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control,MPC)也稱為滾動(dòng)時(shí)域最優(yōu)控制。其利用一個(gè)已知的模型、系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)量和未來(lái)控制量去預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)輸出，即包括預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化、反饋矯正3個(gè)步驟。文獻(xiàn)[3]對(duì)線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制算法的低速直線軌跡跟隨控制效果進(jìn)行了驗(yàn)證，但該汽車模型為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，沒(méi)有考慮到汽車在行駛過(guò)程中的受力情況和彎道軌跡的跟隨控制效果；文獻(xiàn)[4]雖然在動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)模型預(yù)測(cè)控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證，但都只是采用低速工況，沒(méi)有對(duì)高速工況的跟隨效果進(jìn)行驗(yàn)證。此外，在MPC算法中，不同的設(shè)計(jì)參數(shù)可能會(huì)影響其跟隨效果，如果按照傳統(tǒng)人工調(diào)整參數(shù)的方式，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且還不能確保MPC路徑跟隨控制器達(dá)到最佳的跟隨效果。為了解決上述問(wèn)題，提高無(wú)人駕駛車輛在不同速度工況下對(duì)目標(biāo)路徑跟蹤的準(zhǔn)確性，筆者通過(guò)建立三自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型并加入約束條件，對(duì)MPC算法中的重要參數(shù)通過(guò)遺傳算法(genetic algorithm,GA)進(jìn)行優(yōu)化，找到高速、中速和低速3種不同速度工況下的最優(yōu)控制參數(shù)，最后搭建 Carsim/Simulink聯(lián)合仿真平臺(tái)來(lái)驗(yàn)證其跟隨效果。

1 汽車動(dòng)力學(xué)建模及線性化處理

1.1 動(dòng)力學(xué)模型建立

汽車作為一個(gè)復(fù)雜的非線性時(shí)變系統(tǒng)，在進(jìn)行無(wú)人駕駛車輛路徑跟隨的控制中,只考慮縱向、側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)3個(gè)自由度的汽車動(dòng)力學(xué)模型便能很好地滿足所需的控制要求[5]。故建立如圖1所示的三個(gè)自由度汽車單軌動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 三自由度汽車單軌動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二定律建立如下力平衡方程:

mx··=2Fxf+2Fxr+my·φ·

(1)

my··=2Fyf+2Fyr-mx·φ·

(2)

Izφ··=2aFyf- 2bFyr

(3)

式中：a、b分別為質(zhì)心到前、后軸的距離;m為車輛的整備質(zhì)量；Fxf、Fxr為車輛前、后車輪受到的x方向的力；Fyf、Fyr為車輛前、后車輪受到的y方向的力;Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；φ為車輛航向角，x·為車輛沿x方向的速度；y·為車輛沿y方向的速度；x··，y··分別為車輛沿x、y方向的加速度；φ··為航向角加速度；φ·為航向角速度。

考慮車身坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到：

Y·=x·sinφ+y·cosφ

(4)

X·=x·cosφ-y·sinφ

(5)

根據(jù)式(1)～式(5)，得到車輛的非線性動(dòng)力學(xué)模型。將系統(tǒng)描述為以下?tīng)顟B(tài)空間表達(dá)式：

ξ·dyn=fdyn(ξdyn,udyn)

(6)

hdyn=mdyn(ξdyn)

(7)

其中，控制量udyn=δf(僅考慮前輪轉(zhuǎn)向，故δr=0)，狀態(tài)量ξdyn=[y·,x·,φ,φ·,Y,X]T,輸出量hdyn=[φ,Y]T。

1.2 輪胎模型引入后的動(dòng)力學(xué)模型

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化模型，還需引入輪胎模型。主要的輪胎模型包括經(jīng)驗(yàn)輪胎模型、物理輪胎模型和理論輪胎模型。筆者采用以魔術(shù)公式[6]為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)輪胎模型，其表達(dá)式為：

Y(x)=Dsin{Carctan[Bx-

E(Bx-arctan(Bx))]}

(8)

式中：x為輸入量，分別表示輪胎側(cè)偏角α和滑移率S；B、C、D、E依次為剛度因子、形狀因子、峰值因子和曲率因子；Y(x)為輸出量，可以為縱向力F1、側(cè)向力Fc或回正力矩Mz。

該輪胎模型認(rèn)為，輪胎在垂直、側(cè)面方向上是線性的，阻尼為常量。在輪胎側(cè)偏角α≤5°，側(cè)向加速度ay≤0.4g時(shí)，對(duì)輪胎的擬合精度較高。在這個(gè)范圍內(nèi)，當(dāng)縱向滑移率及側(cè)偏角較小時(shí)，可用式(9)和式(10)得到輪胎的側(cè)向力和縱向力：

Fc=Ccα

(9)

F1=C1s

(10)

式中：Cc為輪胎的側(cè)偏剛度；C1為輪胎縱向剛度；α為輪胎側(cè)偏角；S為縱向滑移率。

在輪胎力的計(jì)算過(guò)程中，對(duì)模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化，故提出小角速度假設(shè)，即：

sinθ≈θ，cosθ≈1，tanθ≈θ

通過(guò)簡(jiǎn)化，可以得到車輪側(cè)偏角為：

αf=y·+aφ·x·-δf

αr=y·-bφ·x

(11)

式中：δf為前輪偏轉(zhuǎn)角。

車輪側(cè)偏力為：

Fcf=Ccfδf-y·+aφ·x·

(12)

Fcr=Ccrbφ·-y·x·

(13)

式中：Ccf、Ccr為前、后輪胎側(cè)偏剛度。

車輪縱向力為：

F1f=C1fSfF1r=C1rSr

(14)

式中：C1f、C1r為前、后輪胎縱向剛度；Sf、Sr分別為前、后輪胎縱向滑移率。

將式(14)帶入式(6)和式(7)，得到基于線性輪胎模型和前輪較小偏角假設(shè)的車輛動(dòng)力學(xué)模型：

x··=1m2C1fSf+Ccfδf-

(y·+aφ·)/x·δf+C1rSr+my·φ·

y··=1m(2[Ccf(δf- (y·+aφ·)/x·)+

Ccr(bφ·-y·)/x·]-mx·φ·)

Izφ··=2[aCf(δf-(y·+aφ·)/x·)-

bCcr(bφ·-y·)/x·]

(15)

式中：控制量udyn=δf，狀態(tài)量ξdyn=[y·,x·,φ,φ·,Y,X]T；X、Y分別為汽車的行駛軸心位置。

1.3 動(dòng)力學(xué)模型線性化

以上建立的動(dòng)力學(xué)模型為非線性系統(tǒng)，不能直接作用于線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制，故需要對(duì)其進(jìn)行線性化處理，得到線性時(shí)變方程如下：

ξ·dyn=Adyn(t)ξdyn(t)+Bdyn(t)udyn(t)

(16)

其中

Adyn(t)=?fdyn?udynξt,ut=-2(Ccf+Ccr)mx·t?fy··?x·02(bCcr-aCcf)mx·t-x·00

φ·-2Ccfδf,t-1mx·t?fx··?x·0y·t-2aCcfδf,t-1mx·t00

000100

2(bCcr-aCcf)Izx·t?fφ··?x·0-2(b2Ccr+a2Ccf)Izx·t00

cosφt-sinφtx·tcosφt-y·tsinφt000

-sinφtcosφt-y·tcosφt-x·tsinφt000

Bdyn(t)=?fdyn?udynξt,ut=

2Ccfm,2Ccf2δf,t-1-y·+aφ·x·tm,0,2aCcfIz,0,0

?fy··?x·=2Ccf(y·r+aφ·r)+2Ccr(y·t-bφ·t)mx·2t-φ·t

?fx··?x·= 2Ccfδf,t-1(y·t+aφ·t)mx·2t

?fφ··?x·=2(aCcf(y·t+aφ·t)-bCcr(y·t-bφ·t))Izx·2t

2 模型預(yù)測(cè)控制器

2.1 預(yù)測(cè)方程

對(duì)式(16)采用一階差商方法進(jìn)行離散化處理，得到離散的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

ξdyn(k+1)=Adyn(k)ξdyn(k)+Bdyn(k)udyn(k)

(17)

設(shè)定

ξdyn(k|t)=x(k|t)

udyn(k-1|t)

可以得到一個(gè)新的狀態(tài)空間表達(dá)式：

ξdyn(k+1|t)=

Ak|tξdyn(k|t)+Bk|tΔudyn(k|t)

hdyn(k|t)=Ck|t(k|t)

(18)

其中，

Ak|t=Adyn(k|t)0

0m×nIm,Bk|t=Bdyn(k|t)

Im，

Ck|t=[Cdyn(k|t) 0]，Im為m階單位矩陣， Δudyn為控制增量，ξdyn為當(dāng)前狀態(tài)量，m，n分別為系統(tǒng)的狀態(tài)量和控制量個(gè)數(shù)。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

為了得到控制時(shí)域內(nèi)的控制序列，需要進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)[7]?？砂芽刂圃隽孔鳛槟繕?biāo)函數(shù)的狀態(tài)量，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可設(shè)為如下形式：

J(ξ(t),u(t-1),ΔU(t))=

∑Npi=1‖Δηdyn(t+i|t)‖Q2+

∑Nc-1i=1‖Δudyn(t+i|t)‖2R+ρε2

(19)

式中:Δηdyn(t+i|t)=ηdyn(t+i|t)-ηdyn,ref(t+i|t)為輸出量與參考量之差；Q、R為權(quán)重矩陣；Δudyn(t+i|t)為控制增量；ρ為權(quán)重系數(shù)；ε為松弛因子；Np為預(yù)測(cè)時(shí)域參數(shù)；Nc為控制時(shí)域參數(shù)。

2.3 約束條件

為了保證無(wú)人駕駛汽車快速平穩(wěn)地跟蹤目標(biāo)路徑，需對(duì)輪胎側(cè)偏角、前輪轉(zhuǎn)角及其增量以及質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的條件約束[8]。

2.3.1 輪胎側(cè)偏角

由式(11)可推出在某一任意時(shí)刻，當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)量已知時(shí)，前、后輪胎側(cè)偏角的表達(dá)式為：

αf,t=y·t+aφ·tx·t-δf,t-1αr,t=y·t-bφ·tx·t

(20)

其中，αf,t為某一任意時(shí)刻的前輪側(cè)偏角；αr,t為某一任意時(shí)刻的后輪側(cè)偏角，δf,t-1為上一時(shí)刻的前輪轉(zhuǎn)角。此處對(duì)前輪側(cè)偏角做出限定即：

-3°≤αf,t≤3°

2.3.2 前輪轉(zhuǎn)角及其增量

前輪轉(zhuǎn)角作為所設(shè)計(jì)的MPC控制器中的控制量，需要對(duì)它及它的增量進(jìn)行約束。此處將前輪轉(zhuǎn)角及其增量約束設(shè)置成：

-10°≤u≤10°，-0.85°≤Δu≤0.85°

2.3.3 質(zhì)心側(cè)偏角

汽車在附著條件較差的冰雪路面上，極限值為±2°， 而在附著條件良好的路面上行駛時(shí)，質(zhì)心側(cè)偏角的極限可以達(dá)到±12°。因此質(zhì)心側(cè)偏角的約束條件為：

-12°≤β≤12° (良好路面)

-2°≤β≤2° (冰雪路面)

綜上所述，MPC路徑跟隨控制器可歸納為如以下優(yōu)化問(wèn)題：

minΔudyn,∈‖Δηdyn(t+i|t)‖2Q+∑Nc-1i=1

‖Δudyn(t+i|t)‖2R+ρε2Δηdyn(t+i|t)=

ηdyn(t+i|t)-ηdyn,ref(t+i|t)

(21)

s.t.ΔUdyn,min≤ΔUdyn≤ΔUdyn,max

Udyn,min≤AΔUdyn+Udyn,t≤Udyn,max

yhc,min≤yhc≤yhc,max

ysc,min-ε≤ysc≤yyc,max+ε

ε>0

(22)

式中：yhc為硬約束輸出；ySC為軟約束輸出；yhc,max、yhc,max為硬約束極限值；ysc,min、ysc,max為軟約束極限值；ΔUdyn為運(yùn)動(dòng)學(xué)中控制增量；Udyn為運(yùn)動(dòng)學(xué)控制量；ΔUdyn,min、ΔUdyn,max為運(yùn)動(dòng)學(xué)控制增量的極限值；Udyn,min、Udyn,max為運(yùn)動(dòng)學(xué)控制值的極限值。當(dāng)每個(gè)控制周期內(nèi)完成對(duì)上式的求解后，將控制序列中的第一個(gè)元素作為實(shí)際的控制輸入增量作用于系統(tǒng)：

udyn(t)=udyn(t-1)+Δu*dyn

如此循環(huán)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)路徑的跟蹤。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)已有規(guī)劃好的目標(biāo)路徑，故只針對(duì)其跟隨效果進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。由于雙移線路徑[9-10]可以很好地測(cè)試汽車的行駛穩(wěn)定性[11-13]，故仿真實(shí)驗(yàn)以雙移線路徑為無(wú)人駕駛汽車的跟隨目標(biāo)路徑，雙移線路徑如圖2所示。

圖2 雙移線參考軌跡

3.1 遺傳算法對(duì)MPC優(yōu)化

遺傳算法是一類借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法。其根據(jù)適應(yīng)度的好壞從上一代中選擇一定數(shù)量的優(yōu)秀個(gè)體，通過(guò)交叉、變異形成下一代群體。經(jīng)過(guò)若干代的進(jìn)化，算法收斂于最好的染色體，它即是問(wèn)題最優(yōu)解[14]。

MPC 控制器中，對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)域Np、控制時(shí)域Nc這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化具有重要意義。按照傳統(tǒng)人工調(diào)整參數(shù)的方式，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且還不能確保MPC路徑跟隨控制器的效果達(dá)到最佳。因此筆者利用遺傳優(yōu)化算法對(duì)MPC的控制參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而尋找出不同車速下的最優(yōu)參數(shù)。系統(tǒng)的輸出性能指標(biāo)采用絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(integrated absolute error，IAE)，其表達(dá)式為：

JIAE=∫∞0|e(t)|dt

遺傳算法優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3 遺傳算法優(yōu)化流程圖

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

采用遺傳算法分別對(duì)30 km/h、60 km/h、90 km/h、120 km/h 4種速度工況進(jìn)行仿真試驗(yàn)，找到不同速度工況下的最優(yōu)控制參數(shù)。遺傳算法中的優(yōu)化代數(shù)設(shè)為40，種群數(shù)量為40，交叉概率為0.6，變異概率為0.1。其優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。

圖4 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

從圖4(a)的各代最佳適應(yīng)度隨迭代次數(shù)變化曲線可看出，30 km/h車速下最優(yōu)適應(yīng)值(即IAE 性能指標(biāo)值)在第24次迭代時(shí)趨于穩(wěn)定，并達(dá)到最小值0.711 1；60 km/h車速下最優(yōu)適應(yīng)值在第2次迭代時(shí)趨于穩(wěn)定，并達(dá)到最小值0.633 6；90 km/h車速下最優(yōu)適應(yīng)值在第5次迭代時(shí)趨于穩(wěn)定，并達(dá)到最小值1.160 4；120 km/h車速下最優(yōu)適應(yīng)值在第3次迭代時(shí)趨于穩(wěn)定，并達(dá)到最小值1.954 3。

從圖4(b)和圖4(c)的Np、Nc參數(shù)值隨迭代次數(shù)變化曲線可看出，30 km/h車速下參數(shù)最優(yōu)值分別為15.547 0和19.660 7；60 km/h車速下參數(shù)最優(yōu)值分別為18.973 9和14.145 0；90 km/h車速下參數(shù)最優(yōu)值分別為30.648 9和6.368 7；120 km/h車速下參數(shù)最優(yōu)值分別為34.508 7和7.195 7。

將優(yōu)化后的參數(shù)分別帶入對(duì)應(yīng)的速度工況，通過(guò)搭建Carsim/Simulink仿真平臺(tái)，對(duì)雙移線目標(biāo)路徑進(jìn)行仿真試驗(yàn),結(jié)果如圖5所示。

圖5 優(yōu)化前后路徑跟隨效果對(duì)比

由圖5可知，經(jīng)過(guò)GA優(yōu)化過(guò)后的MPC控制器，在低速、中速和高速時(shí)，均可以較好地跟隨目標(biāo)路徑。在汽車處于低速工況30 km/h時(shí)，最大的橫向距離為0.1 m，可以很精準(zhǔn)地跟隨目標(biāo)路徑。在汽車處于中速工況60 km/h時(shí)，最大的橫向距離為0.2 m，對(duì)目標(biāo)路徑也有很好的跟隨效果。在汽車處于高速工況90 km/h和120 km/h時(shí)，在有較大道路彎曲曲率的試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)路徑上出現(xiàn)了一個(gè)較大的偏移量，但最大的橫向距離僅為0.88 m，相當(dāng)于一半的車寬，且后期很快可以跟隨上目標(biāo)路徑，而且考慮到正常情況下，汽車高速工況行駛路況一般應(yīng)較好，很少出現(xiàn)較大的道路彎曲曲率，故其誤差距離可以接受。

汽車的其他性能指標(biāo)如圖6所示。

圖6 優(yōu)化后的汽車主要性能指標(biāo)

由圖6可知，30 km/h車速下橫擺角速度最大值在11.9 deg/s左右，側(cè)向加速度最大值在0.17 m/s2左右，質(zhì)心側(cè)偏角為1.57°；60 km/h車速下橫擺角速度最大值在24.7 deg/s左右，側(cè)向加速度最大值在0.67 m/s2左右，質(zhì)心側(cè)偏角為0.94°；90 km/h車速下橫擺角速度最大值在26.5 deg/s左右，側(cè)向加速度最大值在0.89m/s2左右，質(zhì)心側(cè)偏角為3.6°；120 km/h車速下橫擺角速度最大值在33.2 deg/s左右，側(cè)向加速度最大值在0.97 m/s2左右，質(zhì)心側(cè)偏角為5.9°。

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明，經(jīng)過(guò)GA優(yōu)化過(guò)的MPC控制器，雖然可能部分犧牲了駕駛員及乘客的乘坐舒適性，但是在對(duì)目標(biāo)路徑進(jìn)行跟隨時(shí)，具有較好的魯棒性，且汽車響應(yīng)也符合穩(wěn)定地要求，可以準(zhǔn)確穩(wěn)定的對(duì)目標(biāo)路徑進(jìn)行跟隨。

4 結(jié)論

針對(duì)無(wú)人駕駛車輛的路徑跟隨問(wèn)題，提出了一種基于模型預(yù)測(cè)的路徑跟隨控制，并通過(guò)遺傳算法，對(duì)MPC控制器中的控制參數(shù)，預(yù)測(cè)時(shí)域Np和控制時(shí)域Nc進(jìn)行優(yōu)化，找到了不同速度工況下的最優(yōu)控制參數(shù)，從而大大提高汽車對(duì)目標(biāo)路徑跟隨的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。故將優(yōu)化后MPC控制器應(yīng)用到無(wú)人駕駛汽車路徑跟隨控制領(lǐng)域具有一定的可行性。