馬俊美, 卓金武, 張 建, 陳 淥

(1.上海財經(jīng)大學 數(shù)學學院，上海 200433； 2.上海市金融信息技術(shù)研究重點實驗室，上海 200433； 3.應用數(shù)學福建省高校重點實驗室(莆田學院)，福建 莆田 351100；4.上海財經(jīng)大學 信息管理與工程學院，上海 200433)

波動率是金融資產(chǎn)最重要的特征之一，特別是在定價中起決定因素.波動率通常定義為標的資產(chǎn)投資回報率的標準差，通常用來度量標的資產(chǎn)的風險或者不確定性.經(jīng)典的Black-Scholes模型假設(shè)波動率是常數(shù)，這與實際金融市場得到的數(shù)據(jù)不一致.金融實證研究表明：波動率最顯著的一個特點就是具有“微笑”或者偏斜的曲線[1].此外，除了具有“微笑”曲線外，人們還發(fā)現(xiàn)波動率具有集聚性與時變性，分布呈尖峰厚尾性，還具有杠桿效應、日歷效益效應等特性[2].針對市場波動率的這些特性，研究者們提出了一系列隨機波動率模型來改進Black-Scholes模型，期望更好地刻畫隨機波動率特征.估量波動性的模型在過去的半個世紀里成為計量經(jīng)濟學和實證金融學中較為活躍的研究領(lǐng)域之一.概括起來主流的隨機波動率模型主要有兩類，一類是連續(xù)時間的隨機波動率模型(SV模型)，一類是離散時間的隨機波動率模型(GARCH模型).這兩類模型被認為是最集中反映全球金融數(shù)據(jù)時間序列方差波動特點的模型，也是研究現(xiàn)代經(jīng)濟計量學的一個重點.在金融實務操作中，交易都是離散進行的，GARCH模型描述離散時間經(jīng)濟情形，更能反映實務中股票價格運行的實際情況.

GARCH模型是將波動率視為過去信息集的函數(shù)，是Bollerslev[3]在Engle[4]在ARCH模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.GARCH模型考慮了擾動項的滯后值和擾動項條件方差的滯后值，克服了ARCH模型無法反映波動率的持續(xù)性以及不能保證參數(shù)非負的缺點，被廣泛用于描述金融市場上資產(chǎn)收益的波動變化.1987年，Bollerslev在考慮分布有偏和放寬假設(shè)的前提下，使用t分布代替正態(tài)分布描述時間序列的偏度和峰度問題，建立了AGARCH模型[4].基于這些研究，考慮到該模型的應用性和擴展性，此后20多年，許多學者針對不同問題構(gòu)建出多種變形模型，構(gòu)成GARCH族模型，使條件異方差結(jié)構(gòu)得到完善的詮釋.例如，Robert等為解決高風險高收益問題，將風險加入收益方程，建立了MGARCH模型[5].針對沖擊非對稱效應，Nelson提出了指數(shù)模型EGARCH[6], Zakoian提出了門限模型TGARCH[7].大量實證證明GARCH模型對金融時間序列有較好的描述，它充分體現(xiàn)了金融數(shù)據(jù)的特征，這些GARCH族模型的應用與實證領(lǐng)域雙向作用，使得模型在分析波動性和表征宏觀、金融高頻數(shù)據(jù)等方面體現(xiàn)出巨大的價值和意義.

GARCH模型描述的是離散時間經(jīng)濟情形，在進行產(chǎn)品定價研究時，不能象連續(xù)時間經(jīng)濟情形那樣，可以建立期權(quán)價格滿足的偏微分方程，所以，Monte Carlo模擬方法被普遍用來解決GARCH模型下金融產(chǎn)品的計算問題.Duan等[8]在1995年第一次提出了一個在GARCH模型框架下歐式期權(quán)定價的完整理論，運用均衡定價原理證明了當投資者的效用函數(shù)滿足一定的條件時，就存在一個滿足局部風險中性定價關(guān)系的概率測度Q，用傳統(tǒng)的Monte Carlo模擬算法計算了GARCH模型歐式期權(quán)的定價問題[8-9]；邵斌和丁娟研究了GARCH模型下美式亞式期權(quán)價值的Monte Carlo模擬算法，在Longstaff等的美式期權(quán)定價的最小二乘算法的基礎(chǔ)上，開發(fā)了GARCH模型下美式亞式期權(quán)定價的最小二乘模擬算法[10].

波動率衍生產(chǎn)品是一類基于波動率遠期水平的特殊金融衍生品，主要代表是方差互換.波動率衍生產(chǎn)品是在1998年經(jīng)濟危機之后順時而出的產(chǎn)品，它代表了一種新的交易思路——交易波動率，是現(xiàn)今金融工程的熱門方向，也是研究的前沿，它的出現(xiàn)為國際資本市場的拓展和融資技術(shù)的創(chuàng)新帶來了巨大的變化，衍生出了方差和波動率互換市場.1998年，市場開始出現(xiàn)股票指數(shù)波動率互換和波動率變動互換的交易；同年，德國出現(xiàn)了波動率指數(shù)期貨的交易；2001年，基于Nasdaq-100期權(quán)的納斯達克波動率指數(shù)(VXN)波動率指數(shù)被開發(fā)出來；2003年，基于SP500期權(quán)的新VIX波動率指數(shù)被開發(fā)出來；2004年，VIX波動率指數(shù)期貨與波動率指數(shù)變動期貨開始交易；2008年，VIX波動率指數(shù)期權(quán)開始交易.交易波動率除了將不同市場連接起來，同時對于整個資本市場也存在重大的意義，這代表了一種新的研究方向.國內(nèi)，目前關(guān)于波動率衍生產(chǎn)品的關(guān)注度也越來越高，上海期貨所和上海紐約大學就波動率衍生產(chǎn)品的運用與交易策略已展開多次高層論壇，上海紐約大學專門成立波動研究所(V-Lab)，通過對各類金融資產(chǎn)的波動性、相關(guān)度及其他風險維度的實時度量、建模和預測，為學界、業(yè)界及監(jiān)管和決策部門提供實時的市場動態(tài)資訊及分析，為日后波動率產(chǎn)品的推行做準備.所以，關(guān)于波動率及波動率產(chǎn)品的定價和風險管理研究有著重要的現(xiàn)實意義.

方差互換是一種合約，且是期限較長的.買方取得的利潤取決于實際資產(chǎn)指數(shù)波動率減去敲定波動率，以上各項均應該在與簽訂方的合約中有限制，包括限定期限等.在合約到期時簽訂方的償付額為名義本金與此差值的乘積，即

P=M·(σ2-K2)

式中：M是名義本金；σ2是事實資產(chǎn)指數(shù)的方差；K2是方差互換中的敲定方差.

關(guān)于波動率衍生產(chǎn)品的定價研究，前人研究思路主要有2個方面: 一個方面是在著重刻畫產(chǎn)品的性質(zhì)特征上，如文獻[11-12]，以期權(quán)定價理論為基礎(chǔ)，通過一系列標準期權(quán)的組合來復制相應的互換[11-12].另一方面是在某些特殊條件下，研究產(chǎn)品價格的半解析解，如文獻[13-15]，但求半解析解的過程亦是一復雜的數(shù)值過程.Ma等[16]使用Monte Carlo技術(shù)研究了連續(xù)型Hull-White隨機波動率模型下波動率衍生產(chǎn)品的定價問題.

本文著重研究GARCH隨機波動率模型下金融衍生產(chǎn)品的加速模擬定價問題，并以方差衍生產(chǎn)品的定價問題為例.

1 Monte Carlo方法及控制變量技術(shù)

由中心極限定理，可以得到估計值的誤差為

假設(shè)每次仿真的過程中都存在另一個隨機變量X，形成一對獨立同分布的隨機變量(Xj,Vj)，且Xj的期望E(X)是已知的，則對任意確定的常數(shù)b，第j次重復試驗的結(jié)果為

Vj(b)=Vj-b[Xj-E(X)]

那么m次模擬之后，期權(quán)價格的控制變量估計值為

Var(Vj(b))=Var(V)+b2Var(X)-

關(guān)于控制變量技術(shù)的方差分解原理及其他幾種方差減小理論可參考文獻[17].

2 GARCH模型下方差衍生產(chǎn)品的控制變量加速模擬理論

2.1 GARCH隨機波動率模型介紹

在風險中性測度Q下，資產(chǎn)收益率過程由式(1)給出[8]：

(1)

式中：α0、α1、β1和γ都是GARCH模型中的參數(shù)，α0>0,α1>0,β1>0；λ是風險溢價率.

h(S0,S1,…,SN)

產(chǎn)品的收益函數(shù)記為h(S0,S1,…,SN)，產(chǎn)品的發(fā)行時刻價格為

V(S0，0)=E[e-rTh(S0,S1,…,SN)]

方差衍生產(chǎn)品的定價屬于高維的路徑依賴型問題，而在GARCH模型下，此類路徑依賴問題的解析表達式很難得到，一般情況下只能用數(shù)值估計方法估計，若用有限差分方法或者二叉樹方法直接求解，計算量極大，因此考慮用Monte Carlo加速模擬技術(shù)來研究此定價問題.

2.2 Black-Scholes框架下方差互換產(chǎn)品價格的解析解

考慮使用Black-Scholes框架下的輔助方差互換產(chǎn)品，標的資產(chǎn)價格過程服從下面的擴散過程：

(2)

式中：σc為波動率常數(shù)；Bt為標準布朗運動.

記此時產(chǎn)品的價格為W=W(S,t),到期日的收益函數(shù)仍為h(S0，S1，…,SN)，使用概率論方法求其解析解.因為

式中：Xi～N(0,1)，i=1,2,…,N，且Xi和Yj相互獨立，所以

則

W(S0,0)=E[e-rTh(S0，S1，…,SN)]=

將收益函數(shù)h(S0，S1，…,SN)的表達式代入上式即可求出解析解為

2.3 GARCH波動率模型產(chǎn)品定價的控制變量加速模擬算法

將上述Black-Scholes框架下的輔助方差互換產(chǎn)品的價格作為控制變量來求解GARCH隨機波動率模型下方差互換的價格.控制變量Monte Carlo加速模擬算法如下.

(3)

式中：ε1,i是符合標準正態(tài)分布的隨機數(shù)，每個間隔點產(chǎn)生一個，這樣就可以模擬出基于常數(shù)波動率下方差互換產(chǎn)品價格的一條路徑j.

(2) 步驟2.運用方差互換產(chǎn)品定價模型和步驟1中模擬路徑j,可求出控制變量在零時刻的價格為

(4)

(3) 步驟3.n等分時間段[0,T]，基于GARCH模型的收益率變化過程(在于步驟1中相同的隨機序列ε1下生成)，有式(5)：

(5)

式中的波動率σ(ti)滿足式(6)：

(6)

式中：ε2,i取為一個與ε1,i相互獨立的服從標準正態(tài)分布的隨機變量.這樣便可以模擬出基于GARCH模型下方差互換產(chǎn)品價格的另一條路徑.

(4) 步驟4.運用方差互換產(chǎn)品定價模型和步驟3中模擬的路徑推導出方差互換產(chǎn)品初始時刻價格為

(5) 步驟5.計算V(b)=V-b(X-E(X))，b為一個可以估計出的常數(shù)，其中E(X)由下式給出：

(6) 步驟6.模擬m次(重復步驟1至5m次)，并對每一次模擬所得的V(b)取平均得到GARCH模型下方差互換產(chǎn)品價格的控制變量估計為

(7)

其中最優(yōu)系數(shù)b*可用樣本點估計.

該Monte Carlo控制變量算法的誤差減小效果關(guān)鍵在于要使控制變量與所求GARCH問題模型具有較高的相關(guān)性ρXV.加速的效果用2種算法的誤差減小倍數(shù)R來衡量.

數(shù)值結(jié)果表明：控制變量技術(shù)的加速效果高度依賴于模型參數(shù)σc的選取，σc選取的不同，誤差減小效果差別很大.圖1描述了R與不同的波動率常數(shù)的關(guān)系.

圖1 R與波動率的關(guān)系(N=1, m=5 000)

如何選取高效有代表性的常數(shù)波動率σc是該控制變量算法設(shè)計的關(guān)鍵問題，使模擬的效果能達到最好.通過對GARCH離散標的過程和Black- Scholes連續(xù)標的資產(chǎn)過程的一階矩和二階矩的分析，得到下面定理.

定理1當波動率常數(shù)滿足

時，過程(3)與(5)所描述的兩股票價格的前兩階矩在T時刻近似相等,其中，σ(ti,j)表示第i條路徑上tj時刻對應的波動率.

若X～N(μ,σ2)，則

Var(eX)=(eσ2-1)e2μ+σ2

所以，對于過程(3)有

對于過程(5)有

則有

S0erTe-(σ*)2Te(σ*)2T=

把滿足上面結(jié)論的σc所確定的控制變量視為“最優(yōu)控制”，對應的控制變量估計作為GARCH模型下方差互換產(chǎn)品的價格，此時的誤差作為控制變量算法的誤差.

3 數(shù)值計算模擬結(jié)果

對算控制變量算法進行數(shù)值實現(xiàn)，并驗證定理1的最優(yōu)化結(jié)果：即在σc的一個局部區(qū)域進行搜索，搜索出滿足最優(yōu)化問題

表1 N=1時的模擬結(jié)果

由表中數(shù)據(jù)看出，Monte Carlo控制變量法對于模型的加速效果相當明顯，加速后誤差減小倍數(shù)在126左右，大幅度減小模擬誤差；若不使用控制變量法要達到相同的誤差減小倍數(shù)，模擬次數(shù)需要增加到原來的1262倍，所以大幅提高了模擬效率.而隨著模擬次數(shù)的增加，方差互換產(chǎn)品定價模型的模擬誤差逐漸降低，模擬出的標的資產(chǎn)價格V相對穩(wěn)定(誤差小于0.001)，這表明Monte Carlo模擬是有效、合理并且穩(wěn)定的.

此外，根據(jù)實驗模擬結(jié)果，還發(fā)現(xiàn)了一些其他的結(jié)論.如圖2所示為模擬次數(shù)m=2 000時方差減小倍數(shù)隨著常數(shù)波動率σc設(shè)定值的變化而產(chǎn)生變化的函數(shù)圖像.可以看到，函數(shù)圖像是單峰對稱分布的，當常數(shù)波動率約為0.142 2時，誤差減小倍數(shù)最大，在對稱軸兩側(cè)快速遞減；當常數(shù)波動率以0.142 2為初始點減小或增大時，方差減小倍數(shù)下降得很快，常數(shù)波動率±0.02的變化引起誤差減小倍數(shù)下降了100左右.由此可見，在GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品定價模型中，用控制變量法進行Monte Carlo模擬時，常數(shù)波動率的取值對模擬加速效果影響很大，微小的變化就能使方差減小倍數(shù)發(fā)生大變，因此在模擬加速時應提升常數(shù)波動率取值的精度，提高控制變量法的效率，減小Monte Carlo模擬的模擬誤差.

為更好進行比較，表2記錄了當觀察次數(shù)N=10時該Monte Carlo模擬控制變量法的MATLAB數(shù)值計算結(jié)果.

數(shù)值實驗分析的結(jié)果表明:N=10時的模型變化規(guī)律與N=1時的模型變化規(guī)律基本保持一致，最優(yōu)波動率均在0.142 2附近取到，且經(jīng)過推導得出的波動率和最優(yōu)常數(shù)波動率都十分接近，在可接受誤差范圍內(nèi).在N=10時，模擬次數(shù)m分別為1 000和2 000時，誤差減小與常數(shù)波動率取值關(guān)系中，和N=1時的情況基本相同，呈單峰對稱分布且存在一個最優(yōu)的常數(shù)波動率，使得誤差減小倍數(shù)達到最大，見圖3.

圖2 R與波動率的關(guān)系(N=1，m=2 000)

mσc1σ?cVStd/10-3RR?1 0000.142 40.142 319.410.749 5107.41107.422 0000.142 40.142 219.410.373 7107.99108.045 0000.142 40.142 219.410.153 9106.90106.9210 0000.142 40.142 219.410.078 6104.33104.3415 0000.142 40.142 219.410.052 7103.69103.7020 0000.142 40.142 319.410.039 5103.40103.41

4 進一步的討論

由上述可見，使用Black-Scholes框架下的確定常數(shù)波動率條件下的方差互換的價格作為控制變量，為GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品進行加速模擬定價，取得了很好的效果.繼續(xù)對上述算法進行改進，考慮使用分段常數(shù)波動率框架下的產(chǎn)品價格作為控制變量，對原GARCH隨機波動率模型下的產(chǎn)品進行加速模擬定價.

考慮式(8)模型：

(8)

(9)

GARCH模型的價格變化過程為

(10)

式中：ti表示第i個觀測點對應的時刻.

為確保原定價問題與模型(8)下的產(chǎn)品定價問題有較高的相關(guān)性，盡量使得兩類標的過程(9)和(10)有較高的“相似性”，同樣對兩類標的過程的一階矩和二階矩進行分析，使得它們在任意觀測點ti上相等，得到下面的定理.

定理2當每一段的常數(shù)波動率滿足

時，可以保證過程(9)和(10)在N個觀測點{t1,t2,…,tN}的前兩階矩相等.其中σ(tj,i)表示過程(10)的第j條路徑上0～ti之間所有時刻對應的波動率，且

證明現(xiàn)證明過程(9)與(10)在每一個觀測點的一階矩和二階矩相等，即期望與方差相等.

因為，若X～N(μ,σ2)，則

Var(eX)=(eσ2-1)e2μ+σ2

在觀測點t1,過程(9)的前兩階矩為

Var(S(1)(t1))=

在觀測點t1,過程(10)的兩階矩為

此時有

S0ert1=E(S(1)(t1))

e-(E(σ(tj,1)))2t1e(E(σ(t0,1)))2t1-1)=

此時，當初始條件相等，且σ1,c-E(σ(tj,1))時，可以保證

同理，考慮觀測點t2，有

且

此時有

當初始條件相等，為了保證在觀測點t2時刻前兩階矩相等，即

則要求

即

(E(σ(tj,2)))2t2-(E(σ(tj,1)))2t1

依此類推，繼續(xù)考慮N個觀測點，當滿足

則可以保證在N個觀測點的前兩階矩相等.證畢.

再次利用與前文相同的初始條件進行數(shù)值模擬，并與常數(shù)波動率情形進行對比，另外模擬參數(shù)α1=0.005.

在表3中，σc表示分段最優(yōu)常數(shù)波動率(考慮了分N=2段和N=3段的情況)，Rc表示分段最優(yōu)常數(shù)波動率下誤差減小倍數(shù)(相對于原始的Monte Carlo方法).當m=1 000時，分N=2段的話，求出的兩段最優(yōu)波動率常數(shù)為：0.142 4和0.142 2，此時控制變量的誤差減小倍數(shù)為126.68；同樣的，當m=1 000時，分N=3段的話，求出的三段最優(yōu)波動率常數(shù)為：0.142 5，0.142 2和0.142 2，此時控制變量的誤差減小倍數(shù)為127.27.從表3的結(jié)果比較中可以看出，分段波動率常數(shù)情形下的誤差減小倍數(shù)相比常數(shù)波動率情形有一定的改進，但改進的幅度并不是很大.分析其主要原因為：從GARCH模型產(chǎn)生的波動率序列的自相關(guān)函數(shù)逐漸趨于零，當分段考慮不同的波動率時，隨著波動率序列的增多，每一段都相當于一個獨立的滿足過程，即每一段的序列期望值趨于相等，所以針對GARCH模型考慮分段常數(shù)波動率時，相比單個常數(shù)波動率情形時效果差別不是很大.

表3常數(shù)波動率與分段常數(shù)波動率對比(α1=0.005)

Tab.3Constantvolatilityvs.piecewiseconstantvolatilityvariancereductioncomparison(α1=0.005)

mσ?cR?c最優(yōu)波動功率常數(shù)Ric1 0000.142 3120.045 0000.142 3127.4510 0000.142 3128.280.142 40.142 20.142 50.142 20.142 20.142 40.142 20.142 50.142 20.142 20.142 40.142 20.142 50.142 20.142 2126.68127.27129.46133.13129.63132.20

5 結(jié)論

數(shù)值分析的結(jié)果也表明：利用常數(shù)波動率下產(chǎn)品價格符合幾何布朗運動的一個衍生品的價格作為控制變量，對GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品定價是有成效的，推導出的公式也是合理且符合實際的.并且發(fā)現(xiàn)：控制變量模型中常數(shù)波動率對方差減小的影響具有鮮明的數(shù)學特點，方差減小隨常數(shù)波動率變化的圖像呈單峰對稱分布.這也為其他模型下對Monte Carlo控制變量法在期權(quán)定價中的運用提供了思路.最后，對常數(shù)波動率的情形進行了改進，用分段波動率常數(shù)的Black-Scholes模型去近似原GARCH模型，并給出了最優(yōu)分段常數(shù)波動率的選取方法.