張 潔，盧劍偉，王翔宇，李海波

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，合肥 230009；2.江淮汽車股份有限公司 技術(shù)中心，合肥 230601）

鋼板彈簧是汽車懸架中常見的彈性元件，由于其結(jié)構(gòu)簡單，成本較低，被廣泛應(yīng)用于載貨汽車和部分采用非獨(dú)立懸架的客車上[1]。鋼板彈簧主要分為普通多片鋼板彈簧、變截面鋼板彈簧、兩級變剛度鋼板彈簧和兩級變剛度復(fù)式鋼板彈簧等[2]。同等質(zhì)量下，變截面鋼板彈簧能夠儲存更多的彈性勢能，從而節(jié)省材料，使用更為廣泛[3]。

為了研究變截面鋼板彈簧的彎曲應(yīng)力分布并預(yù)測其疲勞壽命，將有限元方法廣泛用于鋼板彈簧的分析和設(shè)計(jì)優(yōu)化中[2-5]。在不同的載荷工況下，簧片的幾何特征可能會發(fā)生較大變化，其應(yīng)力分布也將改變。而且，結(jié)構(gòu)參數(shù)對應(yīng)力分布和疲勞壽命有很大影響，設(shè)計(jì)者要反復(fù)改變結(jié)構(gòu)參數(shù)并建立有限元模型從中尋找最優(yōu)簧片參數(shù)值，模型建立和計(jì)算的工作量大從而延長了研發(fā)周期[3,6]。因此，提出簡化計(jì)算模型對于研究變截面鋼板彈簧的彎曲應(yīng)力分布和預(yù)測其疲勞壽命具有重要意義。

本文在前期研究的基礎(chǔ)上提出一種簡化的計(jì)算方法，可以較為便捷地計(jì)算分析變截面鋼板彈簧彎曲應(yīng)力的分布情況，并分別以彎曲簧片和平直簧片在不同載荷工況下的彎曲應(yīng)力分析為例，通過算例對該計(jì)算分析方法進(jìn)行了對比驗(yàn)證。結(jié)合Goodman直線修正公式和鋼板彈簧材料的P-S-N曲線繪制出不同交變力下的疲勞壽命等值線圖。通過算例驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性，且提出的計(jì)算分析方法精度較高、計(jì)算快速便捷，充分滿足了工程應(yīng)用的要求，相關(guān)研究方法有助于縮短變截面鋼板彈簧的設(shè)計(jì)研發(fā)周期。

1 考慮變截面鋼板彈簧彎曲時的應(yīng)力分布

變截面鋼板彈簧初始彎曲時所承受的均布載荷如圖1所示，其中簧片中部板簧座承受U型螺栓夾緊力。本文將U型螺栓承受的力簡化為均布載荷和集中載荷兩種情況，基于Timoshenko梁理論計(jì)算沿簧片長度方向的彎曲應(yīng)力分布。其中簧片兩端卷耳處鉸接可沿水平方向自由運(yùn)動，簧片中間受到U型螺栓夾緊后等效載荷。鋼板彈簧詳細(xì)數(shù)據(jù)見表1。

表1 鋼板彈簧參數(shù)表 mm

假設(shè)梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)只作用大小相等、轉(zhuǎn)向相反的一對力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲變形，此時梁的橫截面上只有彎矩，所以只存在與彎矩相關(guān)的正應(yīng)力[7]。為了簡化模型，忽略梁的剪切應(yīng)力，只考慮與彎矩相關(guān)的彎曲正應(yīng)力。

圖1 變截面鋼板彈簧初始彎曲時承受的均布載荷

如圖1所示，簧片弧高為H，簧片總長為L，U型螺栓夾緊區(qū)域?yàn)檗D(zhuǎn)角?α1至+α1且受到均布載荷q的壓力。因簧片為對稱結(jié)構(gòu)，取圖中對稱結(jié)構(gòu)右側(cè)區(qū)域，當(dāng)0＜?α1＜?α1時（圖2），簧片截面厚度h為定值；當(dāng)?α1＜?α1＜?α13時，簧片截面厚度h為變量，即簧片出現(xiàn)變截面性質(zhì)；當(dāng)?α13＜?α1＜?α14時，簧片截面厚度h為定值。

圖2 鋼板彈簧截面示意圖

由材料力學(xué)可知，截面處的彎曲正應(yīng)力為：

式中：M(x)為橫截面上的彎矩；W為抗彎截面系數(shù)，與截面的幾何形狀有關(guān)。簧片為左右對稱結(jié)構(gòu)，現(xiàn)分別計(jì)算當(dāng)?α4＜α＜??α14時，簧片所受到的剪力Fs。

當(dāng)?α4＜α＜?α1時，

當(dāng)?α1＜α＜??α1時，

當(dāng)?α1＜?α1＜?α14時，

因?yàn)椋?/p>

所以，當(dāng)?α4＜α ＜?α1時，

當(dāng)?α1＜α ＜?α1時，

當(dāng)?α1＜?α1＜?α14時，

由于該鋼板彈簧的變截面性質(zhì)，當(dāng)α ∈ (? α4,?α3)∪(α3,α4)時，矩形截面的高度h(α ) =tmin； 當(dāng)α∈(? α1,α1)時，h(α ) =tmax。其它區(qū)域鋼板彈簧截面高度可以利用多項(xiàng)式擬合得出，方法不再贅述。由此得到鋼板彈簧隨轉(zhuǎn)角α變化時的彎曲正應(yīng)力分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

取0＜α＜ α14的板簧右側(cè)二分之一模型為例。

當(dāng)0＜α ＜ α1時，

當(dāng)α1＜α ＜α2時，

當(dāng)α2＜α ＜α3時，

當(dāng)α3＜α＜α4時，

簧片左側(cè)區(qū)域彎曲應(yīng)力分布與上述求解方法一致。至此，彎曲簧片受到均布載荷夾緊力的彎曲應(yīng)力分布數(shù)學(xué)表達(dá)式已建立。同理，當(dāng)U型螺栓夾緊簧片時，假設(shè)簧片承受集中力P，作用點(diǎn)為板簧座中部。按上述方法，同樣可以得到隨轉(zhuǎn)角α變化時簧片彎曲正應(yīng)力的表達(dá)式。不同于簧片承受均布載荷，當(dāng)?α1＜α＜?α1時，彎矩值與上述模型不同。

當(dāng) ?α1＜ α1＜ 0時，

當(dāng)0＜α＜ α1時，

所以，當(dāng)?α1＜α＜0時，

當(dāng)0＜α＜ α1時，

其它區(qū)域彎曲應(yīng)力表達(dá)式與簧片承受均布載荷時一致。

2 考慮變截面鋼板彈簧平直時的應(yīng)力分布

鋼板彈簧在制造過程中常被加工成彎曲梁形式，受到外載時，板簧由于形變會導(dǎo)致初始弧高發(fā)生變化[1]?，F(xiàn)建立平直鋼板彈簧及其板簧座處承受均布載荷時的計(jì)算模型，以探究簧片初始平直時的彎曲應(yīng)力分布情況。變截面鋼板彈簧平直時承受的均布載荷力如圖3所示。由于該簧片的變截面特性，所以將簧片沿長度變化方向分為數(shù)段，便于研究其彎曲應(yīng)力分布。與上述求解初始彎曲時的方法相同，經(jīng)理論推導(dǎo)可知該簧片不同位置處的彎矩值和應(yīng)力分布。

當(dāng)0＜x＜l3時，

當(dāng)l3＜x＜l4時，

當(dāng)l4＜x＜L時，

圖3 變截面鋼板彈簧平直時承受均布載荷力

同理，由于每段板簧的截面高度不同，所以每段彎曲應(yīng)力由分段給出。

當(dāng)0＜x＜l1時，

當(dāng)l1＜x＜l2時，

當(dāng)l2＜x＜l3時，

當(dāng)l3＜x＜l4時，

當(dāng)l4＜x＜l5時，

當(dāng)l5＜x＜l6時，

當(dāng)l6＜x＜L時，

3 變截面鋼板彈簧有限元仿真與模型驗(yàn)證

將上述建立的計(jì)算分析模型與有限元模型結(jié)果進(jìn)行對比。由供應(yīng)商處獲得鋼板彈簧的材料性質(zhì)參數(shù)，具體值見表2。

表2 鋼板彈簧的材料性質(zhì)參數(shù)

有限元模型的約束采用兩端卷耳可沿水平方向自由移動的方式。網(wǎng)格為六面體，網(wǎng)格尺寸為5 mm。在ANSYS軟件中建立有限元模型，并通過板簧座施加U型螺栓均勻分布的夾緊力P，求解鋼板彈簧彎曲主應(yīng)力，其結(jié)果如圖4所示。

圖4 變截面鋼板彈簧的有限元彎曲應(yīng)力結(jié)果

在Matlab中依次繪制出上述計(jì)算分析模型和有限元模型的彎曲應(yīng)力值，如圖5所示。

圖5 計(jì)算模型和有限元模型的彎曲應(yīng)力值

由圖5可知，簧片承受的均布載荷顯著降低了板簧座應(yīng)力集中現(xiàn)象處的應(yīng)力峰值。四種結(jié)果都表明，在距卷耳約230 mm、630 mm和645 mm處均出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，經(jīng)查證，該處同為簧片的變截面過渡區(qū)域。為了降低應(yīng)力集中處的應(yīng)力峰值，簧片的設(shè)計(jì)加工應(yīng)為較平緩的截面過渡，這與實(shí)際情況吻合。

分別將建立的各個數(shù)學(xué)公式模型應(yīng)力結(jié)果與有限元模型應(yīng)力結(jié)果進(jìn)行對比（表3～5）。

表3 有限元與彎曲簧片均布載荷應(yīng)力值對比

表4 有限元與彎曲簧片集中載荷應(yīng)力值對比

表5 有限元與平直簧片均布載荷的應(yīng)力值對比

由表可知，建立的數(shù)學(xué)表達(dá)式求解彎曲簧片均布載荷的應(yīng)力值和有限元應(yīng)力值相對誤差較小，其中，在距卷耳100 mm處，兩者相對誤差為-2.24%，在距230 mm、500 mm和645 mm處的相對誤差分別為-1.19%、-0.63%和0.84%，而且兩者在應(yīng)力集中處的結(jié)果也十分接近。因此，建立的計(jì)算分析模型可代替該簧片的有限元模型并用于后續(xù)分析。

彎曲簧片受到等效集中力在距卷耳645 mm處（此處為應(yīng)力集中點(diǎn)）的相對誤差為2.13%，整體應(yīng)力分布有明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，精度稍遜于均布載荷工況下的彎曲簧片。

對比發(fā)現(xiàn)簧片平直狀態(tài)下的整體應(yīng)力分布值顯著高于簧片彎曲狀態(tài)下的應(yīng)力值，這也間接表明彎曲情況下的鋼板彈簧有較好的儲存彈性勢能的能力[3]。在設(shè)計(jì)初始應(yīng)考慮自由狀態(tài)下弧高對彎曲應(yīng)力分布的影響。因此，通過改變模型中弧高數(shù)據(jù)，可快速得到簧片中任意一點(diǎn)應(yīng)力值的變化。距一端卷耳230 mm、630 mm和645 mm處的應(yīng)力值隨弧高變化情況如圖6所示。

圖6 10 000 N載荷下應(yīng)力值與弧高變化情況

由圖6可知，不同點(diǎn)的應(yīng)力值與弧高有明顯非線性關(guān)系，當(dāng)弧高變大時應(yīng)力值逐漸變小。

4 鋼板彈簧疲勞可靠性分析與等壽命圖繪制

由于疲勞壽命本身具有統(tǒng)計(jì)意義，所以根據(jù)材料在不同存活率下的S-N 曲線來估算零件在此存活率下的使用壽命[8]。該簧片采用的材料是60Si2Mn，根據(jù)該材料的 P-S-N 試驗(yàn)曲線，以雙對數(shù)線性函數(shù)擬合如下：

式中：P為存活率；σ為對稱應(yīng)力幅；Np為在此應(yīng)力水平作用下存活率為p時的疲勞壽命；ap、bp為擬合參數(shù)。各存活率下具體參數(shù)見表6[9]。

表6 不同存活率下S-N曲線擬合參數(shù)

材料的S-N曲線是基于均值為0的載荷確定的，平均應(yīng)力對疲勞損傷計(jì)算結(jié)果有較大的影響。本文采用工程中應(yīng)用較為廣泛的Goodman直線修正法進(jìn)行修正計(jì)算[10]。

由圖5可知，不同模型均表明簧片在距卷耳230 mm、630 mm、645 mm處時有明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象?，F(xiàn)取3處有應(yīng)力集中現(xiàn)象的點(diǎn)，再加上板簧座中心（該處距卷耳725 mm）共4處疲勞熱點(diǎn)，預(yù)測其疲勞壽命。

根據(jù)Goodman直線修正公式和鋼板彈簧材料的P-S-N曲線得出某一循環(huán)次數(shù)下的應(yīng)力均值和幅值，再根據(jù)上文建立的計(jì)算分析模型中載荷與應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系，得出4處疲勞熱點(diǎn)在某一應(yīng)力下的載荷均值和幅值響應(yīng)。由此得出當(dāng)存活率為50%、循環(huán)50萬次的疲勞壽命，如圖7所示。

經(jīng)核算，距卷耳630 mm、承受相等交變力時的疲勞壽命是4處疲勞熱點(diǎn)中的相對最低點(diǎn)。以該點(diǎn)為疲勞熱點(diǎn)，當(dāng)存活率為90%和50%時，得出該簧片在不同循環(huán)次數(shù)下的等壽命曲線圖，如圖8和圖9所示。

圖7 四處疲勞熱點(diǎn)在50%存活率下50萬次循環(huán)壽命圖

圖8 90%存活率下的鋼板彈簧等壽命曲線

圖9 50%存活率下的鋼板彈簧等壽命曲線

同理，可得出當(dāng)循環(huán)次數(shù)為20萬次時不同存活率下的鋼板彈簧壽命曲線，如圖10所示。

在有限元軟件ANSYS中建立疲勞分析模型，以驗(yàn)證上述等壽命曲線的正確性。在部分載荷均值和幅值的加載下，計(jì)算距卷耳630 mm處的循環(huán)次數(shù)，并與等壽命曲線圖結(jié)果對比，見表7。

圖10 20萬次循環(huán)不同存活率下的鋼板彈簧等壽命曲線

表7 等壽命曲線圖循環(huán)次數(shù)與有限元壽命循環(huán)次數(shù)對比

由表7可知，等壽命曲線圖得到的循環(huán)次數(shù)比有限元計(jì)算結(jié)果略小。原因是前文推導(dǎo)的彎曲應(yīng)力公式計(jì)算值比有限元計(jì)算結(jié)果小，因此由式（27）和Goodman直線修正公式計(jì)算得出的循環(huán)次數(shù)比有限元計(jì)算結(jié)果偏小。有限元計(jì)算結(jié)果也表明整個簧片最低壽命點(diǎn)為距卷耳630 mm的變截面處，這與前文分析吻合。從本次的對比結(jié)果可知，等壽命曲線圖和有限元分析的誤差約在10%左右，表明等壽命曲線圖結(jié)果偏于保守，這也進(jìn)一步證明了等壽命曲線圖的合理性和準(zhǔn)確性，由此可見計(jì)算分析模型可滿足工程應(yīng)用精度要求并大幅降低計(jì)算時間。

5 結(jié)論

本文建立變截面鋼板彈簧計(jì)算模型求解彎曲簧片和平直簧片在不同載荷工況下的彎曲應(yīng)力，并與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對比。根據(jù)疲勞壽命準(zhǔn)則和建立的計(jì)算分析模型，繪制出該鋼板彈簧的疲勞壽命等值線圖，可以得到以下結(jié)論：

（1）提出了一種適用于變截面鋼板彈簧的等疲勞壽命分析方法，并給出了具體流程，算例與計(jì)算結(jié)果表明該方法精度較高。該疲勞壽命分析方法既能正確反映鋼板彈簧的疲勞性能，又能大幅度降低計(jì)算時間、縮短設(shè)計(jì)周期，是類似零部件可靠性分析的有效手段。

（2）建立精度滿足要求的變截面鋼板彈簧彎曲應(yīng)力計(jì)算分析模型，利用此模型可精確獲得鋼板彈簧任意點(diǎn)的應(yīng)力與簧片結(jié)構(gòu)參數(shù)、應(yīng)力與載荷之間的對應(yīng)關(guān)系。

（3）利用P-S-N曲線進(jìn)行疲勞分析，得到鋼板彈簧等壽命圖，獲取在給定載荷工況下的簧片循環(huán)次數(shù)，相關(guān)結(jié)論可為臺架試驗(yàn)提供理論基礎(chǔ)。