李炳強(qiáng)， 馬 輝,2， 曾 勁， 郭旭民， 崔 璨

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院, 沈陽 110819； 2.東北大學(xué) 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819)

旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)包括軸、葉片和軸承組件等，應(yīng)用于許多工程機(jī)械，如壓縮機(jī)、汽輪機(jī)、航空發(fā)動機(jī)等。在轉(zhuǎn)子-葉片模型中，軸承通常假定為剛性或帶有黏性阻尼的線性彈簧。隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)變得更薄，工作轉(zhuǎn)速更高，可能出現(xiàn)高振幅振動甚至失穩(wěn)等危險現(xiàn)象，因此對轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔進(jìn)行研究是必要的。

考慮幾何非線性以及振動大變形，Khadem等[1]采用多尺度法研究簡支軸在主共振條件下的自由和受迫振動。此外，基于Hamilton原理和諧波平衡法，他們還研究了簡支旋轉(zhuǎn)軸的模態(tài)組合共振[2]。Shahgholi 等[3]考慮到軸的大變形和拉伸效應(yīng)所引入的非線性，分析了旋轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)速波動影響下，主共振頻率附近的非線性振動和失穩(wěn)現(xiàn)象。Chiu等[4]研究了軸扭轉(zhuǎn)和葉片彎曲振動對多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合非線性振動的影響。Wang等[5]建立了柔性轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)的時變非線性模型，討論了轉(zhuǎn)子的非線性振動對葉片響應(yīng)的影響。Sanches等[6]研究了直升機(jī)螺旋槳的基礎(chǔ)共振現(xiàn)象，基于Floquet理論確定了該非線性系統(tǒng)分叉點的位置，描述了在不同條件下的失穩(wěn)區(qū)域。Bab等[7]采用多尺度方法研究了柔性轉(zhuǎn)子和柔性/剛性葉片的耦合非線性共振，討論了圓盤偏心量和阻尼對系統(tǒng)失穩(wěn)的影響。

碰摩力可以使轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。Parent等[8]研究了渦扇發(fā)動機(jī)風(fēng)扇葉片-機(jī)匣的碰摩響應(yīng)，預(yù)測了系統(tǒng)的失穩(wěn)區(qū)域，討論了系統(tǒng)在失穩(wěn)頻率區(qū)間的響應(yīng)。高喆等[9]研究了碰摩轉(zhuǎn)子在隨機(jī)擾動下呈現(xiàn)出的非線性動力學(xué)特性。陶海亮等[10]建立了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的碰摩故障模型，分析了碰摩剛度以及靜子質(zhì)量對轉(zhuǎn)子動力學(xué)響應(yīng)的影響。劉昕等[11]采用Hertz接觸模型構(gòu)建了葉片-機(jī)匣碰摩力模型，并運用該模型研究了轉(zhuǎn)子-軸承碰摩的非線性動力學(xué)響應(yīng)。碰摩力存在多種形式，對于點碰摩或局部碰摩，碰摩力被認(rèn)為是周期性脈沖力。Petrov[12-13]應(yīng)用多諧波的非線性碰摩力研究轉(zhuǎn)子的響應(yīng)，Sinha[14-15]提出若干碰摩脈沖力的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如正弦半波脈沖，矩形脈沖等。Turner等[16-17]采用類半正弦波脈沖力研究葉片-機(jī)匣的碰摩。Kou等[18]應(yīng)用正弦脈沖函數(shù)和連續(xù)正弦函數(shù)模擬葉片-機(jī)匣的法向碰摩力。Ma等[19]確定了周期脈沖碰摩力最大值的表達(dá)形式。

以上文獻(xiàn)中，有些學(xué)者將軸簡化為簡支梁，不考慮軸承支承剛度和阻尼的影響，另外一些學(xué)者雖然將軸承考慮為線彈性支承，但是沒有考慮支承剛度和陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)軸振型的影響?；诖耍疚难芯苛酥鞴舱駰l件下轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)受周期性脈沖碰摩力沖擊的振動響應(yīng)和穩(wěn)定性，分析討論了軸承支承剛度、阻尼、陀螺效應(yīng)、碰摩力、摩擦因數(shù)和圓盤偏心量等對系統(tǒng)響應(yīng)幅值以及失穩(wěn)區(qū)域的影響，并通過引入數(shù)值積分結(jié)果驗證本文攝動解的準(zhǔn)確性。

1 轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)運動微分方程

圖1為轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)示意圖，其中X-Y-Z為慣性坐標(biāo)系，X為未變形軸的中性軸方向，x-y-z為動態(tài)坐標(biāo)系，附著于軸變形后的截面主軸上，xb-yb-zb為葉片的動態(tài)坐標(biāo)系，xb沿著葉片的寬度方向，yb沿著葉片的厚度方向，zb沿著葉片的長度方向。軸左端的扭簧支承kφ=∞，也就意味著繞X軸的扭角為0，同時固定軸左端X方向的位移，kbz1,kbz2,kby1,kby2分別為軸承1和軸承2沿著Z方向和Y方向的支承剛度，cbz1,cbz2,cby1,cby2分別為軸承1和軸承2沿著Z方向和Y方向的阻尼，為了計算的簡化，令kbz1=kbz2=kby1=kby2=k,cbz1=cbz2=cby1=cby2=cbearing。旋轉(zhuǎn)軸的動能和勢能可表示為

圖1 轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of rotor-blade systems

(1)

(2)

式中：l，m，I1,I2,I3,N11,α,D11,D22,D33分別為軸的長度、單位長度質(zhì)量、單位長度極轉(zhuǎn)動慣量、單位長度關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動慣量、單位長度關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量、軸向剛度、軸向應(yīng)變、扭轉(zhuǎn)剛度、關(guān)于y軸的彎曲剛度、關(guān)于z軸的彎曲剛度;u,v,w,ω1,ω2和ω3為軸上任意點在慣性坐標(biāo)系下沿著X,Y,Z三個方向的位移和角速度；“·”為對t求偏導(dǎo)；k1，k2，k3分別為截面的扭轉(zhuǎn)曲率、截面關(guān)于y軸的彎曲曲率和截面關(guān)于z軸的彎曲曲率。

盤假設(shè)為剛性，固定于軸上x=xd的位置，其勢能為0，動能可以表示為[20]

(3)

式中:mdisk,Ω,ey,ez,Idisk,Jdisk為盤的質(zhì)量、旋轉(zhuǎn)角速度、圓盤關(guān)于Y方向的偏心距、圓盤關(guān)于Z方向的偏心距、直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量。

將葉片簡化為Euler-Bernoulli梁，對于第i個葉片，扭轉(zhuǎn)位移φi(t)表達(dá)為

φi(t)=Ωt+φ(xd,t)+?i,i=1, …,Nb

(4)

式中：Nb為葉片數(shù);φ(x,t)為軸的扭轉(zhuǎn)變形;?i為第i個葉片的角位置

(5)

葉片的安裝角為γ,θ(x,t)和ψ(x,t)分別為軸繞Y軸和Z軸旋轉(zhuǎn)的兩個歐拉角，xb,Λi,yb,Rd和ζ分別為任意質(zhì)點在橫截面內(nèi)沿著葉片寬度方向的位置、葉片的彎曲振動幅值、葉片在橫截面內(nèi)沿著厚度方向的位置、圓盤半徑、質(zhì)點與葉根的距離，考慮到葉片動態(tài)坐標(biāo)系向慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，其上任意質(zhì)點的位置向量為

(6)

則第i個葉片的動能為

(7)

(8)

對所有葉片，總體動能和勢能為

(9)

在葉尖處施加周期脈沖碰摩力，其表達(dá)式為

(10)

式中：Fn max,tc,tp,t0為最大法向碰摩力，接觸時間、周期以及開始碰摩時間。設(shè)定μ為摩擦因數(shù)，則第i個葉片的碰摩力所做的功為

WFni=μFniΛi(L,t)cosγ-μFni(Rd+L)φi(xd+t)+

Fni(-cosφi+μsinφi)vδ(x-xd)+
Fni(-sinφi-μcosφi)wδ(x-xd)

(11)

Hamilton原理的表達(dá)式為

(12)

其中,

在式(2)中，軸向應(yīng)變的表達(dá)式為

(13)

式中：“′”為對x求偏導(dǎo)。

由圖1中支承方式可知，固定左端軸向位移，而右端可以沿著軸向移動，即α=0，可得

(14)

軸上任意點繞Y軸和Z軸旋轉(zhuǎn)的兩個歐拉角θ(x,t)和ψ(x,t)可以表達(dá)為

(15)

轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)的響應(yīng)峰值和失穩(wěn)區(qū)域均發(fā)生在彎曲共振頻率范圍內(nèi)，而軸的扭轉(zhuǎn)頻率要遠(yuǎn)高于彎曲頻率，因此，相較于彎曲慣性項和剛度項，扭轉(zhuǎn)慣性項的值很小，可以忽略。如果v=O(ε)且w=O(ε), 其中ε是無量綱的小尺度參數(shù)，則扭轉(zhuǎn)運動的非線性項數(shù)量級為O(ε4), 可得

(16)

將式(14)～式(16)代入式(1)～式(6)，可消掉u(x,t),φ(x,t)，θ(x,t)和ψ(x,t)，得到系統(tǒng)關(guān)于w(x,t),v(x,t)和Λi(ζ,t)的非線性運動微分方程。采用Coleman變換縮減系統(tǒng)自由度，引入變量ξ和η，表達(dá)式為

(17)

為了進(jìn)一步對系統(tǒng)展開降維，采用如下復(fù)平面映射

(18)

通過以上變換，方程的數(shù)量由2+Nb降為2個，設(shè)定軸承，軸和葉片的阻尼系數(shù)分別為cbearing,c和cblade。進(jìn)一步引入如下無量綱變量

(19)

值得注意的是，在攝動求解中，cbearing,c和cblade數(shù)量級為ε2，而Fni,ey和ez的數(shù)量級為ε3，其中ε是無量綱的小參數(shù)。綜合式(1)～式(19)得到轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)的無量綱運動微分方程為

(20)

(21)

式(20)為轉(zhuǎn)子運動微分方程，左側(cè)的項整理后可以分為5類，用5個中括號加以區(qū)分，分別代表轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)，圓盤的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量以及偏心距的影響，葉片橫向振動的影響，軸承支承剛度及阻尼的影響，碰摩力的影響。式(21)為葉片的運動微分方程，左側(cè)的項整理后可以分為4類，用4個中括號加以區(qū)分，分別代表葉片結(jié)構(gòu)參數(shù)，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，碰摩力的影響以及轉(zhuǎn)子橫向位移的影響?？梢钥闯觯S及葉片的運動是高度耦合的。

式(20)和式(21)都是偏微分方程，直接求解比較困難，可利用Galerkin方法分離變量。為研究主共振頻率范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的響應(yīng)和失穩(wěn)狀態(tài)，需要求解其主共振狀態(tài)下的振型。

葉片可視作懸臂梁，其振型為

ψi(V*)=(sin(βiLV*)-sinh(βiLV*))-

β1L=1.875 1,β2L=4.964 1… 0≤V*≤1

(22)

將軸看做兩端彈性支撐的Timoshenko梁，如圖2所示，l1,l2為圓盤與兩端的距離，截面關(guān)于Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)角用θy和θz表示，令θ=θy+jθz。盤片系統(tǒng)簡化為集中質(zhì)量點，其質(zhì)量為mD，轉(zhuǎn)動慣量為Jp，直徑轉(zhuǎn)動慣量為Jd，考慮到陀螺效應(yīng)，軸的振型可以表達(dá)為[21]

φni(x)=c1isinαnix+c2icosαnix+
c3isinhβnix+c4icoshβnix

(23)

圖2 盤片軸的簡化模型Fig.2 Simplified model of shaft-disk-blade

式中：i=1, 2；xi∈[0,li]；c1i，c2i,c3i,c4i為待定常數(shù);αni和βni需要滿足

(24)

其中,

(25)

式中：ρ,Is,κ,E分別為軸的密度、截面慣性矩、截面剪切系數(shù)和楊氏模量；ω為轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)的固有頻率，主共振條件下，可認(rèn)為Ω=ω。定義Θi(xi)為θi的振型函數(shù)，則有

(26)

根據(jù)兩端彈簧支承的邊界條件，可得

(27)

在圓盤接界處的邊界條件可表達(dá)為

(28)

將式(26)～式(28)代入式(23),即可求得軸在彈支邊界下的臨界轉(zhuǎn)速及其各階主共振的振型。軸的各階整體振型為

(29)

某軸長度為0.595 2 m、截面面積為3.14×10-4m2、截面慣性矩為7.85×10-9m4、楊氏模量為2×1011Pa、密度為7 800 kg/m3,xd=0.407 7 m,mD=0.735 kg,Jp=6.25×10-4kg·m2,不同邊界條件下前兩階臨界轉(zhuǎn)速，如表1所示，支承剛度k=2×106N/m時的歸一化振型，如圖3所示，為了驗證解析方法的準(zhǔn)確性，采用Nastran建模并進(jìn)行正進(jìn)動和反進(jìn)動固有頻率對比。從表1中可知，當(dāng)支承剛度非常大時，彈支軸與簡支軸的固有頻率比較接近，隨著支承剛度降低，固有頻率降低，在離心力作用下，兩端支承處的相對位移較大。在高階振動中，盤所在的一側(cè)振幅會相對較小。

用Galerkin方法分離變量，可設(shè)定p*(V*,t*)=ψi(V*)P(t*),z*(x*,t*)=φn(x*)Z(t*)，代入式(20)和式(21)，并從0～1積分，可消去變量x*和V*，從而轉(zhuǎn)化為常微分方程，采用龍格庫塔方法對若干固定的轉(zhuǎn)速值進(jìn)行數(shù)值求解，從而驗證本文多尺度攝動解的準(zhǔn)確性。

圖3 旋轉(zhuǎn)軸的彈支振型 (k=2×106 N/m) Fig. 3 Mode shapes of the rotating shaft (k=2×106 N/m)

邊界條件支撐剛度/(N·m-1)一階臨界轉(zhuǎn)速/(Rad·s-1)解析法FEM正進(jìn)動反進(jìn)動正進(jìn)動反進(jìn)動二階臨界轉(zhuǎn)速/(Rad·s-1)解析法FEM正進(jìn)動反進(jìn)動正進(jìn)動反進(jìn)動彈支2×106490.29-487.63491.91-488.521 835.10-1 796.221 836.28-1 795.45彈支2×108523.65-518.95523.34-518.482 265.93-2 190.572 261.72-2 189.84簡支526.83-521.77526.01-521.432 315.76-2 198.332 312.92-2 194.23

2 多尺度求解

采用多尺度方法進(jìn)行求解，p*(V*,t) 和z*(x*,t) 可以展開為

p*(V*,t)=εp1(V*,T0,T2)+ε3p3(V*,T0,T2)+…

z*(x*,t)=εz1(x*,T0,T2)+ε3z3(x*,T0,T2)+…

(30)

式中：T0=t,T2=ε2t。為了表征共振頻率與正進(jìn)動頻率的接近程度，引入無量綱調(diào)諧參數(shù)σ=O(1),使Ω*=βf+ε2σ，其中βf為無量綱正進(jìn)動頻率。將式(30)代入式(20)和式(21)，使兩端ε和ε3項對應(yīng)系數(shù)相等，通過ε項可確定解的表達(dá)形式，代入ε3項可得方程

(31)

(32)

式中：Hz,f(x*,T2),Hz,b(x*,T2) ,Hp,f(V*,T2)和Hp,b(V*,T2) 為久期項，N.S.T為非久期項；βb為無量綱反進(jìn)動頻率；D0=?/?T0。設(shè)定φf(x*),φb(x*),ψf(V*),ψb(V*)分別為軸和葉片的正進(jìn)動與反進(jìn)動振型，根據(jù)之前的討論，可令ψf(V*)=ψb(V*)=ψi(V*),φf(x*)=φb(x*) =φn(x*), 如果方程存在非零解，則必有

(33)

其中，

式(33)左側(cè)Jacobian矩陣的特征值可以給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性信息：若所有特征值的實部都為非正值，系統(tǒng)穩(wěn)定，反之，若存在任意一個實部大于0的特征值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

對于其他碰摩形式，只要碰摩力在每個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)對時間可積就可以應(yīng)用本文的方法。非周期的碰摩力進(jìn)行如下等效即可

(34)

式中：Fni(t)為作用于第i個葉片上的任意形式的碰摩力。

3 數(shù)值算例

圖4 轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic of rotor-blade system

各工況中均采用龍格-庫塔數(shù)值積分方法驗證多尺度攝動解的準(zhǔn)確性。圖5為不同碰摩力下轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，可以看出系統(tǒng)為硬式非線性，在無碰摩力或碰摩力較小的條件下，系統(tǒng)可以維持穩(wěn)定。隨著碰摩力的增加，非線性增強(qiáng)，共振峰值提高，最大碰摩力的值為0.225時，響應(yīng)發(fā)生分叉，系統(tǒng)存在兩個穩(wěn)定解和一個不穩(wěn)定的解。

圖5 不同法向碰摩力下的響應(yīng)幅值Fig.5 Response amplitude under different normal rubbing force

圖6為不同支承剛度下系統(tǒng)的響應(yīng)幅值，支承剛度較低時，非線性較弱。當(dāng)-0.2<σ<0.533時，低支承剛度下，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值較大。但隨著支承剛度的增加，系統(tǒng)的跳躍頻率升高，不穩(wěn)定區(qū)域和共振峰值也隨之增加。

圖6 不同支承剛度下的響應(yīng)幅值Fig.6 Response amplitude under different stiffness

圖7為不同摩擦因數(shù)下系統(tǒng)的響應(yīng)幅值，在AB區(qū)域，未達(dá)到二者跳躍頻率，提高摩擦因數(shù)，系統(tǒng)的響應(yīng)只是輕微地增加，幾乎保持不變。然而，摩擦因數(shù)的增加會提高跳躍頻率，通過額外的BC區(qū)域，系統(tǒng)的共振峰值得到提高。

圖7 不同摩擦因數(shù)下的響應(yīng)幅值Fig.7 Response amplitude under different friction coefficient

圖8為不同圓盤偏心量下的響應(yīng)幅值，從圖中可以看出，圓盤偏心量的增加，與碰摩力增加的情形類似，系統(tǒng)的非線性增強(qiáng)，跳躍頻率以及共振峰值也隨之增加。

圖8 不同圓盤偏心量下的響應(yīng)幅值Fig.8 Amplitude-frequency responses under different eccentricities

圖9為不同支承剛度和轉(zhuǎn)軸阻尼系數(shù)下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值。從圖9中可以看出，系統(tǒng)若要達(dá)到完全穩(wěn)定，支承剛度越大，則需要更大的阻尼。相同阻尼下，在未達(dá)到跳躍頻率時，支承剛度越小，系統(tǒng)響應(yīng)幅值越大。隨著調(diào)諧參數(shù)的增加，共振分支的響應(yīng)幅值增加。另外值得注意的是，無論支承剛度的數(shù)值大小，過小的阻尼都會使系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖9 轉(zhuǎn)軸阻尼系數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.9 Steady state responses under different damping

圖10 軸承阻尼系數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.10 Steady state responses under different bearing’s damping

圖11 碰摩力對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.11 Steady state responses under different rubbing force amplitudes μ=0.1,k*=26 860)

圖12 不同支承剛度下碰摩力對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.12 Steady state responses under different support stiffness

圖13描述了不同支承剛度和轉(zhuǎn)軸阻尼條件下第一和第二分叉點的變化軌跡。隨著阻尼的增加，兩類分叉點的頻率都在降低，而第二分叉點的速度更快，最終兩條軌線交于一點。當(dāng)實際阻尼大于該值時，將確保系統(tǒng)不發(fā)生分叉，達(dá)到完全穩(wěn)定。從圖中可知，當(dāng)阻尼較小時，兩個系統(tǒng)都會發(fā)生失穩(wěn)，阻尼越小，失穩(wěn)區(qū)間越大。當(dāng)支承剛度較高時，需要更大的阻尼以使系統(tǒng)達(dá)到完全穩(wěn)定。

圖13 第一和第二分叉點的軌跡Fig.13 Loci of the first and second bifurcatin points

4 結(jié) 論

本文基于多尺度攝動理論，研究了轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)在主共振狀態(tài)下的響應(yīng)，得出的結(jié)論如下：

(1) 轉(zhuǎn)子-葉片系統(tǒng)為硬式非線性，隨著碰摩力和圓盤偏心量的增加，非線性增強(qiáng)，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低，第一和第二分叉點頻率升高，跳躍頻率和共振峰值升高。

(2) 隨著支承剛度降低，系統(tǒng)非線性減弱，分叉點頻率降低，共振峰值和跳躍頻率隨之降低。支承剛度較高時，需要更大的結(jié)構(gòu)阻尼達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。在達(dá)到二者跳躍頻率之前，支承剛度較低時響應(yīng)幅值較大。

(3) 隨著摩擦因數(shù)的增加，系統(tǒng)的跳躍頻率和共振峰值提高。

(4) 較小的結(jié)構(gòu)阻尼會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生失穩(wěn)，支承剛度較低時，軸承阻尼對系統(tǒng)振動幅值的影響較大。