夏時(shí)宇，徐 波

(南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京 210023)

0 引 言

迄今為止，人類已經(jīng)成功進(jìn)行了對太陽系內(nèi)所有行星的無人探測和對月球的登陸探測。對載人火星探測任務(wù)的研究也逐漸升溫，其中關(guān)于軌道設(shè)計(jì)的研究對于任務(wù)的成功實(shí)施具有十分重要的意義。

載人探測任務(wù)的復(fù)雜性和危險(xiǎn)性都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于無人任務(wù)，對保障航天員安全返回地球提出了更高的要求。為此研究人員提出了自由返回軌道(Free return trajectory)的概念[1]。自由返回軌道是指航天器不需要自身提供變軌能量(或僅提供很少的變軌能量)，通過其他天體的借力飛行，就可以無動(dòng)力返回地球，因此適合作為載人探測任務(wù)故障模式下的中止軌道。自由返回軌道可以作為航天器的初始轉(zhuǎn)移軌道，如果任務(wù)正常進(jìn)行，則僅需要對軌道進(jìn)行少量修正即可在目標(biāo)天體正常入軌，如果發(fā)生系統(tǒng)故障，則能夠保證航天員安全返回地球。

自由返回軌道最早應(yīng)用于對月球的探測，如蘇聯(lián)的月球3號(hào)任務(wù)和美國的阿波羅8、10、11號(hào)任務(wù)。Berry[1]對阿波羅11號(hào)任務(wù)中的自由返回軌道、發(fā)射窗口以及約束條件等問題進(jìn)行了研究。黃文德等[2]基于雙二體假設(shè)給出了月球自由返回軌道的設(shè)計(jì)方法，并對軌道傾角、拼接點(diǎn)分布等參數(shù)進(jìn)行了特性分析。文獻(xiàn)[3-4]基于圓錐曲線拼接提出了一種兩段式月球自由返回軌道設(shè)計(jì)方法，具有精度高、收斂快的特點(diǎn)。自由返回軌道也被推廣到火星探測任務(wù)的研究中。Patel等[5]在飛行時(shí)間約束和發(fā)射能量約束條件下研究了火星自由返回軌道，發(fā)現(xiàn)了總飛行時(shí)間分別為1.5年、2年和3年的三類自由返回軌道。李楨[6]針對載人火星探測任務(wù)，對比研究了地球-火星-地球，地球-火星-金星-地球，地球-金星-火星-地球三類自由返回軌道，并提出使用Tisserand準(zhǔn)則進(jìn)行軌道參數(shù)的初步設(shè)計(jì)。

火星自由返回軌道通常需要使用引力輔助(Gravity assist，GA)。但引力輔助技術(shù)受到借力天體的力學(xué)性質(zhì)以及軌道近拱點(diǎn)高度約束，使得航天器雙曲線剩余速度v∞偏轉(zhuǎn)角度較小，加速效果有限，轉(zhuǎn)移飛行時(shí)間通常較長，不利于航天器在出現(xiàn)故障時(shí)快速返回地球。

為解決偏轉(zhuǎn)角度較小的問題，美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室于1982年提出氣動(dòng)引力輔助(Aerogravity assist，AGA)變軌技術(shù)[7]，如圖1所示，v∞-為初始雙曲剩余速度， Δθ為大氣飛行段轉(zhuǎn)角，v∞+為經(jīng)過AGA后的雙曲剩余速度，φ為速度矢量偏轉(zhuǎn)角?；鹦怯捎谫|(zhì)量較小，其引力輔助能力也因此較弱[8]，使用AGA可以極大地增加速度偏轉(zhuǎn)角，獲得更好的加速效果，進(jìn)而減少所需的借力飛行次數(shù)與飛行時(shí)間[9]。

圖1 氣動(dòng)引力輔助示意圖

氣動(dòng)引力輔助技術(shù)由于其可能帶來的巨大收益得到了大量研究。文獻(xiàn)[10-11]對大氣飛行段進(jìn)行軌跡優(yōu)化，在熱負(fù)載約束條件下實(shí)現(xiàn)最大化飛出速度。文獻(xiàn)[12-13]設(shè)計(jì)了基于預(yù)測校正的制導(dǎo)算法，可以有效克服入軌誤差、大氣密度誤差所帶來的不利影響，保證氣動(dòng)引力輔助的可靠性和準(zhǔn)確性。Mazzaracchio[14]設(shè)計(jì)了一種基于飛行路徑角的制導(dǎo)算法，并指出熱負(fù)載是氣動(dòng)引力輔助的最主要約束條件。Jesick[15]提出了一種在火星進(jìn)行兩次AGA的自由返回軌道，具有較小的雙曲剩余速度。喬棟等[16]以探測小行星Ivar為例，提出一種將繪制等高線圖和圓錐曲線拼接相結(jié)合的AGA轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法，該文獻(xiàn)采用了文獻(xiàn)[17]中提出的簡化大氣飛行段模型。

現(xiàn)有利用氣動(dòng)引力輔助技術(shù)的軌道設(shè)計(jì)研究中，通常將大氣飛行段簡化為水平飛行[9, 15-17]，而忽略了下降和上升過程，與真實(shí)的飛行過程不符。為解決這一問題，本文提出一種三段式氣動(dòng)引力輔助模型，將大氣飛行段分為下降段、平飛段和上升段，使用大氣飛行角和航跡角描述飛行過程，并建立了相應(yīng)的計(jì)算模型。

本文第1節(jié)給出了自由返回軌道相關(guān)的計(jì)算模型，其中包括引力輔助模型，氣動(dòng)引力輔助模型和軌道優(yōu)化模型。第2節(jié)分別對“地球-火星-地球”、“地球-火星-金星-地球”和“地球-金星-火星-地球”三種序列進(jìn)行了軌道優(yōu)化，對比了本文提出的三段式模型和現(xiàn)有文獻(xiàn)中的簡化模型給出的優(yōu)化結(jié)果，并分析了氣動(dòng)引力輔助對自由返回軌道性能的影響。第3節(jié)對全文進(jìn)行了總結(jié)。

1 計(jì)算模型

1.1 引力輔助模型

自由返回軌道通常采用圓錐曲線拼接方式構(gòu)造。航天器在行星間轉(zhuǎn)移軌道段僅考慮太陽引力，航天器相對太陽做二體運(yùn)動(dòng)。在借力飛行段僅考慮借力天體引力，并計(jì)算引力輔助引起的相對速度偏轉(zhuǎn)角φ以及慣性系下的飛出速度V∞+，引力輔助速度矢量關(guān)系如圖2所示。其中，Vp,V∞-,V∞+分別為在慣性系下借力天體以及航天器借力飛行前后的速度，v∞-,v∞+為航天器借力飛行前后的雙曲線剩余速度。速度偏轉(zhuǎn)角φ可用下式計(jì)算，

(1)

式中：r0為軌道近心距，μ為借力天體引力常數(shù)。引力輔助過程中沒有能量消耗，因此v∞-與v∞+相等。由于r0不能小于借力天體的半徑，速度偏轉(zhuǎn)角φ是有上限的。

圖2 引力輔助速度矢量關(guān)系

1.2 氣動(dòng)引力輔助模型

氣動(dòng)引力輔助的速度矢量關(guān)系與引力輔助類似，主要區(qū)別在于大氣飛行過程會(huì)導(dǎo)致一部分速度損失ΔVaero，如圖3所示。本節(jié)介紹三段式氣動(dòng)引力輔助模型以及速度偏轉(zhuǎn)角φ和雙曲剩余速度v∞+的計(jì)算。

圖3 氣動(dòng)引力輔助速度矢量關(guān)系

本文提出將大氣飛行段劃分為下降段、平飛段和上升段，如圖4所示。其中h,θ,v,γ分別為高度、大氣飛行角、速度和航跡角，Δθ為航天器在各段飛過的角度。在下降段，航天器以初始狀態(tài)h0,θ0,v0,γ0進(jìn)入大氣層并逐漸下降，經(jīng)過Δθd后到達(dá)平飛高度。在平飛段，航天器保持水平飛行狀態(tài)飛過Δθe。在上升段，航天器高度逐漸增大，經(jīng)過Δθa后以末狀態(tài)hf,θf,vf,γf飛出大氣層。下面分別對這三個(gè)階段進(jìn)行計(jì)算。

圖4 下降段、平飛段和上升段

1)下降段

由于下降段過程主要發(fā)生在大氣密度較低的高層大氣，因此可以近似認(rèn)為下降段速度大小保持不變，即

v≡v0

(2)

同時(shí)根據(jù)多個(gè)文獻(xiàn)中對氣動(dòng)引力輔助的仿真結(jié)果[12-14],下降段航跡角為小量且隨時(shí)間近似線性變化,即

γ=at+γ0

(3)

式中:a為待求系數(shù)。

因此可以得到下降段運(yùn)動(dòng)方程，

(4)

(5)

式(5)中由于火星大氣層高度遠(yuǎn)小于火星半徑，因此可認(rèn)為r≈r0。

積分式(4)得

(6)

式中:te 0為下降段結(jié)束時(shí)間，he 0為下降段結(jié)束時(shí)高度。

將γ(te 0)=0代入式(3)得，

ate 0+γ0=0

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)可求得

(8)

將式(5)自變量換為γ得，

(9)

積分得到，

(10)

因此下降段航天器飛過的角度Δθd可由式(10)計(jì)算得到，其中h0,r0,γ0由初始狀態(tài)確定，he 0可采用以下方式計(jì)算。

當(dāng)航天器進(jìn)入平飛狀態(tài)時(shí)，由豎直方向受力平衡得，

(11)

式中:L,β,λ分別為升力加速度，航天器彈道系數(shù)和升阻比。

大氣密度隨高度指數(shù)分布，即

(12)

式中:ρ0,hs分別為參考大氣密度和密度標(biāo)高。

將式(11)代入式(12)得到進(jìn)入平飛狀態(tài)時(shí)的高度，

(13)

2)平飛段

航天器速度的減小主要發(fā)生在平飛段，其速度減小可通過文獻(xiàn)[9]中模型計(jì)算，計(jì)算方式如下，

(14)

式中:D為阻力加速度，將式(14)代入式(5)并取γ=0，得到速度隨大氣飛行角的變化，

(15)

將式(11)代入式(15)，得

(16)

由于航天器處在平飛狀態(tài)，gr為常數(shù)，可近似取火星表面處數(shù)值。積分式(16)可得平飛段末速度與飛過的角度Δθe之間的關(guān)系，

(17)

相應(yīng)的雙曲線剩余速度關(guān)系為

(18)

3)上升段

上升段的計(jì)算與下降段類似，可以看作下降段的逆過程，即

(19)

式中:hf=h0,rf=r0，飛出大氣層時(shí)的航跡角可近似為γf=-γ0，vf可通過式(17)計(jì)算。

4)速度矢量偏轉(zhuǎn)計(jì)算

氣動(dòng)引力輔助過程中雙曲剩余速度矢量大小的減小可以通過式(18)計(jì)算得到。而速度矢量的偏轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖5所示，其中δ-,δ+分別為v∞-,v∞+與大氣邊緣的夾角。Δθd,Δθe,Δθa分別為下降段、平飛段和上升段飛過的角度。

圖5 氣動(dòng)引力輔助速度偏轉(zhuǎn)角

從圖5幾何關(guān)系可以看出，氣動(dòng)引力輔助過程中總速度偏轉(zhuǎn)角為，

φ=δ-+Δθ+δ+=δ-+Δθd+Δθe+Δθa+δ+

(20)

式中:δ-,δ+可通過經(jīng)典軌道力學(xué)計(jì)算得到，

(21)

式中:e,f為雙曲線軌道的偏心率和航天器的真近點(diǎn)角，可使用以下公式計(jì)算，

(22)

將航天器進(jìn)入大氣以及飛出大氣時(shí)的v,r,γ代入即可計(jì)算得到δ-,δ+。

1.3 軌道優(yōu)化模型

對于自由返回軌道，航天器從地球出發(fā)，經(jīng)過N次借力飛行最終返回地球。因此進(jìn)行軌道優(yōu)化時(shí)，最小化目標(biāo)函數(shù)為

(23)

對于引力輔助的自由返回軌道，優(yōu)化變量取為t0,t1,…,tN,tN+1;r1,…,rN。其中，t0,tN+1分別為地球出發(fā)和返回時(shí)間；t1,…,tN和r1,…,rN為到達(dá)各借力天體的時(shí)間和近心距。

約束條件為

(24)

即地球出發(fā)時(shí)間t0在2033年到2036年范圍內(nèi)，各天體處近心距應(yīng)至少高于天體半徑200 km，且雙曲剩余速度在引力輔助前后不改變大小。

對于氣動(dòng)引力輔助的自由返回軌道，優(yōu)化變量取為t0,t1,…,tN,tN+1; Δθ1,…,ΔθN;γ1,…,γN。其中,Δθ1,…,ΔθN和γ1,…,γN分別為各借力天體處大氣飛行角和進(jìn)入大氣時(shí)的航跡角。

約束條件為

(25)

2 軌道優(yōu)化結(jié)果

本節(jié)研究了“地球-火星-地球(E-M-E)”、“地球-火星-金星-地球(E-M-V-E)”和“地球-金星-火星-地球(E-V-M-E)”三種火星自由返回軌道序列。金星的質(zhì)量和軌道特性使其成為載人火星任務(wù)的首選引力輔助天體[6]，因此在后兩種序列中，利用了金星引力輔助實(shí)現(xiàn)自由返回軌道。研究中分別對比了采用引力輔助模型、本文提出的三段式氣動(dòng)引力輔助模型和現(xiàn)有文獻(xiàn)中簡化氣動(dòng)引力輔助模型[17]的優(yōu)化結(jié)果。

2.1 E-M-E序列

E-M-E序列只需要一次借力飛行，是最簡單的火星自由返回軌道。航天器從地球出發(fā)，進(jìn)入火星轉(zhuǎn)移軌道。如果任務(wù)正常進(jìn)行，則可以在火星近拱點(diǎn)處減速，進(jìn)入環(huán)火軌道。如果任務(wù)終止，則不進(jìn)行減速制動(dòng)，直接返回地球。根據(jù)第1.3節(jié)優(yōu)化模型搜索得到的燃料最優(yōu)自由返回軌道如圖6所示。

圖6 E-M-E自由返回軌道

轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見表1，其中GA為采用引力輔助的軌道，AGA1為采用三段式氣動(dòng)引力輔助模型的軌道，AGA2為采用簡化氣動(dòng)引力輔助模型的軌道。

對比GA和AGA1軌道可以發(fā)現(xiàn)，使用氣動(dòng)引力輔助可以將飛行總時(shí)間減少125 d，其中返航時(shí)間可以減少102 d，因此非常適合需要快速返回地球中止軌道任務(wù)，同時(shí)燃料消耗減少約2.5 km/s。對比兩種軌道的V∞速度，可以發(fā)現(xiàn)V∞E1基本保持不變，V∞M增大了1.21 km/s，而V∞E2減小了3.31 km/s。

對比AGA1和AGA2軌道可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)本文提出的氣動(dòng)引力輔助模型計(jì)算得到的軌道與現(xiàn)有模型計(jì)算得到的軌道參數(shù)基本一致，驗(yàn)證了本文模型的正確性。兩個(gè)軌道的主要區(qū)別在于AGA1軌道的大氣飛行角ΔθM比AGA2軌道大23°，這主要是由于簡化模型中沒有考慮下降段與上升段對大氣飛行角的貢獻(xiàn)。同時(shí)AGA1軌道還給出了大氣飛行段的初始航跡角，可作為高精度氣動(dòng)引力輔助仿真的初始值。

表1 E-M-E自由返回軌道參數(shù)Table 1 Parameters of E-M-E free return trajectory

E-M-E自由返回軌道燃料消耗以及V∞速度較大，對火箭運(yùn)載能力的要求較高，但由于具有出航和返航時(shí)間較短的優(yōu)勢，很適合作為載人任務(wù)的軌道。

2.2 E-M-V-E序列

E-M-V-E自由返回軌道到達(dá)火星后并不直接返回地球，而是相繼經(jīng)過火星和金星兩次引力輔助后返回地球。根據(jù)第1.3節(jié)優(yōu)化模型搜索得到的燃料最優(yōu)自由返回軌道如圖7所示。

圖7 E-M-V-E自由返回軌道

轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見表2，其中GA為采用引力輔助的軌道，AGA1為采用三段式氣動(dòng)引力輔助模型的軌道，AGA2為采用簡化氣動(dòng)引力輔助模型的軌道。

對于E-M-V-E自由返回軌道，AGA1在燃料消耗減少1.28 km/s的基礎(chǔ)上，總飛行時(shí)間減少132 d。地火轉(zhuǎn)移時(shí)間減少89 d，降低約43%，極大地加快了出航過程。由于到達(dá)火星時(shí)與火星軌道速度夾角較大，如圖7所示，其V∞M也較大，不利于在火星正常入軌。

AGA軌道在火星處使用了氣動(dòng)引力輔助技術(shù)，而在金星處則僅使用引力輔助。這是由于金星的引力輔助能力較強(qiáng)，可以達(dá)到指定的速度偏轉(zhuǎn)角，如果使用氣動(dòng)引力輔助，反而會(huì)導(dǎo)致速度降低，增加燃料消耗。

表2 E-M-V-E自由返回軌道參數(shù)Table 2 Parameters of E-M-V-E free return trajectory

與第2.1節(jié)類似，AGA1與AGA2軌道優(yōu)化結(jié)果基本一致，其中AGA1軌道由于包括下降段和上升段，大氣飛行角比AGA2軌道大。

由于使用了兩次引力輔助，E-M-V-E序列相對E-M-E序列更加復(fù)雜，返航時(shí)間也更長，不利于故障模式下航天器快速返回地球。但由于其燃料消耗較少，出航時(shí)間較短，地球出發(fā)和到達(dá)V∞速度較低，有利于工程實(shí)現(xiàn)。

2.3 E-V-M-E序列

E-V-M-E序列與E-M-V-E序列類似，同樣使用金星引力輔助，區(qū)別僅在于到達(dá)火星與金星的先后順序，因此其優(yōu)化過程也與E-M-V-E序列類似。搜索得到的燃料最優(yōu)自由返回軌道如圖8所示。

圖8 E-V-M-E自由返回軌道

兩條轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見表3。其中GA為采用引力輔助的軌道，AGA1為采用三段式氣動(dòng)引力輔助模型的軌道，AGA2為采用簡化氣動(dòng)引力輔助模型的軌道。

表3 E-V-M-E自由返回軌道參數(shù)Table 3 Parameters of E-V-M-E free return trajectory

由表3可知，AGA1在燃料消耗減少約2.4 km/s的基礎(chǔ)上，相對于GA軌道飛行總時(shí)間僅減少27 d，效果不如之前兩種序列。這主要是由于金星較強(qiáng)的引力輔助能力使航天器進(jìn)入較為理想的轉(zhuǎn)移軌道。

AGA1軌道與AGA2軌道參數(shù)基本一致，主要區(qū)別在于大氣飛行角的不同，這與前兩節(jié)的結(jié)論是一致的。

E-V-M-E序列出航時(shí)間較長，不利于正常任務(wù)的進(jìn)行，但其較短的返航時(shí)間和較小的出發(fā)和返回雙曲剩余速度對于故障模式下快速返回地球十分有利，同時(shí)其燃料消耗是三種序列中最小的。

3 結(jié)束語

本文對基于氣動(dòng)引力輔助的火星自由返回軌道進(jìn)行了研究。針對現(xiàn)有研究中氣動(dòng)引力輔助模型過于簡化，提出將大氣飛行過程分為下降段、平飛段以及上升段三個(gè)階段，使用大氣飛行角Δθ和航跡角γ來描述氣動(dòng)引力輔助過程，并分別建立了各段的計(jì)算模型。

本文分別對E-M-E,E-M-V-E和E-V-M-E三種火星自由返回軌道序列進(jìn)行了計(jì)算分析，比較了引力輔助模型、三段式氣動(dòng)引力輔助模型以及簡化氣動(dòng)引力輔助模型。計(jì)算結(jié)果表明，根據(jù)本文提出的氣動(dòng)引力輔助模型計(jì)算得到的轉(zhuǎn)移軌道與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果類似，主要區(qū)別在于大氣飛行角的大小?，F(xiàn)有文獻(xiàn)模型由于忽略了下降段和上升段，其大氣飛行角被明顯低估，而本文提出的模型由于更接近真實(shí)的飛行過程，可以更準(zhǔn)確地計(jì)算出大氣飛行角并給出相應(yīng)的航跡角。該模型還給出了大氣飛行段的初始航跡角，可作為高精度氣動(dòng)引力輔助仿真的初始值。計(jì)算結(jié)果同時(shí)表明，對于三種自由返回軌道序列，氣動(dòng)引力輔助技術(shù)可以顯著提升自由返回軌道性能，如降低出航和返航時(shí)間，降低燃料消耗等。雖然氣動(dòng)引力輔助由于其技術(shù)上的復(fù)雜性而未能在以往的航天任務(wù)中得到應(yīng)用，但隨著航天技術(shù)的不斷進(jìn)步，這種技術(shù)必將得到更廣泛的應(yīng)用。