鄭鈺馨， 奚 鷹， 袁 浪， 卜王輝

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院， 上海 201804)

高速度、高精度和高承載能力的高性能機(jī)械系統(tǒng)，對(duì)齒輪的傳動(dòng)性能提出了更高的要求，如RV減速器作為高精度工業(yè)機(jī)器人用減速器，其傳動(dòng)精度要求不大于1′，所以其制造安裝要求、傳動(dòng)平穩(wěn)性要求和振動(dòng)噪聲要求都大幅提高.車輛系統(tǒng)的齒輪傳動(dòng)裝置，在長(zhǎng)時(shí)間的使用中和高溫、高速、惡劣環(huán)境中，其傳動(dòng)性能直接影響了駕駛?cè)撕统丝偷某俗w驗(yàn).直齒輪是齒輪傳動(dòng)形式的基礎(chǔ)，對(duì)其他齒輪傳動(dòng)形式的研究都要由此展開，所以對(duì)直齒輪動(dòng)力性能的研究很有必要.

文獻(xiàn)[1]采用增量諧波平衡法對(duì)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析.文獻(xiàn)[2]針對(duì)傳統(tǒng)增量諧波平衡法求解多頻激勵(lì)局部非線性系統(tǒng)周期響應(yīng)耗時(shí)太長(zhǎng)的問題，提出了降維增量諧波平衡方法.文獻(xiàn)[3]在采用諧波平衡法對(duì)復(fù)合行星系統(tǒng)求解基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基礎(chǔ)上，采用Gill積分法對(duì)系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)模型進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)求解.文獻(xiàn)[4]建立了3自由度齒輪傳動(dòng)模型，采用Runge-Kutta法對(duì)方程進(jìn)行了求解.文獻(xiàn)[5-7]提出用數(shù)值方法分析純扭轉(zhuǎn)齒輪在不同參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化過程，考慮非線性因素，提出時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙變化和綜合誤差對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響較大的結(jié)論.文獻(xiàn)[8]建立含有齒側(cè)間隙和內(nèi)部激勵(lì)誤差的平動(dòng)-扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，采用諧波平衡法和數(shù)值法討論了多間隙和單間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響.文獻(xiàn)[9]對(duì)行星齒輪動(dòng)力學(xué)的振動(dòng)研究歷史進(jìn)行了總結(jié)和回顧.通過文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)，齒輪動(dòng)力學(xué)方程主要通過解析和數(shù)值兩種方法求解，但解析法求解過程復(fù)雜，能求解的方程較為簡(jiǎn)單，而數(shù)值法求解迅速并且可以求解復(fù)雜方程.使用數(shù)值法更加適合非線性特性分析，但是現(xiàn)有研究中，齒輪動(dòng)力學(xué)非線性特性分析主要停留在定性分析階段，定量分析較少，并且定量分析中的參數(shù)設(shè)置復(fù)雜，要根據(jù)多種算法才能最終確定一個(gè)最佳參數(shù)，而現(xiàn)有文獻(xiàn)幾乎忽略了參數(shù)設(shè)置的合理性研究；同時(shí)，在非線性分析中，缺少多種非線性因素耦合影響分析.

本文建立了4自由度的直齒輪純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，先在不考慮原動(dòng)機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)特性和其他非線性因素的影響下，求解了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線和頻率曲線，后從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面討論了在嚙合誤差、時(shí)變嚙合剛度和嚙合間隙非線性因素影響下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變化規(guī)律，以及考察了單個(gè)和多個(gè)因素對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響，形成了一套完整的直齒輪非線性特性分析方法.

1 直齒輪純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

1.1 不考慮非線性因素的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

建立僅考慮傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度和嚙合剛度的4自由度1∶1傳動(dòng)的齒輪-轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，如圖1所示.其中：kv為主動(dòng)輪1和從動(dòng)輪2之間的嚙合剛度；cv為主動(dòng)輪1和從動(dòng)輪之間的嚙合阻尼；e(t)為主動(dòng)輪1和從動(dòng)輪2之間的嚙合誤差.

圖1 直齒輪純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型Fig.1 Pure torsional vibration model of spur gear

取θ、θL、θ1、θ2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，用牛頓-歐拉方法建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：θ為原動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角；θ1為主動(dòng)輪1的轉(zhuǎn)角；θ2為從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)角；θL為負(fù)載轉(zhuǎn)角；JM為原動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J1為主動(dòng)輪1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為從動(dòng)輪2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；JL為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c1為輸入軸的扭轉(zhuǎn)阻尼；c2為輸出軸的扭轉(zhuǎn)阻尼；k1為輸入軸的扭轉(zhuǎn)剛度；k2為輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度；TM為原動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；r1為主動(dòng)輪1半徑；r2為從動(dòng)輪2半徑；F為齒輪嚙合力.

當(dāng)假設(shè)原動(dòng)機(jī)等速回轉(zhuǎn)時(shí)，則原動(dòng)機(jī)的θ不作為廣義坐標(biāo)，而作為已知量.取廣義坐標(biāo)為

φ1=θ1-θ

(5)

x=r1θ1-r2θ2

(6)

φ2=θL-θ2

(7)

式中：x為嚙合線上兩齒輪的相對(duì)位移；φ1、φ2分別為主、從動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)角.

通過坐標(biāo)變換，消除了齒輪嚙合間的剛體位移，并將自由度從4變成了3，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)運(yùn)算.

1.2 不考慮非線性因素的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型求解結(jié)果

1.2.1轉(zhuǎn)角 通過計(jì)算得到如圖2(a)所示的系統(tǒng)轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化的曲線.由于系統(tǒng)傳動(dòng)比為1∶1，所以原動(dòng)機(jī)、齒輪1、齒輪2和負(fù)載的轉(zhuǎn)角基本相同，但由于軸的扭轉(zhuǎn)剛度、齒輪嚙合剛度以及非線性因素的影響，轉(zhuǎn)角存在一些微小的差異，如圖2(b)所示.由于輸入軸轉(zhuǎn)速假設(shè)為恒定值500 r/min，則在300 s內(nèi)，轉(zhuǎn)過9×105度，圖2說明模型動(dòng)力學(xué)方程的建立和求解是正確的.

1.2.2系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng) 選取嚙合線上兩齒輪的相對(duì)位移即齒輪之間的線性傳動(dòng)誤差作為考察量.由圖3(a)可見，嚙合相對(duì)位移在經(jīng)過一定時(shí)間的振蕩后逐漸趨于平穩(wěn)，頻譜分析圖3(b)上只有一個(gè)譜峰 0.059 38 Hz.

圖2 原動(dòng)機(jī)、齒輪1、齒輪2和負(fù)載的轉(zhuǎn)角Fig.2 Rotation angles of prime motor, gear 1, gear 2 and load

圖3 不考慮非線性因素的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型響應(yīng)結(jié)果Fig.3 Result of the pure torsional vibration model without considering nonlinear factors

1.3 考慮直齒輪齒間間隙、時(shí)變嚙合剛度和嚙合誤差時(shí)純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

1.3.1非線性因素表達(dá) 當(dāng)考慮齒間間隙、時(shí)變嚙合剛度和嚙合誤差的時(shí)候，兩個(gè)齒輪之間的嚙合力為

(8)

式中：xq(t)為齒間非線性總間隙；kv(t)為齒間時(shí)變嚙合剛度.

xq(t)的表達(dá)式為

(9)

xp=r1θ1-r2θ2-e(t)

(10)

式中：xp為考慮齒間嚙合誤差時(shí)候的齒間變形；b為齒間間隙的1/2.

齒間嚙合誤差的表達(dá)式為

(11)

式中：ej為嚙合誤差第j階對(duì)應(yīng)的幅值；φej為嚙合誤差第j階對(duì)應(yīng)的相位；ωm為與嚙頻對(duì)應(yīng)的圓頻率；n為最高階數(shù).

嚙頻fm為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和齒數(shù)的乘積[10]：

(12)

式中：n1為齒輪1的轉(zhuǎn)速；n2為齒輪2的轉(zhuǎn)速；z1為齒輪1的齒數(shù)；z2為齒輪2的齒數(shù).取j=1，此時(shí)一階齒間嚙合誤差激勵(lì)中的e1=10 μm，φe1=0.

直齒輪外嚙合時(shí)變剛度kv(t)可以表示為平均值kv和隨時(shí)間變動(dòng)量Δkv(t)的疊加：

kv(t)=kv+Δkv(t)

(13)

(14)

式中：ki為時(shí)變嚙合剛度第i階對(duì)應(yīng)的幅值；φki為時(shí)變嚙合剛度第i階對(duì)應(yīng)的相位；n′為最高階數(shù).

A0=2Δ(2ε-1)，

(15)

(16)

圖4 考慮非線性因素的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性Fig.4 System dynamic characteristic considering nonlinear factors

式中：Δ為時(shí)變剛度的最大剛度值和最小剛度值之間差值的一半；ε為齒輪端面重合度.取i=1，此時(shí)一階齒間嚙合剛度中的ε=1.65，Δ=0.25，n′=1，φk1=0.

(17)

(18)

(19)

式中：ωd為時(shí)間標(biāo)稱尺度；bd為位移標(biāo)稱尺度.

(20)

(21)

(22)

1.3.2系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng) 圖4所示為考慮非線性因素時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，可見時(shí)域和頻域都發(fā)生了明顯變化.由于非線性因素的存在，齒輪嚙合線性傳動(dòng)誤差加大，頻率由于外界激勵(lì)的存在，由 0.059 38 Hz變?yōu)?0.013 05 Hz，同時(shí)在其他頻率上激起了微小的振動(dòng)，不過不影響整體動(dòng)態(tài)性能.

2 系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 定性分析

常用非線性分析方法主要有時(shí)間歷程、相圖、Poincáre截面、功率譜和分岔圖等[10].

時(shí)間歷程可以反映系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)，但是由于其長(zhǎng)周期性以及多種運(yùn)動(dòng)成分之間很難區(qū)分，所反映的動(dòng)態(tài)特性有限.

相圖通常采用某物理量的位移和速度的時(shí)間歷程共同繪制出平面圖形.周期運(yùn)動(dòng)的相線為一條閉合曲線；擬周期運(yùn)動(dòng)的相線表現(xiàn)出一定的帶狀規(guī)律性曲線；混沌運(yùn)動(dòng)的相線則相互交叉纏繞，并且充滿于相空間中的一部分.

Poincáre截面對(duì)于非自治系統(tǒng)，采用頻閃法，即按照激勵(lì)周期取間隔狀態(tài)位移和速度的值，并將其繪制在平面中.在Poincáre映射圖中，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為有限個(gè)離散點(diǎn)；擬周期運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為若干條封閉曲線；混沌運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為一個(gè)具有分形結(jié)構(gòu)的雜亂點(diǎn)集.

功率譜反映了信號(hào)中各頻率成分的功率.若系統(tǒng)是周期運(yùn)動(dòng)，功率譜為離散的分立譜峰；擬周期運(yùn)動(dòng)的功率譜為由若干個(gè)不可公約的基頻以及這些基頻線性組合形成的尖峰；混沌運(yùn)動(dòng)，則會(huì)出現(xiàn)噪聲背景和較寬的連續(xù)頻譜.

分岔是當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)達(dá)到一定值，系統(tǒng)的性質(zhì)將會(huì)突然發(fā)生改變.系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，分岔圖上為1條或數(shù)條隨參數(shù)變化的曲線；系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，分岔圖上同一參數(shù)對(duì)應(yīng)多個(gè)響應(yīng)值，從而隨參數(shù)變化形成一段點(diǎn)狀帶.分岔圖不能完全區(qū)分混沌運(yùn)動(dòng)和擬周期運(yùn)動(dòng).

2.2 定量分析

最大Lyapunov指數(shù)、分形維數(shù)是非線性動(dòng)態(tài)特性定量分析的重要工具[10].

Lyapunov指數(shù)是相空間內(nèi)相鄰軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率的數(shù)值特征.最大Lyapunov指數(shù)λ<0，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)和周期運(yùn)動(dòng)；λ>0，對(duì)應(yīng)于混沌運(yùn)動(dòng)；λ=0的點(diǎn)必為分叉點(diǎn).

分形維數(shù)指非線性變化下的不變性，說明了吸引子中的密集程度或刻畫它所必需的信息量，可以是整數(shù)也可以不是整數(shù).關(guān)聯(lián)維作為分形維數(shù)的一種，主要描述了狀態(tài)變量隨時(shí)間變化前后的關(guān)聯(lián)性.

2.3 最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算方法和步驟

2.3.1計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)方法 最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法主要有：由定義法延伸的Nicolis方法、Jacobian方法、Wolf方法、P-范數(shù)方法和小數(shù)據(jù)量方法[10].

如果系統(tǒng)較為簡(jiǎn)單，采用定義法和Jacobian方法；如果系統(tǒng)方程比較復(fù)雜，如超維系統(tǒng)，或者為一時(shí)間序列，采用Wolf方法和小數(shù)據(jù)量方法；P-范數(shù)方法較少采用.

Wolf方法和小數(shù)據(jù)量方法都要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)相空間，重構(gòu)相空間的優(yōu)良取決于嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ.

2.3.2C-C法和復(fù)自相關(guān)法求τ以及估算m求τ的方法主要有C-C方法和復(fù)自相關(guān)法：C-C方法是統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)方法；復(fù)自相關(guān)法是自相關(guān)法和平均位移法的綜合.

根據(jù)C-C方法的結(jié)果對(duì)τ和m進(jìn)行初步判定。首先求出對(duì)應(yīng)不同τ情況下的時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)積分的平均值Smean，再計(jì)算時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)積分最大值和最小值之間的差值ΔS(τ)，最后根據(jù)Scor(τ)=Smean+ΔS(τ)求出最終的時(shí)間序列關(guān)聯(lián)積分Scor(τ)，如圖5所示，根據(jù)ΔS(τ)的第一個(gè)極小值確定時(shí)間序列獨(dú)立的第一個(gè)局部最大值并作為延遲時(shí)間τ；根據(jù)Scor(τ)的最小值確定時(shí)間序列獨(dú)立的第一個(gè)整體最大值延遲時(shí)間窗口τw，τw=(m-1)τ，由圖5初步判定延遲時(shí)間τ=15 s，最大延遲時(shí)間窗口τw=40 s，窗口嵌入維數(shù)計(jì)算值為m=4。

圖5 C-C法求延遲時(shí)間Fig.5 C-C method to get the delay time

采用復(fù)自相關(guān)法，得到如圖6所示的結(jié)果，Cτ為延遲時(shí)間下對(duì)應(yīng)的位移.假設(shè)m=4，時(shí)間序列的最大延遲時(shí)間為27 s.結(jié)合圖5可得，最大延遲時(shí)間窗口為40 s，當(dāng)最大延遲時(shí)間為27 s時(shí)，最小嵌入維數(shù)為3.

圖6 復(fù)自相關(guān)法求延遲時(shí)間Fig.6 Multiple-autocorrelation method to get the delay time

2.3.3G-P算法和Cao法求mG-P算法中首先計(jì)算出序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)d，然后利用嵌入維數(shù)m≥2d+1，選取合適的嵌入維數(shù).初選嵌入維數(shù)2≤m≤20，對(duì)于尺度Rr在[-6，0]范圍內(nèi)，吸引子關(guān)聯(lián)維數(shù)d與累積分布函數(shù)C(Rr)滿足對(duì)數(shù)線性關(guān)系.根據(jù)圖7，擬合段的斜率即關(guān)聯(lián)維數(shù)1

圖7 G-P算法計(jì)算序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)Fig.7 G-P algorithm to calculate the correlation dimension of the sequence

Cao法對(duì)原始的虛假鄰點(diǎn)法中的m的判定方法從主觀判斷變?yōu)槎x新的變量E(m)，當(dāng)m大于某個(gè)特定值后m0，E(m)不再變化，此時(shí)m0即是最小嵌入維數(shù).根據(jù)圖8，盡管延遲時(shí)間不同，但到m=4之后，E(m)基本不再變化，所以，m=4是時(shí)間序列的最小嵌入維數(shù).

圖8 Cao算法求解最小嵌入維數(shù)Fig.8 Cao algorithm to solve the minimum embedding dimension

綜上所述，根據(jù)C-C方法、G-P算法和Cao法綜合選擇m=4為系統(tǒng)時(shí)間序列的嵌入維數(shù)，根據(jù) C-C 方法、復(fù)自相關(guān)法和Cao法綜合選擇τ=15 s為系統(tǒng)時(shí)間序列的延遲時(shí)間.將m和τ代入Wolf方法和小數(shù)據(jù)量方法中，即可求得時(shí)間序列的最大 Lyapunov 指數(shù).

2.4 齒輪嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

齒輪嚙合剛度在5×107～1×109N/m之間時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖如圖9所示，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)如圖10所示.可以看出kV在5×107～2.399×108N/m之間時(shí)，系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)嚴(yán)重；在 2.399×108～5.583×108N/m之間為混沌和擬周期交互的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此段混沌程度較 2.399×108N/m之前區(qū)域低很多；從 5.583×108N/m之后，最大Lyapunov指數(shù)收斂于0， 但不小于0， 說明系統(tǒng)進(jìn)入準(zhǔn)周期或者倍周期運(yùn)動(dòng)，但并沒有進(jìn)入嚴(yán)格周期運(yùn)動(dòng)，并且此時(shí)系統(tǒng)并不處于穩(wěn)定狀態(tài)，其他參數(shù)的改變可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn).

圖9 隨嚙合剛度變化的系統(tǒng)分岔圖Fig.9 System’s bifurcation diagram with vary- ing meshing stiffnesses

圖10 隨嚙合剛度變化的系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)Fig.10 Maximum Lyapunov exponent of system with varying meshing stiffnesses

圖11所示為不同嚙合剛度下非線性特性圖.當(dāng)齒輪嚙合剛度為1×108N/m時(shí)，相平面圖(圖11(c))為充滿一定空間的相互交錯(cuò)曲線，Poincaré圖(圖11(d))是具有一定云狀的點(diǎn)集，頻譜圖(圖11(b))出現(xiàn)了噪聲背景和寬峰的連續(xù)譜，此時(shí)處于混沌狀態(tài).當(dāng)齒輪嚙合剛度為 2.399×108N/m時(shí)，相平面圖(圖11(g))為具有一定寬度的閉合曲線帶，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)左右兩個(gè)中心區(qū)域，并在兩定點(diǎn)之間做穩(wěn)定重復(fù)的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，Poincaré圖(圖11(h))為一封閉曲線，頻率圖(圖11(f))由不可通約的頻率組成，在組合頻率處出現(xiàn)不可公約的諧波分量，所以此時(shí)系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)齒輪嚙合剛度為 5.583×108N/m時(shí)，系統(tǒng)最后一次做兩定點(diǎn)的擬周期運(yùn)動(dòng)， 之后系統(tǒng)進(jìn)入了相對(duì)穩(wěn)定周期為1的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，如圖11(j)、(k)和(l)所示，并且通過圖11(a)、(e)和(i)可知，隨著嚙合剛度的增加，齒輪之間的線性傳動(dòng)誤差減小，振動(dòng)響應(yīng)趨于平穩(wěn).綜上，齒間嚙合剛度取較大值有利于齒輪傳動(dòng).

圖11 不同嚙合剛度下非線性特性圖Fig.11 System’s nonlinear characteristics with different meshing stiffness

圖14 不同嚙合頻率下非線性特性圖Fig.14 System nonlinear characteristic with different meshing frequencies

2.5 嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

電機(jī)轉(zhuǎn)速額定轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，此時(shí)無量綱下嚙合頻率為 0.328 Hz；最大轉(zhuǎn)速為 3 000 r/min，嚙合頻率為 0.492 Hz；部分型號(hào)電機(jī)最大轉(zhuǎn)速為 5 000 r/min，嚙合頻率為 0.820 Hz.由圖12和圖13可知，當(dāng)嚙合頻率w=0～0.086 3 Hz時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)維持在 0.000 7，接近0，根據(jù)圖14(a)和(b)可知，此時(shí)系統(tǒng)維持在周期為1的準(zhǔn)周期狀態(tài).當(dāng)w=0.086 3～0.995 3 Hz時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖14(c)和(d)所示，其中個(gè)別頻率出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)w=0.995 3～1.106 5 Hz時(shí)是周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖14(e)和(f)所示，1.106 5 Hz之后又出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).由于w=0.086 3～0.995 3 Hz時(shí)，系統(tǒng)基本為混沌運(yùn)動(dòng)，在進(jìn)行系統(tǒng)傳動(dòng)誤差實(shí)驗(yàn)時(shí)，不宜采用此區(qū)間的速度， 并結(jié)合當(dāng)前機(jī)械傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)中扭矩傳感器和角度編碼器等測(cè)量?jī)x器使用速度范圍限定的要求，采用低速進(jìn)行傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)是合理的.

圖12 隨嚙合頻率變化的系統(tǒng)分岔圖Fig.12 System’s bifurcation diagram with varying meshing frequencies

圖13 隨嚙合頻率變化的系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)Fig.13 Maximum Lyapunov exponent of the system with varying meshing frequencies

2.6 嚙合間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

當(dāng)齒輪嚙合間隙b=0～100 μm時(shí)，系統(tǒng)分岔圖如圖15所示，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)如圖16所示.當(dāng)b=0～13.11 μm時(shí)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和周期為1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖17所示；當(dāng)b=13.11～28.53 μm，經(jīng)過倍周期分岔變成周期為2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖18所示；b=28.53～39.14 μm 為1周期和2周期交互狀態(tài)；b=39.14～45.95 μm為3周期狀態(tài)，如圖19所示；b=45.95～58.36 μm為1周期、 2周期和3周期交互狀態(tài)；b=58.36 μm之后為混沌運(yùn)動(dòng)，如圖20所示.綜上，在保證能夠容納一定潤(rùn)滑油的情況下，齒輪嚙合間隙不要超過 58.36 μm.

圖15 隨嚙合間隙變化的系統(tǒng)分岔圖Fig.15 System’s bifurcation diagram with varying meshing clearances

圖16 隨嚙合間隙變化的系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)Fig.16 Maximum Lyapunov exponent of the system with varying meshing clearances

圖17 b=10 μm時(shí)的非線性特性圖Fig.17 System’s nonlinear characteristics when b=10 μm

圖18 b=20 μm時(shí)的非線性特性圖Fig.18 System’s nonlinear characteristics when b=20 μm

圖19 b=40 μm時(shí)的非線性特性圖Fig.19 System’s nonlinear characteristics when b=40 μm

圖20 b=60 μm時(shí)的非線性特性圖Fig.20 System’s nonlinear characteristics when b=60 μm

3 非線性因素對(duì)系統(tǒng)性能耦合影響

3.1 嚙合剛度和嚙合間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

通過單非線性因素分析，能夠確定系統(tǒng)處于周期、準(zhǔn)周期還是混沌運(yùn)動(dòng)，要盡量避免系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在多因素耦合分析時(shí)，選擇嚙合剛度為 3×108～8×108N/m，嚙合間隙為1～50 μm，盡量避開混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).根據(jù)圖21和圖22可知，齒輪嚙合線性傳動(dòng)誤差隨著嚙合間隙的增加而出現(xiàn)階段性的增大，隨著嚙合剛度的增加變化幅度不大，但間隙為9 μm，剛度大于 6.889×108N/m時(shí)，系統(tǒng)振幅明顯增加，當(dāng)間隙為 48.52 μm，剛度小于 3.707×108N/m時(shí)，振幅也有明顯突變，系統(tǒng)應(yīng)盡量避免處于這2種參數(shù)配置下.此外，系統(tǒng)要嚴(yán)格控制嚙合間隙，在保證一定的潤(rùn)滑程度下，盡量減小嚙合間隙保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行.

圖21 嚙合剛度和嚙合間隙對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響三維圖Fig.21 The 3D graph of the meshing stiffness and meshing clearance influence on the nonlinear characteristics of the system

圖22 嚙合剛度和嚙合間隙對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響云圖Fig.22 The 2D graph of the meshing stiffness and mesh-ing clearance influence on the nonlinear characteristics of the system

3.2 嚙合剛度和嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

選擇無量綱嚙合頻率為 0.001～0.820 Hz，包含電機(jī)轉(zhuǎn)速0～5 000 r/min的范圍.由圖23和24可知，在嚙合頻率小于 0.092 Hz時(shí)，齒輪嚙合線性傳動(dòng)誤差基本沒有變化， 但當(dāng)大于 0.092 Hz時(shí)，齒輪嚙合線性傳動(dòng)誤差隨著嚙合頻率的增加而逐漸減小，隨著嚙合剛度的增加變化幅度不大， 所以系統(tǒng)在做傳動(dòng)誤差等實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)盡量保持在低轉(zhuǎn)速下進(jìn)行，并且高轉(zhuǎn)速時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)振幅加大，影響系統(tǒng)中零部件的工作特性和使用壽命，所以要避免系統(tǒng)長(zhǎng)期處于高速運(yùn)行狀態(tài).

圖23 嚙合剛度和嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響三維圖Fig.23 The 3D graph of the meshing stiffness and mesh-ing frequency influence on the nonlinear charac-teristics of the system

圖24 嚙合剛度和嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響云圖Fig.24 The 2D graph of the meshing stiffness and mesh-ing frequency influence on the nonlinear characteristics of the system

3.3 嚙合間隙和嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

根據(jù)圖25和圖26可知，在嚙合頻率小于 0.108 5 Hz時(shí)，齒輪嚙合線性傳動(dòng)誤差基本沒有變化，但當(dāng)大于 0.108 5 Hz時(shí)，齒輪嚙合線性傳動(dòng)誤差隨著嚙合頻率的增加而逐漸減小，隨著嚙合間隙的增加變化幅度不大，說明在保持一定嚙合速度的情況下，間隙對(duì)振幅的影響較小.綜上，嚙合頻率是對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響最明顯的因素，嚙合間隙其次，影響較小的是嚙合剛度，在保持一定齒面硬度的情況下，盡量保持較小嚙合間隙和嚙合頻率能夠有效減小振動(dòng)幅度.

圖25 嚙合間隙和嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響三維圖Fig.25 The 3D graph of the meshing clearance and mesh-ing frequency influence on the nonlinear charac-teristics of the system

圖26 嚙合間隙和嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響云圖Fig.26 The 2D graph of the meshing clearance and mesh-ing frequency influence on the nonlinear characteristics of the system

4 結(jié)論

(1) 從時(shí)域和頻域兩個(gè)方面得到了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從定性和定量?jī)蓚€(gè)角度進(jìn)行了系統(tǒng)非線性特性影響分析，建立了一套較為完整的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析方法.在此基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)中的各種非線性因素進(jìn)行合理匹配、把控和驗(yàn)證，能夠得到具有優(yōu)良動(dòng)力學(xué)性能的傳動(dòng)系統(tǒng).

(2) 在非線性特性定量分析中，嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ直接影響最大Lyapunov指數(shù)圖的繪制，要通過C-C方法和復(fù)自相關(guān)法估算m和τ，再根據(jù)G-P算法、Cao法確定最終的m和τ，通過多種方法的綜合判斷才能保證這兩個(gè)參數(shù)取值的合理性.

(3) 在單非線性因素分析中，當(dāng)嚙合剛度大于 5.583×108N/m時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入較為穩(wěn)定的準(zhǔn)周期狀態(tài)，嚙合頻率在 0.086 3～0.995 3 Hz之間時(shí)，系統(tǒng)基本為混沌狀態(tài)，嚙合間隙大于 58.36 μm時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).在多非線性因素耦合分析中，可以看到在低嚙合頻率情況下，嚙合間隙和嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響不顯著，但當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入較高嚙合頻率，大于 0.1 Hz后，較大的嚙合間隙和嚙合剛度都會(huì)增加系統(tǒng)的線性傳動(dòng)誤差.根據(jù)上述分析，齒輪應(yīng)通過材料熱處理增加一定齒面硬度，保證系統(tǒng)具有較高的嚙合剛度，但不能過硬.齒輪系統(tǒng)不能長(zhǎng)時(shí)間處于高速狀態(tài)，系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象嚴(yán)重影響零部件的工作特性和使用壽命.齒輪間隙在滿足潤(rùn)滑和散熱條件下，應(yīng)盡量選擇較小間隙.

(4) 齒輪嚙合頻率對(duì)非線性特性影響最大，嚙合間隙其次，嚙合剛度影響最小，此結(jié)論對(duì)齒輪系統(tǒng)生產(chǎn)加工和裝配具有一定的理論指導(dǎo)意義.