，，

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

近三十年，針對故障檢測與診斷技術研究的蓬勃發(fā)展，大量理論創(chuàng)新成果不斷被提出，研究框架也逐步完善[1-2]。故障檢測與診斷技術一般可為兩大類，基于系統(tǒng)模型的方法和不依賴系統(tǒng)模型的方法?；谀Ｐ偷墓收蠙z測與診斷技術通常包括殘差生成和殘差評價兩部分，其中經典方法有基于觀測器的方法[3-7]、基于等價空間的方法[8-11]和基于參數(shù)估計的方法。

等價空間方法利用有限時間窗內系統(tǒng)輸入與輸出(或部分輸出)之間的冗余關系構造殘差，可實現(xiàn)殘差與系統(tǒng)初始狀態(tài)解耦。眾多學者對等價空間方法進行了深入的研究，文獻[12]將小波變換與等價空間方法結合，利用小波變換的時頻局部化特性和快速算法，有效降低等價階數(shù)，實現(xiàn)對較寬頻率范圍內故障的檢測。文獻[13]針對線性離散時變系統(tǒng)計算量大的問題，將殘差評價函數(shù)的計算問題轉化為求解Krein空間投影問題，提出一種遞推的故障檢測快速算法，顯著降低運算量，提高了故障檢測系統(tǒng)實時性。文獻[14]應用KL散度聯(lián)合故障距離函數(shù)和故障方向函數(shù)設計故障可診斷性指標，研究了線性離散系統(tǒng)的可診斷性問題。

基于易于應用方面的考慮，設定一個保守型閾值可以使誤報率為零，從而避免錯誤報警的干擾。但發(fā)生微小故障(如在故障發(fā)生的初期)時，閾值過強的保守性會使故障檢測率大大下降。文獻[15]提出基于概率不等式方法的隨機化算法，能夠應用蒙特卡羅模擬對性能指標進行有效估計，運用此方法可以將檢測系統(tǒng)性能評估問題轉化為對一系列隨機實驗的隨機化分析問題。文獻[16]分析了應用主元分析窗口平滑和指數(shù)加權方法對檢測微小故障的檢測能力的提升效果，為閾值選取和提升故障檢測率提供了思路。

本研究以噪聲和擾動統(tǒng)計特性未知，但有限時間l2范數(shù)有界的系統(tǒng)為研究對象，研究隨機化分析輔助的等價空間故障檢測方法。為權衡誤報率和故障檢測率兩項性能指標，得到較高檢測效率，基于隨機化分析對誤報率和漏報率估計結果，給出了檢測閾值的選取方法。最后，以無人機縱向控制系統(tǒng)故障檢測平臺為例，驗證提出方法的有效性。

1 問題描述

考慮如下的線性離散系統(tǒng)

(1)

式中：x(k)∈Rn，u(k)∈Rp，y(k)∈Rq分別為狀態(tài)向量、輸入向量以及輸出向量；d(k)∈Rl代表未知干擾和其他故障；f(k)∈Rm表示待檢測的故障向量；A,B,C,D,Ed,Ef,Fd,Ff為相應維數(shù)的已知矩陣。

令

其中s為等價階數(shù)，可得

ys(k)=Hosx(k-s)+Husus(k)+Hdsds(k)+Hfsfs(k)。

其中

將Hfs中的{Ef,Ff}分別替換為{Ed,Fd}和{B,D}可得Hds和Hus。構造如下的殘差生成器

r(k)=Vs[ys(k)-Husus(k)]=Vs[Hdsds(k)+Hfsfs(k)]。

(2)

其中：r(k)為殘差向量；Vs∈Rγ×s·m為待設計的等價矩陣，且滿足VsHos=0；γ為等價空間Ρs(Hos的左零空間)的維數(shù)。

殘差對未知擾動的魯棒性和對故障的敏感度分別定義為：

(3)

則殘差產生器的設計問題可以轉化為如下的最小化問題：

(4)

由式(4)求得殘差評價量以后，依據(jù)未知干擾的類型(統(tǒng)計特性已知，如白噪聲；或有限時間內范數(shù)有界)，選擇適當?shù)拈撝礘th，并基于如下邏輯判斷故障的發(fā)生：

如果未知擾動在有限時間內能量有上確界，則利用未知擾動的上確界可以確定故障檢測系統(tǒng)的零誤報率檢測閾值：

由于被檢測對象所處環(huán)境和狀態(tài)的不確定性，很難獲得準確的未知擾動的上確界。即使已知未知擾動的上確界，設置Jth,FAR=0為檢測閾值，不可避免會帶來一定的故障漏報率。檢測系統(tǒng)的漏報率和故障的大小有很直接的關系，微小故障和早期故障的漏報率對閾值的選取比較敏感。當系統(tǒng)發(fā)生微小故障時，適當降低檢測閾值保守性會改善系統(tǒng)的檢測性能。設定合適閾值，使檢測系統(tǒng)的誤報率和漏報率性得到最優(yōu)權衡是一個設計難點。

2 故障檢測系統(tǒng)設計

2.1 殘差生成器設計

在殘差生成器設計時，設計殘差向量r(k)=Vs[Hdsds(k)+Hfsfs(k)]且將等價矩陣Vs的求解過程轉化為性能指標的最小化問題：

(5)

式中Ws為待設計等價矩陣，滿足Vs=WsNsbasis.性能指標也相應改寫為：

S=diag(σ1,…,σγ)。

根據(jù)2范數(shù)的定義：

由矩陣范數(shù)的相容條件

得到如下的引理。

2.2 隨機化算法與閾值選取

若擾動d(k)不滿足白噪聲，但在有限時間內l2范數(shù)存在上界，那么殘差評價量Js(k)必然存在上界Js(k)≤δ2。假設殘差評價量Js(k)的分布函數(shù)為FJs(k)(·)，顯然FJs(k)(δ2)=1。如何設計采樣復雜度M對δ2進行估計，不僅影響估計結果的可信度，并且很大程度影響算法的工程可實現(xiàn)性。文獻[15]給出了一種估計分布極值取樣復雜度的計算方法。

設定檢測閾值為Jth,2=δ2，可以有效避免誤報的發(fā)生，但當有微小故障發(fā)生時，故障的漏報率會顯著升高。顯然，此時選擇Jth,2=δ2為檢測閾值保守性是過強的。適當降低閾值的保守性會改善故障漏報率高的問題，但是降低過多同樣會引起誤報率指標的上行。如果能夠獲取當前設定閾值的誤報率漏報率的準確信息，將對閾值的最優(yōu)選取提供理論參考。文獻[15]給出了一種估計系統(tǒng)性能指標的隨機化算法。此方法可以應用于對誤報率進行估計。

引理3[15](Chernoff界引理)： 給定任意ε∈(0,1),δ∈(0,1),如果

證明：對于隨機變量序列x1,…，xN,由于

假定未知擾動d(k)是各采樣點相互獨立的隨機過程向量，根據(jù)引理3的Chernoff界中采樣復雜度的計算方法，通過如下的統(tǒng)計試驗估計無故障時相應檢測閾值的誤報率。

步驟1在無故障時對殘差評價進行M次獨立采樣Js(k),k=1,2,…，M。

步驟2選定待估計的系統(tǒng)閾值Jth,2。

步驟3做如下的次數(shù)統(tǒng)計：

步驟4計算系統(tǒng)閾值Jth,2的誤報率為：

利用Chernoff界計算不等式可以得到以下結論：

3 仿真實驗

為驗證以上方法的有效性，在MATLAB仿真環(huán)境下，以某固定翼無人機縱向飛行控制系統(tǒng)故障檢測仿真平臺為例進行驗證。無人機系統(tǒng)線性化模型[12-17]如下：

(6)

式中：

Ac=[

-0.0127.5230-9.80-0.0009-1.86561000.0035-10.97-0.33600001000-124.920124.920

Bc=[

-0.020 10.065-0.002 30-0.212 8-0.001 90000

考慮系統(tǒng)量測噪聲為互不相關的均值為0，方差為0.1的白噪聲。取采樣周期為0.01 s，將線性化后的無人機縱向系統(tǒng)模型離散化，得到無人機縱向離散化系統(tǒng)模型為

(7)

1)無人機執(zhí)行器故障

將無人機執(zhí)行器故障描述為如下的加性故障：

uf(k)=u(k)+f(k),kstart≤k≤kend。

式中：kstart為故障開始時間，kend為故障消失時間，u(k)為執(zhí)行器輸入指令，f(k)為執(zhí)行器故障信號，uf(k)為執(zhí)行器的實際輸出。則無人機縱向系統(tǒng)故障模型可以表示如下：

(8)

設定仿真時間為180 s，步長為0.01 s，利用上文提出的方法設計故障檢測系統(tǒng)，其中，等價階數(shù)設置為30。前100 s為無故障正常飛行狀態(tài)，在110 s和140 s，分別注入升降舵部分失效故障，分別為失效10%和失效8%。前100 s無故障飛行時，對殘差評價量JS(k)構造如下的統(tǒng)計量：

利用以上統(tǒng)計量構建如下的三個檢測閾值：

以Jth,1,Jth,2,Jth,3為檢測閾值，設計故障檢測系統(tǒng)，檢測結果如圖1所示。

圖1 升降舵部分失效故障檢測波形Fig.1 Waveforms of elevator partial failure fault detection

表1 執(zhí)行器故障系統(tǒng)閾值及其誤報率漏報率Tab.1 Threshold value of actuator fault dection system and its false alarm rate and missing alarm rate

2)無人機傳感器故障

將無人機傳感器故障描述為如下的加性故障：

yf(k)=y(k)+f(k),kstart≤k≤kend。

式中：kstart為故障開始時間，kend為故障消失時間，y(k)為輸出變量真實值，f(k)為傳感器故障信號，yf(k)為傳感器的實際輸出。則無人機縱向系統(tǒng)故障模型可以表示如下：

(9)

式中，F(xiàn)f為適當維數(shù)的單位陣。

使用上文實驗中故障檢測系統(tǒng)對飛行器傳感器故障進行檢測。前100 s為無故障正常飛行狀態(tài)，在110 s和140 s，分別注入飛行高度傳感器增益故障，增益分別為2.0和1.8。檢測波形和實驗結果分別如圖2和表2所示。

對于無人機其他類型故障，如傳感器以及執(zhí)行器的偏差故障和卡死故障，均可以轉化為加性故障信號，本研究提出的方法同樣適用于以上類型的故障檢測。

圖2 飛行高度傳感器增益故障檢測波形Fig.2 Waveforms of flight altitude sensor gain fault detection

系統(tǒng)閾值Jth,1=1.510 7Jth,2=1.288 7Jth,3=1.424 9誤報率00.153 00.002 72.0增益故障漏報率0.442 00.030 00.167 51.8增益故障漏報率0.681 50.019 50.340 5

4 結論

本研究提出一種隨機化分析輔助的等價空間故障檢測方法的設計問題。應用概率不等式的方法，通過蒙特卡洛模擬估計故障檢測性能指標、誤報率和漏報率，并依據(jù)估計結果設定檢測閾值的方法。在保證誤報率指標較低的條件下，應用所提方法可以提高故障檢測系統(tǒng)對微小故障的故障檢測率。最后利用無人機縱向控制系統(tǒng)故障檢測模型對所提方法進行了仿真驗證。