趙 斌，朱傳祥，徐思勇，蔣瑞民，張 琳，周 軍

(1. 西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072；2. 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安 710072；3. 中國運(yùn)載火箭研究院首都航天機(jī)械公司，北京 100076)

0 引 言

近年來，制導(dǎo)武器不斷向低成本和高性能方向發(fā)展，由此衍生了具有代表性的兩個(gè)研究熱點(diǎn)：全捷聯(lián)探測制導(dǎo)技術(shù)和制導(dǎo)控制一體化技術(shù)。

全捷聯(lián)探測制導(dǎo)體制去除了傳統(tǒng)平臺(tái)式導(dǎo)引頭的框架結(jié)構(gòu)，減小了導(dǎo)引頭體積、降低了研制成本，同時(shí)提高了抗過載沖擊能力及可靠性[1]；制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)能夠建立起制導(dǎo)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)的有機(jī)協(xié)調(diào)，相比傳統(tǒng)的獨(dú)立設(shè)計(jì)的方法，一體化設(shè)計(jì)在減小需用過載、降低脫靶量、提高可靠性與穩(wěn)定性等方面具有明顯優(yōu)勢[2]。因此，將這兩者相結(jié)合，在全捷聯(lián)體制下開展制導(dǎo)控制一體化研究對發(fā)展低成本、高性能戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)具有重要的意義。

當(dāng)前一般是基于慣性系視線角速率開展制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)[2-7]。在全捷聯(lián)制導(dǎo)體制下開展制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)同樣以經(jīng)典的導(dǎo)彈姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和彈目相對運(yùn)動(dòng)學(xué)為基礎(chǔ)[8]，然而全捷聯(lián)體制下的光學(xué)系統(tǒng)、探測器與彈體固連，這也給制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)帶來了新的問題——導(dǎo)引頭視場角約束問題。

傳統(tǒng)導(dǎo)彈的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與制導(dǎo)探測通過導(dǎo)引頭框架實(shí)現(xiàn)隔離，具有高動(dòng)態(tài)特性的導(dǎo)引頭伺服框架用于實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的鎖定和跟蹤[9]；在全捷聯(lián)體制下，一方面導(dǎo)彈需要不斷調(diào)整姿態(tài)改變所受到的力矩和力以實(shí)現(xiàn)精確打擊，另一方面由于彈體與探測器固連，彈體在調(diào)整姿態(tài)建立攻角時(shí)更容易引起彈目體視線角超出導(dǎo)引頭視場角范圍[10-11]。因此在全捷聯(lián)制導(dǎo)體制下開展制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)時(shí)必須兼顧彈目體視線與導(dǎo)引頭視場角之間的約束，這種矛盾在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)尤為突出。這使得現(xiàn)有的制導(dǎo)控制一體化方法難以直接應(yīng)用[2-7]于此類對象。

針對制導(dǎo)控制系統(tǒng)存在的導(dǎo)引頭視場角約束問題，現(xiàn)有研究主要集中于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，如基于比例導(dǎo)引的方法[12-14]，基于最優(yōu)控制的方法[15-16]以及滑模變結(jié)構(gòu)方法[17-18]等。這些方法在建模時(shí)忽略了彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性，即假設(shè)飛行攻角近似為零，由此視線角被定義為彈體速度方向和彈目視線方向的夾角。然而，實(shí)際大氣層內(nèi)的全捷聯(lián)導(dǎo)彈主要是通過調(diào)整彈體姿態(tài)建立攻角以實(shí)現(xiàn)法向過載的跟蹤，由此看來攻角為零的假設(shè)顯然是不合理的。

由以上分析可知，傳統(tǒng)制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法沒有考慮全捷聯(lián)體視線角約束，而考慮體視線約束的制導(dǎo)方法卻在模型環(huán)節(jié)進(jìn)行了不合理的簡化。為此，本文作者在文獻(xiàn)[11]中初步提出了一種考慮捷聯(lián)視場角約束的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法，該方法基于障礙Lyapunov函數(shù)[19]以及跟蹤微分器[20]進(jìn)行一體化制導(dǎo)控制規(guī)律的設(shè)計(jì)，然而其并沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆€(wěn)定性證明，并且只適合于攻擊靜止目標(biāo)。

在該項(xiàng)研究基礎(chǔ)上，本文以全捷聯(lián)導(dǎo)彈攻擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為背景，提出一種滿足全捷聯(lián)體視線角約束的制導(dǎo)控制一體化方法。首先，建立了考慮體視場角約束以及目標(biāo)機(jī)動(dòng)的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)模型；其次，基于積分型障礙Lyapunov函數(shù)[21]與動(dòng)態(tài)面方法設(shè)計(jì)了一體化制導(dǎo)控制律，解決了視場角約束問題；針對目標(biāo)未知機(jī)動(dòng)以及氣動(dòng)參數(shù)不確定性，提出一種新型干擾觀測器并將干擾估計(jì)的平方信息引入控制方程中，有效避免引入符號(hào)項(xiàng)，解決了變結(jié)構(gòu)控制的“顫震”問題；最終基于Lyapunov穩(wěn)定理論證明了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界收斂特性。

1 數(shù)學(xué)建模

將目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn)，考慮導(dǎo)彈的姿態(tài)和速度方向，給出縱向平面中彈-目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 全捷聯(lián)導(dǎo)彈-目標(biāo)二維相對運(yùn)動(dòng)示意圖

圖1中，XOY為慣性坐標(biāo)系；M,T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)；AM,AT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的加速度，其方向分別與導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度VM,VT方向垂直；R為彈目相對距離；qL為慣性系視線角；θM,θT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的航跡角；Mxb為彈體縱軸方向，由此得到?為彈體俯仰角，qBL為相對彈體系的體視線高低角。

1.1 相關(guān)假設(shè)

不失一般性，本文在進(jìn)行全捷聯(lián)制導(dǎo)控制一體化建模與制導(dǎo)控制算法設(shè)計(jì)過程中引入如下假設(shè)：

假設(shè)1. 在短暫的末制導(dǎo)過程中，假設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)速度大小保持不變。

假設(shè)2. 目標(biāo)加速度、氣動(dòng)不確定及其微分大小是有界的。

1.2 全捷聯(lián)制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)建模

由圖1可建立起全捷聯(lián)制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)模型，主要由全捷聯(lián)導(dǎo)引頭解耦模型、彈目相對運(yùn)動(dòng)模型以及彈體姿態(tài)控制模型等三部分模型構(gòu)成。

1) 全捷聯(lián)導(dǎo)引頭解耦模型

由圖1可知，彈體俯仰角、體視線高低角和慣性系視線高低角滿足如下關(guān)系：

qBL=qL-?

(1)

對其求取微分可得：

(2)

其中，Δ1=-ωz。

2) 二維非線性彈目相對運(yùn)動(dòng)模型[22]

(3)

對于軸對稱戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈而言，彈體縱向加速度用氣動(dòng)力系數(shù)近似表示如下：

(4)

由式(3)和式(4)可知：

(5)

其中，

3) 縱向平面線性化姿態(tài)控制模型[23]

(6)

通常戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈在末制導(dǎo)階段是無動(dòng)力飛行，即P=0。定義如下模型參數(shù)：

由此可對式(6)進(jìn)行簡化：

(7)

(8)

對于穩(wěn)定飛行的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，其攻角、舵偏角及角速率都是有界的，并且氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)也是有界的，結(jié)合假設(shè)1和假設(shè)2可知不確定性及其微分都有界

(9)

其中,Ei,Di(i=1,2,3,4)分別是未知的不確定性上界以及不確定性的微分上界。

本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)一體化制導(dǎo)控制律u，使得系統(tǒng)(8)在不確定性(9)作用下漸進(jìn)穩(wěn)定收斂，同時(shí)系統(tǒng)體視線角狀態(tài)滿足物理視場角Q的約束，即

|x1|

(10)

由式(10)可知，本文受約束的狀態(tài)即為x1，在設(shè)計(jì)過程中應(yīng)盡可能保證體視線角比較小，因此其需要跟蹤的指令xd=0，由此滿足假設(shè)3的條件。

2 捷聯(lián)制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

2.1 相關(guān)引理

引理1[21]. 定義積分障礙Lyapunov函數(shù)(iBLF)

(11)

其中，z=x-xd為跟蹤誤差，|x|

1) 若狀態(tài)滿足|x|

(12)

2) 函數(shù)V(z,xd)對xd的偏導(dǎo)數(shù)可表述如下：

(13)

引理2[24]. 對于實(shí)數(shù)m,n≥0,p,q>1，若其滿足等式1/p+1/q=1，則如下不等式成立：

(14)

V→∞，當(dāng)|x|→kc時(shí)

2.2 全捷聯(lián)制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

基于動(dòng)態(tài)面控制，全捷聯(lián)一體化制導(dǎo)控制規(guī)律設(shè)計(jì)步驟如下：

1)設(shè)計(jì)x2的虛擬控制律

定義誤差變量s1=x1-x1d,x1d=0，結(jié)合式(9)可得s1的微分如下：

(15)

以x2作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x2c為

(16)

為了設(shè)計(jì)非線性干擾觀測器，設(shè)計(jì)中間變量為

z1=d1-κ1s1,κ1>0

(17)

結(jié)合式(15),對式(17)進(jìn)行微分可得：

(18)

設(shè)計(jì)變量z1的自適應(yīng)律如下：

(19)

根據(jù)式(17)可設(shè)計(jì)干擾觀測器如下：

(20)

基于動(dòng)態(tài)面控制思想，為了避免虛擬控制微分膨脹，引入一階濾波器獲取新的變量x2d

(21)

2)設(shè)計(jì)x3的虛擬控制律

定義新的誤差變量為s2=x2-x2d，結(jié)合式(9) 可得s2的微分如下：

(22)

以x3作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x3c為

(23)

類似式(17)～(20)，設(shè)計(jì)干擾觀測器如下：

(24)

(25)

同樣引入一階濾波器獲取新的變量x3d

(26)

3)設(shè)計(jì)x4的虛擬控制律

定義新的誤差變量為s3=x3-x3d，結(jié)合式(9) 可得s3的微分如下：

(27)

以x4作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x4c為

(28)

同樣設(shè)計(jì)干擾觀測器如下：

(29)

(30)

引入一階濾波器以獲取新的變量x4d

(31)

4)設(shè)計(jì)一體化制導(dǎo)控制律u

定義新的誤差變量為s4=x4-x4d，結(jié)合式(9) 可得s4的微分如下：

(32)

由此可以設(shè)計(jì)控制律u為

(33)

類似式(17)～(20)，設(shè)計(jì)干擾觀測器如下：

(34)

(35)

定義上述推導(dǎo)過程的邊界層誤差變量為

yi=xid-xic,i=2,3,4

(36)

將式(21)、(26)、(31)代入式(36)并結(jié)合假設(shè)3可知

(37)

根據(jù)引理2可知：

(38)

定義中間變量的自適應(yīng)律估計(jì)偏差如下

(39)

根據(jù)干擾觀測器(20)、 (24)、 (29)、 (34)可知估計(jì)誤差的導(dǎo)數(shù)為

(40)

定義干擾觀測器估計(jì)誤差為

(41)

由此可知：

(42)

將式(36)代入式(15)、 (22)、 (27)、 (32)和(36)可得：

(43)

(44)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1. 對于捷聯(lián)制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)(8)，采用控制器(33)，如果系統(tǒng)初始體視線角滿足|x1(0)|

1)系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差最終穩(wěn)定收斂至有界集合內(nèi)。

2)受限狀態(tài)x1始終滿足體視線約束|x1|

3)閉環(huán)系統(tǒng)所有信息均一致有界。

證. 為了確保體視線高低角滿足式(10)的約束，設(shè)計(jì)積分型障礙Lyapunov函數(shù)如下：

V=V1+V2+V3+V4

(45)

其中，各個(gè)變量定義如下：

(46)

(47)

(48)

(49)

根據(jù)引理1對式(45)求導(dǎo)可得：

(50)

分別將式(37)、(40)和(44)代入式(50)可得：

(51)

(52)

進(jìn)一步可得：

(53)

同時(shí)還能得到：

(54)

將式(52)～(54)代入式(51)可得如下不等式成立：

(55)

根據(jù)式(12)可知：

(56)

選擇參數(shù)L,D>0，使得：

(57)

則可得如下不等式成立：

(58)

對式(58)進(jìn)行積分可得：

(59)

1) 末制導(dǎo)開始時(shí)刻目標(biāo)處于導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)，即|x1(0)|

(60)

因此根據(jù)式(59)容易得到：

(61)

2) 式(58)則表明整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中V是有界的，并且初始時(shí)刻|x1(0)|

3) 根據(jù)結(jié)論1～2及引理3可知，系統(tǒng)狀態(tài)、跟蹤誤差有界；在此基礎(chǔ)上根據(jù)式(16)、(23)、(28)和(33)可知，所有虛擬控制量及一體化制導(dǎo)控制信號(hào)都是有界的，即閉環(huán)系統(tǒng)所有信息均一致有界。

注1. 導(dǎo)彈捷聯(lián)導(dǎo)引頭通常存在盲區(qū)，當(dāng)彈目距離小于一定數(shù)值時(shí)導(dǎo)引頭輸出信息無效，此后導(dǎo)彈慣性飛行直至命中目標(biāo)。對于激光半主動(dòng)導(dǎo)引頭而言其盲區(qū)實(shí)測結(jié)果通常約為10～40 m，由此可知式(57)中與相對距離R相關(guān)的k2,τ2不存在奇異問題。

注2. 本文使用干擾觀測器對不確定性進(jìn)行估計(jì)，并且將其平方信息引入設(shè)計(jì)過程，避免符號(hào)項(xiàng)的使用，由此綜合得到了光滑的虛擬控制規(guī)律及最終的一體化導(dǎo)引控制規(guī)律。

3 仿真校驗(yàn)

以某型導(dǎo)彈為例進(jìn)行仿真校驗(yàn)，導(dǎo)彈參數(shù)、IGC控制參數(shù)及初始場景設(shè)置分別見表1、表2和表3。

表1 導(dǎo)彈參數(shù)Table 1 The missile parameters

場景1:At=20sin(2πt)m/s2,視場角約束分別為8°，8.5°和9°，標(biāo)稱氣動(dòng)下的結(jié)果見圖2～圖5。

場景2: 目標(biāo)方波機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)加速度幅值為At=20 m/s2，視場角約束設(shè)置為8°，得到的干擾估計(jì)結(jié)果如圖6所示。

場景3:At=20sin(2πt)m/s2，視場角約束分別設(shè)置為8°，氣動(dòng)拉偏下的仿真結(jié)果如圖7所示。

表2 控制參數(shù)Table 2 Parameters used in the control algorithm

圖2 體視線角曲線

圖3 舵偏角曲線

不同場景下的仿真脫靶量總結(jié)于表4中。從表4可以看出，不同場景下均能實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的精確攔截。此外，從圖2～圖7還可以得到的以下結(jié)論：

1) 從圖2可以看出，三種不同視場角約束均能滿足要求，符合文中定理1的結(jié)論2；從圖3的局部可以看出，視場角約束越嚴(yán)格，所得到的精確打擊末端的舵偏角越大，并且所得到的舵偏角光滑并且非奇異，這與式(33)的數(shù)學(xué)特性相一致；從圖4和圖5可以看出，不同視場角約束下，虛擬控制量跟蹤誤差和動(dòng)態(tài)面的邊界層誤差均快速收斂至零附近鄰域內(nèi)，符合文中定理1的結(jié)論3。

圖4 虛擬控制跟蹤誤差

圖5 邊界層誤差

圖6 干擾觀測器估計(jì)

圖7 氣動(dòng)拉偏仿真結(jié)果

2) 從圖6可以看出，干擾觀測器估計(jì)工作狀態(tài)良好，能夠?qū)崿F(xiàn)對不確定性的精確估計(jì)。

3) 從圖7可以看出，針對氣動(dòng)偏差帶來的不確定性，本文所提出的一體化制導(dǎo)控制規(guī)律依然能夠有效應(yīng)對，其原因是干擾觀測器對系統(tǒng)的總和擾動(dòng)進(jìn)行了估計(jì)，然后在控制律中對其進(jìn)行了有效補(bǔ)償。

表3 初始仿真場景Table 3 Initial simulation scenario

表4 仿真結(jié)果Table 4 Simulation results

將式(46)中的iBLF替換為式(62)所示的二次型Lyapunov函數(shù)，可得到傳統(tǒng)的一體化控制律如式(63)所示，其他過程控制量及干擾觀測器設(shè)計(jì)不變。

(62)

(63)

將本文方法和傳統(tǒng)方法分別記為iBLF-IGC和QLF-IGC，選擇同樣的控制參數(shù)和初始場景進(jìn)行仿真。從圖8可以看出，視場角為±7°的條件下，傳統(tǒng)方法的體視線角不滿足約束條件，而本文所提方法則可以一直保證±7°視場約束。

圖8 與傳統(tǒng)方法的對比結(jié)果

4 結(jié) 論

全捷聯(lián)導(dǎo)引頭探測器與彈體固聯(lián)，使其視線測量與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)強(qiáng)烈耦合，針對此問題本文提出了一種考慮視場角約束的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。

該方法采用非線性干擾觀測器可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)機(jī)動(dòng)與氣動(dòng)擾動(dòng)帶來的模型不確定進(jìn)行在線精確估計(jì)，并將估計(jì)值的平方引入動(dòng)態(tài)面設(shè)計(jì)中；采用積分型障礙Lyapunov函數(shù)進(jìn)行虛擬控制設(shè)計(jì)可以有效解決視場角約束問題；通過Lyapunov穩(wěn)定性定理可以證明閉環(huán)系統(tǒng)的有界穩(wěn)定特性。