江蘇省常州市前黃中學(xué)國(guó)際分校 (213161)

陸 德 常 蓮

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，解決數(shù)列綜合題和探索性問題既考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法，更凸顯考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力.兩組數(shù)列中的項(xiàng)合并或取公共項(xiàng)后從小到大依次排列形成的新數(shù)列問題一般難度較大，要求較高，需要一定的邏輯推理能力，科學(xué)理性的思維方法.

題型一：兩組數(shù)列項(xiàng)的“并”

例1 (2018年江蘇高考數(shù)學(xué)第14題)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*}，B={x|x=2n,n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12an+1成立的n的最小值為.

解析:(方法一)此題作為小題來(lái)說(shuō)，最優(yōu)解法是列舉法：

所以n的最小值為27.

當(dāng)m=5時(shí),上式為-198>0不成立，此時(shí)n=21；當(dāng)m=6時(shí),上式為226>0成立.此時(shí)n=38,此時(shí)B5=62,現(xiàn)假設(shè)A中共選中t個(gè)數(shù)，則At=t2,Sn>12an+1,即為62+t2>12[2(t+1)-1],整理得t2-24t+50>0.又t∈N+得t=1(舍)或t=2(舍)或t≥22(t∈N+),所以n=t+5≥27,因此n的最小值為27.

評(píng)注：本題考查的是數(shù)列綜合問題，嚴(yán)格解決比較難下手，但列舉法不難得出答案，方法二先指定{an}中的末項(xiàng)2m，通過(guò)對(duì)m的分析間接得出n的精確值.

甘肅渭河流域地處104°35′～106°44′E、34°05′～35°10′N[1]，屬河谷溫暖半濕潤(rùn)氣候區(qū)，年均氣溫10.7 ℃，年降雨量480～610 mm,位置優(yōu)越，交通便利，是重要的西菜東調(diào)基地。韭菜一直是當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)的支柱性產(chǎn)業(yè)，截止2015年，韭菜種植面積0.72萬(wàn)hm2，總產(chǎn)值56 667萬(wàn)元，是全省甚至整個(gè)西北地區(qū)最大的冬春季節(jié)韭菜供應(yīng)基地。由于獨(dú)特的氣候類型及地理位置，韭菜以其產(chǎn)品鮮嫩、營(yíng)養(yǎng)豐富、氣味芳香等特點(diǎn)，深受全國(guó)消費(fèi)者喜愛，產(chǎn)品遠(yuǎn)銷陜西、青海、寧夏、新疆、廣州、武漢、上海等20多個(gè)省、市和地區(qū)。

例2 已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*)，將集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,…

(1)求c1,c2,c3,c4；

(2)求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2,a4,…,a2n,…；

(3)求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.

解析:(1)c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.

(2)(ⅰ)設(shè)a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=bk=2k+7，n∈N*,則k=3n-2，即a2n-1=b3n-2.所以{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng)都能在{bn}找到.

評(píng)注：由于{an}和{bn}的公差分別為3和2，故第(3)問中對(duì){an}中的n從被2除的情況分類討論，對(duì){bn}中的n從被3除的情況分類討論，判斷項(xiàng)的大小，求出數(shù)列的通項(xiàng).本題兩組數(shù)列均為等差數(shù)列.

例3 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，令集合A={a1,a2,…,an,…},B={b1,b2,…,bn,…}n∈N*.將A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}.

(1)若cn=n,n∈N*,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

解析:(1)因?yàn)锳={1,2,…,2n-1,…}，A∪B中的元素按從小到大的順序記為{cn}，且cn=n,n∈N*;又因?yàn)?,6,7?A,則5,6,7∈B,所以等差數(shù)列{bn}的公差為1，且3是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)；因此3只可能是數(shù)列{bn}中的第1,2,3項(xiàng).當(dāng)b1=3時(shí)，則bn=n+2；當(dāng)b2=3時(shí)，則bn=n+1；當(dāng)b3=3時(shí)，則bn=n.

評(píng)注：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，對(duì)元素2采用分類討論的方法求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)分類討論的思想．

題型二兩組數(shù)列項(xiàng)的“交”

例4 兩個(gè)集合A={-3,0,3,6,…,a100}和B={15,19,23,27,…,b100}都各有100個(gè)元素，且每個(gè)集合中元素從小到大都組成等差數(shù)列，則集合A∩B中元素的最大值為.

評(píng)注：求兩數(shù)列中的公共項(xiàng)，即尋求兩組數(shù)列項(xiàng)之間的聯(lián)系，一般令am=bn轉(zhuǎn)化為關(guān)于m,n的不定方程，再根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求解.

例5 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=7n+2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=n2.若將數(shù)列{an}，{bn}中相同的項(xiàng)按從小到大順序排列后記作數(shù)列{cn}，則c9的值是.

解析:(方法一)令am=bn,即7m+2=n2,所以7m-7=n2-9,7(m-1)=(n+3)(n-3),令n+3=7k或n-3=7k,所以n=7k-3(k∈N+)或n=7k+3(k∈N).因此n=4,11,18,25,32,……或n=3,10,17,24,31,……,所以c9=312=961.

(方法二)令am=bn,即7m+2=n2,當(dāng)n=7k+0時(shí),bn=(7k+0)2=7·7k2不符合;當(dāng)n=7k+1時(shí),bn=(7k+1)2=7(7k2+2k)+1不符合;當(dāng)n=7k+2時(shí),bn=(7k+2)2=7(7k2+4k)+4不符合;當(dāng)n=7k+3時(shí),bn=(7k+3)2=7(7k2+6k+1)+2符合;當(dāng)n=7k+4時(shí),bn=(7k+4)2=7(7k2+8k+2)+2符合;當(dāng)n=7k+5時(shí),bn=(7k+5)2=7(7k2+10k+3)+4不符合;當(dāng)n=7k+6時(shí),bn=(7k+6)2=7(7k2+12k+5)+1不符合;所以n=3,10,17,24,31,……或n=4,11,18,25,32,……,所以c9=312=961.