山東省鄒平縣第一中學(xué) (256219)

尹雪琪

等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.在文[1][2]中，作者證明了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的一些統(tǒng)一性質(zhì).在文[3]中，作者列舉了等差數(shù)列的一個(gè)有趣性質(zhì)：

本文目的主要是推廣以上的不等式并把等差數(shù)列的結(jié)論推廣到一類(lèi)更廣泛的遞推數(shù)列中去.

對(duì)于右邊不等式，注意到恒等式

完全類(lèi)似的方法可以證明.

注1：當(dāng)k=2時(shí)，不等式(2)即為不等式(1)，這樣定理1推廣了文獻(xiàn)[3]中的不等式.

定理2 設(shè){an}為等差數(shù)列且滿足公差d≥0，a1>0以及k≥2為自然數(shù)，則當(dāng)n≥2時(shí)成立如下不等式：

證明：在不等式(2)中分別令n=1,2,…,n，可以得到：

…

將這n個(gè)等式相加，我們得到不等式(3).

下面考慮更廣泛的一階遞推數(shù)列，即數(shù)列{an}滿足an+1-an=f(n)，f(x)為一個(gè)實(shí)函數(shù)，此數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)此我們有下面的結(jié)論：

證明：利用已知條件，只要注意到等式an+1-an=f(n)以及數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，完全類(lèi)似于定理1與定理2的證明，即可得到不等式(7)和(8)，簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們省略詳細(xì)的證明.特殊情況下，可以得到一些有趣的不等式.