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        解題辯證法

        2019-03-27 06:00:00甘志國(guó)
        數(shù)理化解題研究 2019年7期
        關(guān)鍵詞:題設(shè)充分條件焦距

        甘志國(guó)

        (北京豐臺(tái)二中 100071)

        一、有時(shí)需要把簡(jiǎn)單化為復(fù)雜來(lái)解題

        等價(jià)轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種基本思想,通常是把所給的條件逐漸轉(zhuǎn)化,使之越來(lái)越簡(jiǎn)單,該條件就好用了,從而達(dá)到解題的目的.

        事物都是辯證的.筆者發(fā)現(xiàn),有時(shí)在解題的局部過(guò)程中,把簡(jiǎn)單的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的條件來(lái)解題反而有助于解題.下面茲舉兩題.

        題1 若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

        A.a>3 B.a<3 C.a>4 D.a<4

        解A.由x>1?2x+x>3,2x>a-x?2x+x>a可得答案.

        題2 “a>b”是“3a>2b”的( ).

        A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

        C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

        二、拼角和拆角

        而我們?cè)诮饽承┤菃?wèn)題時(shí),卻需要拼——愛拼才會(huì)贏!即不要急著用和(差)角公式sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)展開,而是先把未知的角拼(表示)成已知角的和或差(有時(shí)還要把未知角拼成已知角的倍數(shù)和)后再解題.下面舉題說(shuō)明這種技巧.

        題3 已知=tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,求tan2α,tan2β的值.

        解可得

        tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]

        tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]

        證明即證sin(2α+β)-sinβ=2sinαcos(α+β),

        sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α]

        =2sinαcos(α+β),

        這時(shí)再用和(差)角公式展開上式的左邊,即知上式成立,所以要證結(jié)論成立.

        證明先把未知的角β,2α+β拼成已知角α+β,α的差、和,再用和(差)角公式展開,可得要證結(jié)論成立.

        解可求得答案:

        cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=…=-1.

        題3~8的解法都是拼角.

        解法1 (拆角)由題設(shè),可得

        解法2 (拼角)由題設(shè),可得

        解法1 (拆角)把題設(shè)中的等式展開后,可得

        與教科書《必修4》配套使用的《教師教學(xué)用書》第130頁(yè)給出的解答是:

        以上解法可能只有極少數(shù)同學(xué)能掌握,自己能獨(dú)立想到這種解法的恐怕更少.

        下面給出該題的一種直接解法:

        若能求出sinx,cosx,則問(wèn)題即可解決.

        唯一解(sinx,cosx).

        下面再給出此題的兩種巧妙解法:

        三、“設(shè)而不求”與“設(shè)并且求”

        在解直線與二次曲線位置關(guān)系的平面解析幾何題時(shí),經(jīng)常會(huì)用到“設(shè)而不求”的方法,往往簡(jiǎn)便快捷.但筆者發(fā)現(xiàn),有很多時(shí)候,把一元二次方程的解求出來(lái)(即“設(shè)并且求”)也是一種樸素、本質(zhì)的解題方法——哪怕求出的根的表達(dá)式比較復(fù)雜.

        (1)求橢圓C的焦距;

        所以橢圓C的焦距為4.

        可得(12k2+3)y2+6kcy-k2c2=0.

        由-y1=3y2,得

        題14 (2006年高考全國(guó)卷Ⅱ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a(a∈R,a≠0),B={x|10的解集為A,且A∩B≠?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        四、不變(靜止)與變化(運(yùn)動(dòng))

        題15 已知f′(x)=x(x-a)(x-a-1)(a是常數(shù)),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

        分析要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,即要求出不等式f′(x)=x(x-a)(x-a-1)≥0的解集.

        因?yàn)樵摬坏仁街杏袇?shù)a,所以須分類討論.

        在f′(x)的三個(gè)零點(diǎn)0,a,a+1中,只有0是不變(靜止)的,a和a+1都是變化(運(yùn)動(dòng))的,所以不好分類討論.但我們可以反其道而行之:如圖1所示,在數(shù)軸上,先把a(bǔ)和a+1固定下來(lái)(注意a+1>a),再讓0在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng).

        因而可分以下五種情況分類討論:

        (1)當(dāng)a+1<0即a<-1時(shí),可得f′(x)≥0?x∈[a,a+1]∪[0,+∞),得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[a,a+1],[0,+∞);

        (2)當(dāng)a+1=0即a=-1時(shí),可得f′(x)≥0?x∈[-1,

        +∞),得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,+∞);

        (3)當(dāng)a<0

        (4)當(dāng)a=0時(shí),可得f′(x)≥0?x∈[1,+∞),得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞);

        (5)當(dāng)a>0時(shí),可得f′(x)≥0?x∈[0,a]∪[a+1,+∞),得此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,a],[a+1,+∞).

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