◎馬賢頻

一、數(shù)形結(jié)合百般好

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家往事休”。數(shù)形結(jié)合思想包含以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一種是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形為手段以數(shù)為目的；一是借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)為手段以形為目的；而在函數(shù)解題的應(yīng)用中往往兩者相互結(jié)合，相互交叉，兩者相輔相成。

例1、（2018七彩陽(yáng)光聯(lián)盟 17）已知 x∈ R，y∈ R＋，則 e2x＋[y－ln（x＋y）]2的最小值為_(kāi)_________.

分析：從 e2x＋ [y－ln（x＋y）]2形式上看與兩點(diǎn)間的距離公式很像，但直接找的兩點(diǎn)幾何圖形不明顯，需要變形后找?guī)缀涡再|(zhì)，可以令t＝ln（x＋y）.

方法1.解：令t＝ln（x＋y），則y＝et－x.

所 以 f（x，y） ＝ e2x＋[y－ln（x＋y）]2＝e2x＋[（et－x）－t]2＝[ x－（et－t）]2＋（ex－0）2可以看做是兩個(gè)點(diǎn)A（x，ex），B（（et－t），0）之間的距離的平方。如圖所示。點(diǎn)A在函數(shù)y＝ex上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)閑t≥t＋1，所以點(diǎn)B在x軸上點(diǎn)C的右側(cè)運(yùn)動(dòng)。所以CA≤AB.易求得當(dāng)點(diǎn)A在（0，1）時(shí)CA取得最小。所以

二、化歸轉(zhuǎn)化離不了

化歸與轉(zhuǎn)化既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)能力，是高考重點(diǎn)考察的最重要的思想方法之一?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想是將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將較難的問(wèn)題化為較易的問(wèn)題，將陌生的問(wèn)題化歸為熟悉的問(wèn)題?；瘹w與轉(zhuǎn)化是高階思維體操，往往是經(jīng)驗(yàn)積累的成果，或是電光一閃的思維迸發(fā)。

例1、（2018七彩陽(yáng)光聯(lián)盟 17）已知 x∈ R，y∈ R＋，則 e2x＋[y－ln（x＋y）]2的最小值為_(kāi)________.

分析：從e2x＋[ y－ln（x＋y）]2形式上看，可以從基本不等式入手合成一個(gè)代數(shù)式，從而轉(zhuǎn)化為不等式來(lái)求解。

（Ⅰ）若 f（x）在 x＝x1，x2（x1≠ x2）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f（x1）＋f（x2）＞8－8ln2

（Ⅱ）若a≤3－4 ln2，證明：對(duì)于任意k＞0，直線y＝kx＋a與曲線y＝f（x）有唯一公共點(diǎn).

三、分類(lèi)整合常用到

分類(lèi)思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類(lèi)的一種數(shù)學(xué)思想。分類(lèi)的基礎(chǔ)是比較，比較也是分類(lèi)的前提，分類(lèi)是比較的結(jié)果。分類(lèi)討論貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，條理性。分類(lèi)討論往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以有效的促進(jìn)學(xué)生研究問(wèn)題的能力。分類(lèi)思想是通往成功的必經(jīng)之路。

例3、已知不等式ex≥(a＋1 ) x＋b恒成立，則(a＋1 ) b的最大值為_(kāi)_____________________

分析：可以先將不等式ex≥(a＋1 ) x＋b右側(cè)移到左側(cè)，將其當(dāng)做一個(gè)函數(shù)，再考慮函數(shù)最小值即可。而a，b之間沒(méi)有等量關(guān)系，通過(guò)討論即可將問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

解：令f（x）＝ex－(a＋ )1 x－b，由題意知f（x）≥0恒成立。

因?yàn)閒′（x）＝ex－(a＋ )1 ，所以

（1） 當(dāng) a＋1＜0即a＜－1時(shí)f′（x）＞0所以f（x）在R上單調(diào)遞增。而且當(dāng)x→－∞時(shí)，f（x）→－∞所以不合題意，舍去。

（2） 當(dāng)a＋1＝0即a＝－1時(shí)f（x）≥0即b≤ex恒成立，所以b≤（ex）min所以b≤0，所以 (a＋ )1 b＝0

（3） 當(dāng) a＋1＞0即 a＞－1時(shí)，令 ex－(a＋ )1 ＝0，得 x＝ln(a＋ )1 .由

＋ )1__________（ln___________(__)a＋1，＋∞）0＋＋ )1）↗_______________

得f（x）min＝f（ln(a＋ )1）＝a＋1－（a＋1）ln（a＋1）－b≥0

所以b≤a＋1－（a＋1）ln（a＋1）

所以（a＋1）b≤（a＋1）2[1－ln（a＋1]）

函數(shù)雙變量問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)非常重要的一個(gè)?？键c(diǎn)，解題的過(guò)程也往往非常復(fù)雜，需要學(xué)生根據(jù)解題思路應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)思想方法。教師應(yīng)該多關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的傳授，引領(lǐng)學(xué)生站在制高點(diǎn)，進(jìn)而減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。