劉立漢，蔡靜秋，崔曉英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

聲波和電磁波反散射問題是數(shù)學(xué)物理反問題中一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，它在現(xiàn)代雷達(dá)探測(cè)、聲納技術(shù)、地球物理勘探、醫(yī)學(xué)成像(CT)、無損探測(cè)等自然科學(xué)和實(shí)際工程技術(shù)中有著非常廣闊的應(yīng)用前景。而由文獻(xiàn)[1]可知，在一些無損探測(cè)的工業(yè)應(yīng)用中，利用聲波和電磁波探測(cè)腔體的結(jié)構(gòu)完整性是非常重要的，這些聲波和電磁波是由放置在腔體內(nèi)的點(diǎn)源和接收器來發(fā)射和測(cè)量得到的，在這種情況下，點(diǎn)源和測(cè)量數(shù)據(jù)均在散射體內(nèi)部，因此，我們稱這類問題為內(nèi)部反散射問題。正如文獻(xiàn)[2-4]中所提到的，在某些方面，內(nèi)部反散射問題在物理上比通常的外部反散射問題更加復(fù)雜，這是因?yàn)樗械纳⑸洳ǘ急焕г诹饲惑w的內(nèi)部，它們會(huì)被腔體的邊界反復(fù)反射。文獻(xiàn)[2]考慮在Dirichlet邊界條件下，利用線性采樣法重構(gòu)腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)；文獻(xiàn)[5]考慮在Maxwell方程及其邊界條件下，同樣利用線性采樣法重構(gòu)腔體的形狀、位置及其物理性質(zhì)；而文獻(xiàn)[6]則是將這種方法進(jìn)一步延拓到阻抗邊界條件下來重構(gòu)腔體的形狀、位置及其物理性質(zhì)，文獻(xiàn)[7]是將該方法進(jìn)一步延伸到混合邊界條件下來重構(gòu)腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。

然而，本文考慮利用正則的Newton迭代法來求解具有Neumann邊界條件的腔體D的內(nèi)部反散射問題，即從腔體內(nèi)部某一光滑曲線C上的點(diǎn)源測(cè)量數(shù)據(jù)可以唯一確定Neumann邊界條件下腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。在文獻(xiàn)[8]中，Kress和Rundell首先提出了此方法，并且利用該方法求解了Laplace方程的Dirichlet反問題。在文獻(xiàn)[9-11]中，將此方法應(yīng)用于解決腐蝕檢測(cè)和靜電力學(xué)中的各種邊界值反問題。

1 反散射問題

Δws+k2ws=0,x∈D

(1)

(2)

也就是說，總場(chǎng)w=ws+Φ(·,d)滿足

(3)

設(shè)C是D內(nèi)的一條閉光滑曲線，對(duì)于定點(diǎn)d∈C, 有

ws|C=ws(x,d), ?x∈C

(4)

證明首先考慮式(1)-(2)，用d∈C替代d∈D, 由文獻(xiàn)[6]定理2.1的證明過程可知，對(duì)于x,d∈C有互反關(guān)系

?x,d∈C

(5)

(6)

(7)

通過互反關(guān)系(5), 對(duì)于?d∈C, ?x∈D0,

從而由唯一延拓原理知，?d,x∈D0有

故矛盾，因此D1=D2。

推導(dǎo)出一個(gè)等價(jià)的積分方程組，即利用單層勢(shì)能的方法求解反問題。下面用單層勢(shì)能表示散射場(chǎng)

ws(x)=(Sφ)(x)=

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

(12)

S0φ=ws(x,d)|c

(13)

于是由上式及式(4)，有?x∈C,(S0φ)(x)=ws(x,d),即式(13)成立。

2 反問題的迭代解

在此部分，我們將利用正則的Newton迭代法來求解非線性積分方程(12)、式(13)的未知邊界，而邊界?D是非線性的，于是需要線性化系統(tǒng)，且在這個(gè)過程中需要計(jì)算出關(guān)于邊界積分算子的Fréchet導(dǎo)數(shù)。因此，接下來我們參數(shù)化邊界及涉及到的積分算子。

2.1 積分方程的參數(shù)化

設(shè)邊界?D和測(cè)量曲線C都是C2類的光滑曲線，將?D、C表示成參數(shù)方程的形式，

?D={z(t)=(z1(t),z2(t)):t∈[0,2π]};

C={ρ(t)=(ρ1(t),ρ2(t)):t∈[0,2π]}

(14)

對(duì)任何的向量a=(a1,a2), 記a⊥=(a2,-a1)表示與其垂直的向量，設(shè)

ψ(t)=|z′(t)|φ(z(t))

則積分算子(9)-(11)的參數(shù)方程如下(用Ai表示，i=0,1,2)

[A0(z,ψ)](t)=

[A1(z,ψ)](t)=

[A2(z,ψ)](t)=

其中，t∈[0,2π],ψ∈L2[0,2π],z∈L2[0,2π]。

又由式(4)可得到測(cè)量數(shù)據(jù)ω0(ρ(t))=ws(ρ(t),d)和

因此，方程組(12)-(13)變?yōu)?/p>

A0(z,ψ)=ω0

(15)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，將它寫成如下形式

其中，

M2(t,τ)=

C表示Euler常數(shù)。

2.2 正則的Newton迭代法求解反問題

利用正則的Newton迭代法來求解式(15)-(16)的未知邊界。

將系統(tǒng)(15)-(16)關(guān)于ψ和z完全線性化，有

(17)

ω(z)+ω′(z)ξ

(18)

[z(t)-z(τ)]·[ξ(t)-ξ(τ)]ψ(τ)dτ-

[z(t)-z(τ)]ψ(τ)dτ-

[ξ(t)-ξ(τ)]ψ(τ)dτ,

其中，t∈[0,2π]。

不失一般性，設(shè)擾動(dòng)ξ是沿著D的法線指向邊界?D的方向，?D∈C3使得ξ=q[z′]⊥∈C2[0,2π]，標(biāo)量q∈C2[0,2π], 且精確解ws在?D上二階連續(xù)可微，對(duì)于ψ∈H1[0,2π]和ξ∈C2[0,2π],定義

(19)

x∈R2?D

(20)

由文獻(xiàn)[18]，可以得到如下引理：

引理1 對(duì)于ξ=q[z′]⊥∈C2[0,2π],ψ∈H1[0,2π],標(biāo)量q∈C2[0,2π],有

(▽U·ν)°z-

下面說明線性化系統(tǒng)(17)、(18)精確解的單射性。

定理3 令z是精確邊界?D的參數(shù)，ψ(t)=|z′|φ°z,φ滿足方程(12)、式(13)，若對(duì)于標(biāo)量q, 有ξ=q[z′]⊥∈C2[0,2π]和χ∈L2[0,2π]滿足齊次方程組

(21)

(22)

則χ=0和ξ=0。

證明定義

其中

由于

和式(21)，有

(23)

其中，ν表示?D向外的單位法向量。由ws是關(guān)于密度ψ的單層勢(shì)能和式(19)，有ws=U。又由ψ滿足式(15)-(16)，則ws滿足Neumann邊界條件，因此，由引理4及式(23)，有

κ|z′|q(▽ws·ν)°z-k2|z′|qws°z-

(24)

進(jìn)一步，由Neumann邊界條件式(2)及式(24)，有

-ω′(z)ξ-κ|z′|q(▽xΦ(·,d)·ν)°z

(25)

經(jīng)計(jì)算又有

κ|z′|q(▽xΦ(·,d)·ν)°z

(26)

聯(lián)立式(25)-(26)，有

(27)

其中，w=ws+Φ(·,d)。于是有

(28)

(29)

若ξ·ν≠0,不失一般性，設(shè)I={x∈?D,ξ·ν>0}是非空的，則由式(29)，有

3 數(shù)值例子

現(xiàn)在，我們給出三個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證我們前面兩部分理論結(jié)果的正確性。由式(17)-(18)知，求解反問題的邊界?D的算法如下。

第一步：給定初始邊界?D, 即對(duì)于z(t),t∈[0,2π],求解非常不適定方程(15)，從而得到對(duì)應(yīng)的初始密度ψ。

第二步：由第一步已經(jīng)有了一個(gè)關(guān)于z和ψ的近似值，接下來求解線性方程組(17)-(18)的ξ和χ, 從而得到新的邊界和密度，即z+ξ和ψ+χ。

第三步：重復(fù)第二步，直到滿足適當(dāng)?shù)闹挡磐Ｖ埂?/p>

在以下的例子中，選擇k= 5。第一個(gè)例子，考慮重構(gòu)一個(gè)半徑為0.5的圓，結(jié)果見圖1。

圖1 重構(gòu)半徑為0.5的圓Fig.1 Reconstruct a circle of radius 0.5

第二個(gè)例子，考慮重構(gòu)一個(gè)長軸長為1，短軸長為0.8的橢圓，結(jié)果見圖2。

第三個(gè)例子，考慮重構(gòu)一個(gè)長為0.8的正方形，結(jié)果見圖3。

如上的數(shù)值例子說明本文提出的正則的Newton迭代法來重構(gòu)腔體的邊界是一種有效可行的算法。

圖2 重構(gòu)長軸為1，短軸為0.8的橢圓Fig.2 Reconstruct an ellipse of x-axis 1,y-axis 0.8

圖3 重構(gòu)長為0.8的正方形Fig.3 Reconstruct a square of length 0.8