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        一題多向探究 高效提升能力

        2019-04-04 03:42:36許銀伙
        數(shù)理化解題研究 2019年10期
        關(guān)鍵詞:換元最值導(dǎo)數(shù)

        許銀伙

        (福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000)

        一、例題

        圖1

        二、解法與分析

        由已知得:△ABC?△AB1C1,∴B1C1=6,AB1=2AC1,設(shè)AC1=b,則AB1=2b.

        分析一求△AB1C1邊B1C1的高h(yuǎn)的問(wèn)題,可以聯(lián)系△AB1C1的面積公式,因此引入兩邊的夾角作為函數(shù)的變量,探求高h(yuǎn)與引入變量的函數(shù)式,利用函數(shù)知識(shí)解決.

        評(píng)注1. 針對(duì)12sinθ+4hcosθ=5h,引入輔助角利用化一公式,即逆用兩角和或差的正余弦函數(shù)公式解決,是求三角函數(shù)最值的常用方法.2.求最值一定要驗(yàn)證最值可以取得.3.本題解答也可以利用△ABC?△AB1C1化為求△ABC邊BC的高.

        分析二方法一針對(duì)12sinθ+4hcosθ=5h,考慮到 cos2θ+sin2θ=1,也可以通過(guò)換元,轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解決.

        方法二(接方法一)令u=cosθ,v=sinθ,得u2+v2=1且12v+4hu=5h,

        評(píng)注1.換元后應(yīng)注意新變量的取值范圍,利用不等式獲得最值必須驗(yàn)證取等號(hào).

        2.轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,應(yīng)充分利用幾何性質(zhì),以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

        分析三針對(duì)12sinθ+4hcosθ=5h,還可以考慮運(yùn)用三角函數(shù)的萬(wàn)能公式進(jìn)行換元,把三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題解決.

        評(píng)注本方法通過(guò)換元,化三角問(wèn)題為代數(shù)的函數(shù)問(wèn)題,利用基本不等式解決.

        分析四針對(duì)分式函數(shù),分子分母最高次數(shù)是兩次的整式,除了利用基本不等式求最值,還可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程有解的條件解決.

        評(píng)注利用一元二次方程的判別式大于或等于0求最值或值域是常用方法,不可忽略.

        分析五在實(shí)際問(wèn)題中,所得變量往往需要限制范圍,把方程解的范圍先納入解答的思考中,即可獲得更加有深度的解答.

        評(píng)注本方法與上一種方法類似,只是研究得更深入一些,思維層次更高一些,關(guān)注到方程解的范圍,在利用方程求參數(shù)范圍時(shí)一定要這樣思考.

        分析六導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)最值的常用工具,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以很方便獲得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出極值和最值.

        評(píng)注本方法由導(dǎo)數(shù)推得函數(shù)的單調(diào)性,是比較容易想到的思路,但運(yùn)算量較大,且需要用到三角函數(shù)的單調(diào)性,還是有一定難度的.

        分析七建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,通過(guò)幾何條件,可以獲得動(dòng)點(diǎn)的軌跡情況,從而直觀地求出最值.

        圖2

        化簡(jiǎn)得:(x-5)2+y2=16,所以點(diǎn)A在以點(diǎn)M(5,0)為圓心,4為半徑的圓上(去除與x軸的交點(diǎn)).因?yàn)閳A心M(5,0)在直線B1C1上,所以點(diǎn)A到直線B1C1距離最大值是圓的半徑4,即得所求最大值為4.

        評(píng)注由動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比是不等于1的非零常數(shù),其軌跡是阿波羅尼斯圓,通過(guò)建立坐標(biāo)系,利用圓的性質(zhì)可以快速且直觀地解決問(wèn)題.

        數(shù)學(xué)知識(shí)并不是孤立存在,它們相互聯(lián)系,相互促進(jìn),因此數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決可以從不同的角度,用不同的知識(shí)加以分析,加以探究,從而尋找出精彩各異解決方法.但因?yàn)閷?duì)已知條件和問(wèn)題本質(zhì)的把握深度不同,解答的簡(jiǎn)繁程度也會(huì)有較大差異,經(jīng)常對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多方探究,無(wú)疑是自我磨練,提高數(shù)學(xué)能力的秘訣.

        同類練習(xí)

        1.(2018廈門第二次質(zhì)檢)等邊△ABC邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在其外接圓劣弧AB上,則S△PAB+S△PBC的最大值為_(kāi)___.

        2.(2018福建省備考指導(dǎo)適應(yīng)性3)△ABC中,D為BC邊上的點(diǎn),滿足AB=2AC,BD=2DC,△ABD的面積為2,則BC的最小值是____

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