豆中麗，王銳

(1. 重慶工商大學(xué)融智學(xué)院，重慶 400055； 2. 重慶大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

(1)

(2)

由生物學(xué)的實(shí)際意義，我們僅在區(qū)域G={(S,E,I)|S≥0,E≥0,I≥0,S+E+I≤N}中討論模型(2)解的性態(tài)，可以驗(yàn)證G是模型(2)的正向不變集。

1 基本再生數(shù)和無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

其中

令

則

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)p0是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)p0是不穩(wěn)定的。

證明在無(wú)病平衡點(diǎn)p0處線性化系統(tǒng)的Jacobin矩陣為：

系統(tǒng)的特征方程為：

[λ+(r-d)][λ2+(2d+ε+α+δ)λ+

下面證明無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

容易驗(yàn)證函數(shù)V(S,E,I)是正定函數(shù)[8]，求V(S,E,I)沿著方程組(2)軌線的全導(dǎo)數(shù)得：

2 地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

模型(2)在地方病平衡點(diǎn)p*(S*,E*,I*)處的線性化系統(tǒng)的特征矩陣為：

J(p*)=

由于地方病平衡點(diǎn)解的三個(gè)分量S*,E*,I*已經(jīng)表示出來(lái)，但是沒(méi)有給出具體的解，所以矩陣J(p*)的特征值的實(shí)部的正負(fù)性不容易判斷，利用復(fù)合矩陣進(jìn)行判斷一個(gè)3×3矩陣A和它的二階加性復(fù)合矩陣A[2]為[9]：

矩陣J(p*)的二階復(fù)合矩陣J[2](p*)為：

其中

再取D=diag(I*,E*,S*)為對(duì)角矩陣，與矩陣J[2](p*)相似矩陣DJ[2](p*)D-1為：

由R0>1得到，矩陣DJ[2](p*)D-1的對(duì)角線元素均為負(fù)數(shù)，非對(duì)角線元素均為非負(fù)數(shù)。得到矩陣DJ[2](p*)D-1每行元素之和分別為

(3)

將地方病平衡點(diǎn)的分量所滿(mǎn)足的關(guān)系

(4)

代入表達(dá)式(3)后得到

再由R0>1得到h1<0,h2<0,h3<0.

這表明矩陣DJ[2](p*)D-1的所有特征值都位于復(fù)平面的左半部分，即矩DJ[2](p*)D-1的所有特征值的實(shí)部都小于零，所以矩陣DJ[2](p*)D-1穩(wěn)定。

根據(jù)復(fù)合矩陣的的定理，當(dāng)R0>1時(shí)，把式(4)代入直接計(jì)算

故矩陣J(p*)是穩(wěn)定的，即當(dāng)R0>1，模型(2)的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

3 地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

由競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的理論[10]，可知模型(2)的任意非空緊集的極限集只能是周期解或者地方病平衡點(diǎn)，如果還能證明模型(2)有非常數(shù)周期解，就可以得到地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

定理2 當(dāng)R0>1時(shí)，若模型(2)有非常數(shù)周期解p(t)，則p(t)是漸近穩(wěn)定的。

(5)

(6)

取

(7)

整理后可得到

其中

(8)

由方程組(2)可得到

將這兩個(gè)式子帶入到(7)式中，得到

由不等式

模型(2)的地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的結(jié)論說(shuō)明，地方病平衡點(diǎn)最后不會(huì)消失，而會(huì)趨于一個(gè)常量。

4 結(jié) 論

本文建立了具有飽和發(fā)生率和潛伏期的SEIR模型，通過(guò)計(jì)算得到模型的基本再生數(shù)R0和平衡點(diǎn)。當(dāng)R0<1時(shí)，模型的無(wú)病平衡點(diǎn)p0是漸近穩(wěn)定的，說(shuō)明生物種群中的染病者逐漸減少并將趨于滅絕。運(yùn)用復(fù)合矩陣判定定理分析了當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)p*的漸近穩(wěn)定性；最后利用競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)定理，證明了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，說(shuō)明生物種群中的疾病最終不會(huì)消失，易感者、潛伏者、染病者和恢復(fù)者在種群中的比例最后會(huì)趨于一個(gè)常量。