，，

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

近三十年，針對(duì)故障檢測與診斷技術(shù)研究的蓬勃發(fā)展，大量理論創(chuàng)新成果不斷被提出，研究框架也逐步完善[1-2]。故障檢測與診斷技術(shù)一般可為兩大類，基于系統(tǒng)模型的方法和不依賴系統(tǒng)模型的方法?；谀Ｐ偷墓收蠙z測與診斷技術(shù)通常包括殘差生成和殘差評(píng)價(jià)兩部分，其中經(jīng)典方法有基于觀測器的方法[3-7]、基于等價(jià)空間的方法[8-11]和基于參數(shù)估計(jì)的方法。

等價(jià)空間方法利用有限時(shí)間窗內(nèi)系統(tǒng)輸入與輸出(或部分輸出)之間的冗余關(guān)系構(gòu)造殘差，可實(shí)現(xiàn)殘差與系統(tǒng)初始狀態(tài)解耦。眾多學(xué)者對(duì)等價(jià)空間方法進(jìn)行了深入的研究，文獻(xiàn)[12]將小波變換與等價(jià)空間方法結(jié)合，利用小波變換的時(shí)頻局部化特性和快速算法，有效降低等價(jià)階數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)較寬頻率范圍內(nèi)故障的檢測。文獻(xiàn)[13]針對(duì)線性離散時(shí)變系統(tǒng)計(jì)算量大的問題，將殘差評(píng)價(jià)函數(shù)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求解Krein空間投影問題，提出一種遞推的故障檢測快速算法，顯著降低運(yùn)算量，提高了故障檢測系統(tǒng)實(shí)時(shí)性。文獻(xiàn)[14]應(yīng)用KL散度聯(lián)合故障距離函數(shù)和故障方向函數(shù)設(shè)計(jì)故障可診斷性指標(biāo)，研究了線性離散系統(tǒng)的可診斷性問題。

基于易于應(yīng)用方面的考慮，設(shè)定一個(gè)保守型閾值可以使誤報(bào)率為零，從而避免錯(cuò)誤報(bào)警的干擾。但發(fā)生微小故障(如在故障發(fā)生的初期)時(shí)，閾值過強(qiáng)的保守性會(huì)使故障檢測率大大下降。文獻(xiàn)[15]提出基于概率不等式方法的隨機(jī)化算法，能夠應(yīng)用蒙特卡羅模擬對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行有效估計(jì)，運(yùn)用此方法可以將檢測系統(tǒng)性能評(píng)估問題轉(zhuǎn)化為對(duì)一系列隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)化分析問題。文獻(xiàn)[16]分析了應(yīng)用主元分析窗口平滑和指數(shù)加權(quán)方法對(duì)檢測微小故障的檢測能力的提升效果，為閾值選取和提升故障檢測率提供了思路。

本研究以噪聲和擾動(dòng)統(tǒng)計(jì)特性未知，但有限時(shí)間l2范數(shù)有界的系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究隨機(jī)化分析輔助的等價(jià)空間故障檢測方法。為權(quán)衡誤報(bào)率和故障檢測率兩項(xiàng)性能指標(biāo)，得到較高檢測效率，基于隨機(jī)化分析對(duì)誤報(bào)率和漏報(bào)率估計(jì)結(jié)果，給出了檢測閾值的選取方法。最后，以無人機(jī)縱向控制系統(tǒng)故障檢測平臺(tái)為例，驗(yàn)證提出方法的有效性。

1 問題描述

考慮如下的線性離散系統(tǒng)

(1)

式中：x(k)∈Rn，u(k)∈Rp，y(k)∈Rq分別為狀態(tài)向量、輸入向量以及輸出向量；d(k)∈Rl代表未知干擾和其他故障；f(k)∈Rm表示待檢測的故障向量；A,B,C,D,Ed,Ef,Fd,Ff為相應(yīng)維數(shù)的已知矩陣。

令

其中s為等價(jià)階數(shù)，可得

ys(k)=Hosx(k-s)+Husus(k)+Hdsds(k)+Hfsfs(k)。

其中

將Hfs中的{Ef,Ff}分別替換為{Ed,Fd}和{B,D}可得Hds和Hus。構(gòu)造如下的殘差生成器

r(k)=Vs[ys(k)-Husus(k)]=Vs[Hdsds(k)+Hfsfs(k)]。

(2)

其中：r(k)為殘差向量；Vs∈Rγ×s·m為待設(shè)計(jì)的等價(jià)矩陣，且滿足VsHos=0；γ為等價(jià)空間Ρs(Hos的左零空間)的維數(shù)。

殘差對(duì)未知擾動(dòng)的魯棒性和對(duì)故障的敏感度分別定義為：

(3)

則殘差產(chǎn)生器的設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為如下的最小化問題：

(4)

由式(4)求得殘差評(píng)價(jià)量以后，依據(jù)未知干擾的類型(統(tǒng)計(jì)特性已知，如白噪聲；或有限時(shí)間內(nèi)范數(shù)有界)，選擇適當(dāng)?shù)拈撝礘th，并基于如下邏輯判斷故障的發(fā)生：

如果未知擾動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)能量有上確界，則利用未知擾動(dòng)的上確界可以確定故障檢測系統(tǒng)的零誤報(bào)率檢測閾值：

由于被檢測對(duì)象所處環(huán)境和狀態(tài)的不確定性，很難獲得準(zhǔn)確的未知擾動(dòng)的上確界。即使已知未知擾動(dòng)的上確界，設(shè)置Jth,FAR=0為檢測閾值，不可避免會(huì)帶來一定的故障漏報(bào)率。檢測系統(tǒng)的漏報(bào)率和故障的大小有很直接的關(guān)系，微小故障和早期故障的漏報(bào)率對(duì)閾值的選取比較敏感。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生微小故障時(shí)，適當(dāng)降低檢測閾值保守性會(huì)改善系統(tǒng)的檢測性能。設(shè)定合適閾值，使檢測系統(tǒng)的誤報(bào)率和漏報(bào)率性得到最優(yōu)權(quán)衡是一個(gè)設(shè)計(jì)難點(diǎn)。

2 故障檢測系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 殘差生成器設(shè)計(jì)

在殘差生成器設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)殘差向量r(k)=Vs[Hdsds(k)+Hfsfs(k)]且將等價(jià)矩陣Vs的求解過程轉(zhuǎn)化為性能指標(biāo)的最小化問題：

(5)

式中Ws為待設(shè)計(jì)等價(jià)矩陣，滿足Vs=WsNsbasis.性能指標(biāo)也相應(yīng)改寫為：

S=diag(σ1,…,σγ)。

根據(jù)2范數(shù)的定義：

由矩陣范數(shù)的相容條件

得到如下的引理。

2.2 隨機(jī)化算法與閾值選取

若擾動(dòng)d(k)不滿足白噪聲，但在有限時(shí)間內(nèi)l2范數(shù)存在上界，那么殘差評(píng)價(jià)量Js(k)必然存在上界Js(k)≤δ2。假設(shè)殘差評(píng)價(jià)量Js(k)的分布函數(shù)為FJs(k)(·)，顯然FJs(k)(δ2)=1。如何設(shè)計(jì)采樣復(fù)雜度M對(duì)δ2進(jìn)行估計(jì)，不僅影響估計(jì)結(jié)果的可信度，并且很大程度影響算法的工程可實(shí)現(xiàn)性。文獻(xiàn)[15]給出了一種估計(jì)分布極值取樣復(fù)雜度的計(jì)算方法。

設(shè)定檢測閾值為Jth,2=δ2，可以有效避免誤報(bào)的發(fā)生，但當(dāng)有微小故障發(fā)生時(shí)，故障的漏報(bào)率會(huì)顯著升高。顯然，此時(shí)選擇Jth,2=δ2為檢測閾值保守性是過強(qiáng)的。適當(dāng)降低閾值的保守性會(huì)改善故障漏報(bào)率高的問題，但是降低過多同樣會(huì)引起誤報(bào)率指標(biāo)的上行。如果能夠獲取當(dāng)前設(shè)定閾值的誤報(bào)率漏報(bào)率的準(zhǔn)確信息，將對(duì)閾值的最優(yōu)選取提供理論參考。文獻(xiàn)[15]給出了一種估計(jì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的隨機(jī)化算法。此方法可以應(yīng)用于對(duì)誤報(bào)率進(jìn)行估計(jì)。

引理3[15](Chernoff界引理)： 給定任意ε∈(0,1),δ∈(0,1),如果

證明：對(duì)于隨機(jī)變量序列x1,…，xN,由于

假定未知擾動(dòng)d(k)是各采樣點(diǎn)相互獨(dú)立的隨機(jī)過程向量，根據(jù)引理3的Chernoff界中采樣復(fù)雜度的計(jì)算方法，通過如下的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)估計(jì)無故障時(shí)相應(yīng)檢測閾值的誤報(bào)率。

步驟1在無故障時(shí)對(duì)殘差評(píng)價(jià)進(jìn)行M次獨(dú)立采樣Js(k),k=1,2,…，M。

步驟2選定待估計(jì)的系統(tǒng)閾值Jth,2。

步驟3做如下的次數(shù)統(tǒng)計(jì)：

步驟4計(jì)算系統(tǒng)閾值Jth,2的誤報(bào)率為：

利用Chernoff界計(jì)算不等式可以得到以下結(jié)論：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證以上方法的有效性，在MATLAB仿真環(huán)境下，以某固定翼無人機(jī)縱向飛行控制系統(tǒng)故障檢測仿真平臺(tái)為例進(jìn)行驗(yàn)證。無人機(jī)系統(tǒng)線性化模型[12-17]如下：

(6)

式中：

Ac=[

-0.0127.5230-9.80-0.0009-1.86561000.0035-10.97-0.33600001000-124.920124.920

Bc=[

-0.020 10.065-0.002 30-0.212 8-0.001 90000

考慮系統(tǒng)量測噪聲為互不相關(guān)的均值為0，方差為0.1的白噪聲。取采樣周期為0.01 s，將線性化后的無人機(jī)縱向系統(tǒng)模型離散化，得到無人機(jī)縱向離散化系統(tǒng)模型為

(7)

1)無人機(jī)執(zhí)行器故障

將無人機(jī)執(zhí)行器故障描述為如下的加性故障：

uf(k)=u(k)+f(k),kstart≤k≤kend。

式中：kstart為故障開始時(shí)間，kend為故障消失時(shí)間，u(k)為執(zhí)行器輸入指令，f(k)為執(zhí)行器故障信號(hào)，uf(k)為執(zhí)行器的實(shí)際輸出。則無人機(jī)縱向系統(tǒng)故障模型可以表示如下：

(8)

設(shè)定仿真時(shí)間為180 s，步長為0.01 s，利用上文提出的方法設(shè)計(jì)故障檢測系統(tǒng)，其中，等價(jià)階數(shù)設(shè)置為30。前100 s為無故障正常飛行狀態(tài)，在110 s和140 s，分別注入升降舵部分失效故障，分別為失效10%和失效8%。前100 s無故障飛行時(shí)，對(duì)殘差評(píng)價(jià)量JS(k)構(gòu)造如下的統(tǒng)計(jì)量：

利用以上統(tǒng)計(jì)量構(gòu)建如下的三個(gè)檢測閾值：

以Jth,1,Jth,2,Jth,3為檢測閾值，設(shè)計(jì)故障檢測系統(tǒng)，檢測結(jié)果如圖1所示。

圖1 升降舵部分失效故障檢測波形Fig.1 Waveforms of elevator partial failure fault detection

表1 執(zhí)行器故障系統(tǒng)閾值及其誤報(bào)率漏報(bào)率Tab.1 Threshold value of actuator fault dection system and its false alarm rate and missing alarm rate

2)無人機(jī)傳感器故障

將無人機(jī)傳感器故障描述為如下的加性故障：

yf(k)=y(k)+f(k),kstart≤k≤kend。

式中：kstart為故障開始時(shí)間，kend為故障消失時(shí)間，y(k)為輸出變量真實(shí)值，f(k)為傳感器故障信號(hào)，yf(k)為傳感器的實(shí)際輸出。則無人機(jī)縱向系統(tǒng)故障模型可以表示如下：

(9)

式中，F(xiàn)f為適當(dāng)維數(shù)的單位陣。

使用上文實(shí)驗(yàn)中故障檢測系統(tǒng)對(duì)飛行器傳感器故障進(jìn)行檢測。前100 s為無故障正常飛行狀態(tài)，在110 s和140 s，分別注入飛行高度傳感器增益故障，增益分別為2.0和1.8。檢測波形和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖2和表2所示。

對(duì)于無人機(jī)其他類型故障，如傳感器以及執(zhí)行器的偏差故障和卡死故障，均可以轉(zhuǎn)化為加性故障信號(hào)，本研究提出的方法同樣適用于以上類型的故障檢測。

圖2 飛行高度傳感器增益故障檢測波形Fig.2 Waveforms of flight altitude sensor gain fault detection

系統(tǒng)閾值Jth,1=1.510 7Jth,2=1.288 7Jth,3=1.424 9誤報(bào)率00.153 00.002 72.0增益故障漏報(bào)率0.442 00.030 00.167 51.8增益故障漏報(bào)率0.681 50.019 50.340 5

4 結(jié)論

本研究提出一種隨機(jī)化分析輔助的等價(jià)空間故障檢測方法的設(shè)計(jì)問題。應(yīng)用概率不等式的方法，通過蒙特卡洛模擬估計(jì)故障檢測性能指標(biāo)、誤報(bào)率和漏報(bào)率，并依據(jù)估計(jì)結(jié)果設(shè)定檢測閾值的方法。在保證誤報(bào)率指標(biāo)較低的條件下，應(yīng)用所提方法可以提高故障檢測系統(tǒng)對(duì)微小故障的故障檢測率。最后利用無人機(jī)縱向控制系統(tǒng)故障檢測模型對(duì)所提方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。