余永波

(云南省綏江縣第一中學(xué) 657700)

一道好的試題總會(huì)留下很大的拓展空間,讓你產(chǎn)生無(wú)盡的遐想,細(xì)細(xì)品來(lái),讓人回味無(wú)窮,因而成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的航標(biāo).命題者在命制試題時(shí),都會(huì)對(duì)曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的“好題”密切關(guān)注, 這類“好題”涉及高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)的每個(gè)角落,同時(shí)蘊(yùn)藏著豐富的思想方法.

題目若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是____.

從不同的角度、用不同的方法去解決同一個(gè)問(wèn)題,要求考生善于觀察與分析,緊扣條件和問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)多種視角探尋解題方法,選擇最優(yōu)解法,從而提高解題能力和學(xué)習(xí)效率.

解法3 由題可知ab-3=a+b>0,即ab>3.而(a+b)2≥4ab,即(ab-3)2≥4ab.變形得(ab)2-10ab+9≥0,得ab≥9或ab≤1(舍).而ab>3,故ab≥9.

啟迪與反思通過(guò)多種視角運(yùn)用基本不等式及其變形公式巧妙地將“相等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為“不等”關(guān)系,是解此類問(wèn)題的常規(guī)解法,變形過(guò)程中不可忽視變量的范圍.上述幾種解法中等號(hào)成立的條件都是a=b=3.

啟迪與反思對(duì)分式型函數(shù),可利用分離常數(shù)法和結(jié)構(gòu)變換法,再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求函數(shù)最值.

由于b+1>0和(b-1)2>0,所以當(dāng)b>3時(shí),f′(b)>0,即f(b)為增函數(shù)；當(dāng)1

啟迪與反思:導(dǎo)數(shù)法是求函數(shù)最值的一種普遍性很強(qiáng)的方法,但它未必是求最值的最優(yōu)方法.

啟迪與反思此法的精髓是方程思想,即通過(guò)換元,構(gòu)造出一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩個(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量的問(wèn)題.一般遇到“a+b”和“ab”,可將a、b視為一元二次方程的兩根.

在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中,同學(xué)們要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí),注重知識(shí)的滲透,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于 “好題”,要多咀嚼、要多回味、磨滲悟透,以求“一葉知秋”,以達(dá)“一雨普滋,千山秀色”之效.