☉山東省棗莊市第三中學(xué) 朱信富

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中“叱咤風(fēng)云”，獨(dú)樹一幟，既有函數(shù)的特征，又有自身的規(guī)律，而且具有深遠(yuǎn)的內(nèi)涵與豐富的外延，特別在應(yīng)用中顯示出了獨(dú)特的魄力和勢不可擋的滲透力，備受各個(gè)層面的命題者的關(guān)注．從近幾年新課標(biāo)高考試題來看，數(shù)列中的最值問題越來越成為高考命題的熱點(diǎn)之一，真正體現(xiàn)了數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式性質(zhì)及相關(guān)知識的應(yīng)用，充分展示了其所形成的知識交匯與紐帶的作用．

問題 （2016年江蘇省南京一模）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an>0，若S6-2S3=5，則S9-S6的最小值為______.

本題以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為問題背景，通過等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的一個(gè)關(guān)系式的給出來確定相應(yīng)的涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的關(guān)系式的最值問題.用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系來設(shè)置問題，通過確定數(shù)列的最值問題來落實(shí)，可以巧妙結(jié)合題目條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及相關(guān)的性質(zhì)，從不同的思維角度出發(fā)，進(jìn)而利用不同的方法來解決.

結(jié)合已知條件S6-2S3=5，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式加以轉(zhuǎn)化，整理得到可得q>1，進(jìn)而再次利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式把S9-S6轉(zhuǎn)化為含有q的關(guān)系式，結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法1：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0，且q≠1.

結(jié)合已知條件S6-2S3=5，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化，得到（q3-1）（a1+a2+a3）=5，可得q>1，進(jìn)而再次利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把S9-S6轉(zhuǎn)化為含有q的關(guān)系式，結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法2：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0，且q≠1.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結(jié)合已知條件S6-2S3=5，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化，得到（q3-1）（a1+a2+a3）=5，可得q>1，結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換并利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把S9-S6轉(zhuǎn)化5為含有q的關(guān)系式，然后結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換，并借助基本不等式來確定最值，最后利用不等式的性質(zhì)來確定S9-S6的最值.

解法3：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0，且q≠1.

則有S9-S6≥20，即S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)引入?yún)?shù)A得到Sn=Aqn-A，結(jié)合S6-2S3=5得到參數(shù)A關(guān)于q的表達(dá)式，進(jìn)而利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合代換法把S9-S6轉(zhuǎn)化為含有q的關(guān)系式，最后結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法4：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0，且q≠1.

在等比數(shù)列{an}中，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)有Sn=Aqn-A，其中A≠0.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到S3，S6-S3，S9-S6構(gòu)成公比為q3的等比數(shù)列，再結(jié)合S6-2S3=5得到可得q>1，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把S9-S6轉(zhuǎn)化為含有q的關(guān)系式，最后結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法5：由于等比數(shù)列{an}中，an>0，則有Sn>0.

由S6-2S3=5，可得（S6-S3）-S3=5.

由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6-S3，S9-S6構(gòu)成公比為q3的等比數(shù)列.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列，進(jìn)而建立相應(yīng)的關(guān)系式，并結(jié)合S6-2S3=5代入轉(zhuǎn)化為含有S3的關(guān)系式，最后利用關(guān)系式的轉(zhuǎn)化并借助基本不等式來確定最值.

解法6：由于等比數(shù)列{an}中，an>0，則有Sn>0.

由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列，進(jìn)而建立相應(yīng)的關(guān)系式，并結(jié)合S6-2S3=5代入轉(zhuǎn)化為含有S3的關(guān)系式，最后直接借助基本不等式來確定最值.

解法7：由于等比數(shù)列{an}中，an>0，則有Sn>0.

由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)Sn+m=Sn+qnSm，通過S6-2S3=5的轉(zhuǎn)化得到關(guān)系式，可得q>1，再利用相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化S9-S6為含有q的關(guān)系式，結(jié)合關(guān)系式的等價(jià)變換，并借助基本不等式來確定最值.

解法8：由于等比數(shù)列{an}中，an>0，則有Sn>0，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0，且q≠1.

所以S9-S6的最小值為20，故填答案：20.

總評：解決等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的關(guān)系式問題，關(guān)鍵是結(jié)合通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式或等比數(shù)列的基本性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，再根據(jù)所確定的關(guān)系式的特征，利用基本不等式來確定最值.特別是在利用基本不等式時(shí)，要注意前提條件中“正數(shù)”的確定，這也是解決此類問題時(shí)比較容易忽視的地方.

涉及數(shù)列中的最值問題，往往思維方式各異，求解方法多種多樣，而且數(shù)列性質(zhì)與公式的運(yùn)用技巧靈活，知識綜合性與交匯性強(qiáng)，一直是高考在交匯處命題的一大主陣地.而函數(shù)與方程思維、基本不等式思維、化歸與轉(zhuǎn)化思維等方法巧妙地把數(shù)列中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，因此利用函數(shù)方法或不等式方法來解決，可以拓廣解題思維，同時(shí)數(shù)列本身的基本性質(zhì)也為求解最值開辟了全新的思路.F