曲 揚， 羅永峰， 黃青隆， 朱釗辰

(同濟大學 土木工程學院，上海 200092)

近年來歷次強震都表明，許多結構震害都有豎向地震作用的痕跡，甚至不乏由其直接導致的震害，例如汶川地震中強烈的豎向地震分量對一些大跨度結構造成了嚴重破壞[1-4]，因此，在大跨度結構抗震設計中，必須重視豎向地震作用引起的結構動力響應[5].

在諸多大跨度結構體系中，格構拱由于材料利用率高、施工方便等優(yōu)點，廣泛應用于火車站屋蓋等大跨度結構中.目前，格構拱結構在罕遇地震下的彈塑性地震反應多采用時程分析(RHA)方法[6]和靜力推覆分析(SPA)方法[7]進行計算，相較于前者，SPA方法既可以考察結構的彈塑性力學行為，滿足性能化抗震設計多階段、多水準的要求，又能夠大大節(jié)省運算成本，因而廣泛應用于大跨度結構彈塑性地震反應的預測和評估[8-9].

已有國內外學者對靜力推覆分析方法用于評估大跨度結構在豎向地震作用下動力響應的適用性進行了研究.錢稼茹等[10]對國家體育場大跨度鋼結構進行罕遇地震下的推覆分析，指出采用現有SPA方法難以實現大跨度鋼結構豎向地震響應評估.楊木旺等[11-12]沿用SPA方法的思路，建立了評估大跨度空間結構豎向抗震性能的Pushdown(推倒)方法，但該方法難以應用于格構拱一類水平和豎向位移耦合顯著的結構.相陽、羅永峰等[13-14]基于模態(tài)推覆分析方法提出了EMPA方法，該方法初步解決了水平地震作用下格構拱結構的位移耦合問題，但未能應用于豎向地震作用下的結構響應評估，且僅考慮了一階振型的影響.Ohsaki等[15]針對大跨度格構拱結構提出了一種多模態(tài)線性組合的推覆分析方法，雖然考慮了位移耦合和多階振型，但多次組合模態(tài)進行推覆分析的方法，既缺乏物理意義解釋，也喪失了簡潔性.因此，關于大跨度結構在豎向地震作用下的動力響應評估，現有SPA方法仍無法兼顧解決位移相互耦合顯著、推覆曲線特征節(jié)點難以選取、低估多階振型及其組合方法的影響等問題，其根本原因在于原本適用于多高層結構的SPA方法，難以直接應用于振型密集且復雜、位移耦合顯著、荷載-位移關系不夠直觀的大跨度結構.

針對上述問題，本文基于靜力穩(wěn)定分析中特征剛度[16-17]的概念，提出適用于評估大跨度格構拱結構在豎向地震作用下動力響應的改進模態(tài)推覆分析(IMPA)方法及其計算步驟，該方法基于特征剛度建立了等效單自由度體系，避免了推覆曲線選點的問題，并推導出推覆荷載公式，通過兩階段推覆分析考慮位移耦合與多階振型的影響.選取一個大跨度格構拱結構，對結構分別在硬土和軟土場地若干條豎向地震波激勵下的動力響應進行計算，并與RHA方法進行對比，以驗證IMPA方法的適用性與實用性.

1 基于特征剛度的IMPA方法基本理論

1.1 第一階段推覆分析與ESDOF體系

(1)

式中：u(t)為由于豎向地震作用產生的結構體系動力位移向量；M和C分別為結構體系的廣義質量矩陣和阻尼矩陣；lz為豎向影響因子.Fs(t)為結構體系恢復力向量，與當前變形狀態(tài)和加載歷史相關.

將線性體系模態(tài)分解方法引入非線性分析中，假定非線性體系的廣義動力位移向量可以分解為

(2)

式中：φl和ql(t)分別為第l階振型的振型向量和廣義振型坐標.

(3)

(4)

取qn(t)=ΓnDn(t)，考慮到振型參與系數Γn=Ln/Mn，整理得

(5)

為通過推覆分析得到An-Dn的關系，需要建立ESDOF體系.引入結構靜力穩(wěn)定分析中的結構特征剛度k*，該參數可表征結構的整體剛度，反映結構抵抗變形的能力.在對結構進行加載分析的過程中，第j荷載步的特征剛度為

(6)

式中：KT,j、ΔUj和ΔFj分別為第j荷載步切線剛度矩陣、位移增量和荷載增量.

在線彈性階段，與第n階豎向振型相關的位移響應可表示為un(t)=φnΓnDn(t)，相應的恢復力為

(7)

對結構進行第一階段的模態(tài)推覆分析，則第j荷載步的推覆荷載Fn,j可表示為

(8)

(9)

(10)

進入非線性階段，由于剛度退化，振型已不同于線彈性階段，但考慮到相互之間耦聯性較弱，故而推覆分析第j荷載步的推覆荷載和偽加速度增量仍可用式(8)和式(9)表示，此時定義等效荷載增量ΔFn,j和等效位移增量Δdn,j為

ΔFn,j=mn,eq(An,j-An,j-1)

(11)

(12)

對比式(10)和式(12)可知，等效位移增量Δdn,j即為振型位移增量ΔDn,j，從而得到了An-Dn關系.

由于重力已在結構中產生了變形，因此，在豎向地震作用下，結構豎直向上和向下的荷載-位移關系不同，即在豎直方向的剛度上下不對稱，因此，需對結構按照第n階豎向振型分別進行豎直向上和向下的推覆分析，得到An+-Dn+和An--Dn-，兩者結合即為結構在豎直方向上的An-Dn的關系，從而建立基于特征剛度k*的ESDOF體系，進而通過式(5)求出振型位移響應Dn(t)，代入式(2)即可求出結構總動力位移響應u(t).

1.2 第二階段推覆分析與推覆荷載

僅取前兩階豎向振型為例.通過對前兩階豎向振型ESDOF進行RHA求解，可得結構總動力位移響應時程為

u(t)=φ1q1(t)+φ2q2(t)

(13)

在重力作用下，結構的響應為ug，則結構總位移響應時程為

ut(t)=φ1q1(t)+φ2q2(t)+ug

(14)

umax=φ1q1(tmax)+φ2q2(tmax)

(15)

為得到目標性能點處的其他響應(如單元應力等)，在重力作用的基礎上，以umax為位移模式進行第二階段非線性推覆分析.為簡便起見，取q1=q1(tmax)，q2=q2(tmax)，則umax=φ1q1+φ2q2.

在線彈性階段，第j荷載步的推覆荷載Pj為

(16)

(17)

(18)

將線彈性階段的推覆荷載推廣到非線性階段，仍取第j荷載步的推覆荷載為

(19)

一般地，取前n階豎向振型進行第二階段推覆分析，其中，第j荷載步的推覆荷載為

(20)

1.3 IMPA方法計算步驟

計算步驟如下：

(1) 進行結構模態(tài)分析，選取主振型，確定各階主振型的荷載空間分布模式；

(2) 根據各主振型的荷載空間分布模式，對結構分別進行第一階段非線性模態(tài)推覆分析，得到各主振型荷載模式下的特征剛度變化；

(3) 基于各主振型的特征剛度，建立對應各主振型的等效單自由度(ESDOF)體系；

(4) 針對對應各主振型的ESDOF進行時程分析，得到各ESDOF的位移響應時程；

(5) 將各ESDOF位移響應時程按振型組合，得到結構整體位移響應時程u(t)；

(6) 取u(t)的最不利位移作為變形模式，以式(20)中的Pj為推覆荷載，對結構整體進行第二階段推覆分析，得到結構在地震作用下的總響應.

2 數值算例

為驗證提出的IMPA方法的適用性，采用ANSYS對一個大跨度格構拱結構進行推覆分析和時程分析，以節(jié)點位移、最不利單元應力以及計算耗時作為對比參數，分析IMPA方法的誤差和效率.

2.1 格構拱結構模型

結構跨度36 m，矢高12 m，拱厚度1 m，矢跨比1/3，外環(huán)節(jié)點集中質量0.5 t，內環(huán)節(jié)點集中質量0.2 t，兩端固定鉸支座，桿件截面如圖1所示，材料為Q235鋼，采用雙線性隨動強化模型，彈性模量206 GPa，屈服強度235 MPa，屈服后彈性模量0.8 GPa.拱結構節(jié)點編號為外環(huán)節(jié)點順時針1～33，內環(huán)節(jié)點順時針34～65.本算例研究結構在豎向地震作用下的動力響應，其豎向主振型信息見表1，振型圖如圖2所示.

圖1 格構拱結構模型及桿件截面(單位：m)Fig.1 Structural layout and member sections of the arch (Unit: m)表1 格構拱結構豎向主振型信息Tab.1 Information of vertical fundamental modes of the arch

振型階數24511周期/s0.280.140.100.04振型參與系數52.5104.648.944.8質量參與系數/%12.248.210.68.9

2.2 ESDOF體系

為兼顧IMPA方法的準確性和簡潔性，本算例選取前兩階豎向主振型進行模態(tài)推覆分析.依據振型參數得到荷載的空間分布模式，對格構拱結構進行靜力非線性推覆分析，得到各ESDOF體系每一荷載步的特征剛度k*、等效荷載增量ΔF和振型位移增量ΔD，進而可得各ESDOF體系的A-D曲線.圖3給出了各ESDOF體系的A-D曲線和k*-D曲線.

a 2階振型

b 4階振型

c 5階振型

d 11階振型圖2 格構拱結構豎向主振型

Fig.2Fundamentalverticalvibrationmodesofthelatticedarch

a 第2階豎向主振型ESDOF體系A-D關系b 第2階豎向主振型ESDOF體系k?-D關系c 第4階豎向主振型ESDOF體系A-D關系d 第4階豎向主振型ESDOF體系k?-D關系

圖3前兩階豎向主振型A-D和k*-D關系曲線

Fig.3A-Dandk*-DcurvesforthemodalESDOFs

2.3 結構動力響應

2.3.1地震動輸入

結構地震反應分析選用日本地球科學與防災技術研究所(NIED)的K-NET、KiK-net強震數據庫中硬土和軟土場地各12條地震波的豎向分量作為地震動輸入，其偽加速度反應譜見圖4.為保證結構在地震作用下進入彈塑性狀態(tài)，本算例將全部24條地震波的峰值加速度調幅至2.0 g.

2.3.2節(jié)點位移響應

采用IMPA方法和RHA方法計算，得到格構拱結構的節(jié)點位移響應如圖5所示.由圖可見，與水平地震動輸入時格構拱結構的動力響應由第一階水平主振型主導[11]不同的是，部分豎向地震動輸入(如地震波spectrum-FS3、spectrum-SS5等)時，格構拱結構的節(jié)點位移響應由第二階豎向主振型主導，故而只考慮第一階豎向主振型顯然低估了結構的地震響應.計算結果表明，采用IMPA方法計算得到的目標性能點處的結構位移響應與RHA方法計算結果比較接近且具有以下特征：兩者計算結果的位移值隨節(jié)點號的分布規(guī)律和變化趨勢基本相同，表明兩者在目標性能點處的結構整體變形模式基本一致；與RHA方法的計算結果相比，IMPA方法在X方向最大位移節(jié)點處位移計算值的平均誤差為16.6%，Z方向最大位移節(jié)點處位移計算值的平均誤差為10.5%，絕大部分節(jié)點誤差在30%以內，表明IMPA方法的計算精度滿足工程要求.

a 硬土場地

b 軟土場地圖4 地震波偽加速度反應譜Fig.4 Pseudo acceleration response spectra of the selected seismic waves

a 硬土場地節(jié)點位移對比

b 軟土場地節(jié)點位移對比圖5 IMPA方法和RHA方法節(jié)點位移計算結果對比Fig.5 Nodal displacement responses given by IMPA and RHA

2.3.3單元最不利應力響應

圖6a為采用IMPA(圖6a)和RHA(圖6b)計算得到的單元最不利應力云圖.由圖可見，兩種方法計算得到單元最不利應力結果比較接近且具有以下特征：兩者應力分布和變化趨勢基本相同，表明兩者在性能點處的單元應力狀態(tài)基本一致；對比RHA方法結果，IMPA方法單元最不利應力計算值平均誤差為33.2%，大部分單元誤差在35%以內.

a 硬土場地單元最不利應力云圖對比

b 軟土場地單元最不利應力云圖對比圖6 IMPA方法和RHA方法單元最不利應力計算結果對比Fig.6 The most unfavorable stresses of elements given by IMPA and RHA

2.4 振型截取階數的精度影響

針對所選取的24條地震波，分別截取前一、二、三、四階豎向主振型進行算例模型IMPA分析，并與RHA方法對比，其豎向最大節(jié)點位移計算值的相對誤差平均值取絕對值見表2.由表可見，隨著振型截取階數的增加，節(jié)點位移隨節(jié)點號的變化趨勢與RHA計算結果的一致性有所提高，并且計算精度也有所提高.需要指出的是，部分豎向地震動輸入(如spectrum-FS3、spectrum-SS5等)采用第一階振型進行IMPA分析，由于結構位移響應由第二階豎向主振型主導，導致誤差會超過30%，因此，采用一階IMPA方法可能會嚴重低估格構拱結構的豎向位移響應.限于篇幅，結構單元最不利應力響應計算精度對比不再贅述.

2.5 計算耗時對比

與對格構拱結構直接進行RHA分析相比，截取不同階主振型進行IMPA分析的計算耗時占比列于表3.綜合表2和表3可見，在保證精計算精度的前提下，IMPA方法計算耗時比RHA明顯減少；隨著振型截取階數的增加，IMPA方法計算耗時也逐漸增加，但相比RHA方法仍然優(yōu)勢顯著.

表2 不同階IMPA與RHA計算精度對比Tab.2 Comparison of computation precision by IMPAs and RHA

表3 不同階IMPA與RHA計算耗時對比Tab.3 Comparison of computation consumption by IMPAs and RHA

3 結論

基于特征剛度的概念，提出適用于評估大跨度格構拱結構在豎向地震作用下動力響應分析的改進模態(tài)推覆分析(IMPA)法，并給出了IMPA方法的理論公式和計算步驟，通過兩種場地條件下的數值算例與RHA方法進行對比分析，得到以下結論：

(1) 提出的IMPA方法克服了傳統(tǒng)模態(tài)推覆分析方法對能力譜的推導依賴于選取某個特征節(jié)點的缺點，便于建立能夠反映結構整體剛度的等效單自由度體系，并推導出第二階段推覆荷載公式，通過對結構進行兩階段推覆分析，避免了SRSS組合方式帶來的方法誤差；

(2) 研究表明，無論硬土還是軟土場地，采用IMPA方法計算豎向地震作用下大跨度格構拱結構的動力響應具有較好的適用性，節(jié)點兩方向位移平均誤差為16.6%和10.5%，單元最不利應力平均誤差為33.2%，計算精度較高；

(3) 理論推導和算例分析都表明，隨著豎向振型截取階數的增加，IMPA方法的計算精度將進一步提高，但計算效率有所下降；

(4) IMPA方法對于大跨度格構拱結構的動力響應分析具有普適性，可推廣至水平地震作用下的結構響應評估，且該方法概念清晰，便于程序化.