董雅雯，王建林，魏青軒，邱科鵬，趙利強(qiáng)

(北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京100029)

加速度計(jì)是用于測(cè)量載體運(yùn)動(dòng)加速度的傳感器，被廣泛應(yīng)用于航空航天、建筑、工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域。有效濾除加速度計(jì)信號(hào)中的噪聲，對(duì)提高速度計(jì)信號(hào)分析精度有重要作用。

加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)是獲取加速度計(jì)輸出信號(hào)的常用實(shí)驗(yàn)方法，由于沖擊激勵(lì)具有持續(xù)時(shí)間短、頻率范圍寬等特點(diǎn)，使得沖擊加速度計(jì)信號(hào)降噪較為困難。

傳統(tǒng)的基于非遞歸型濾波器FIR(Finite Impulse Response Filter)的信號(hào)降噪是利用快速傅里葉變換獲得信號(hào)的頻譜，通過(guò)構(gòu)建高通、低通或帶通濾波器的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪，雖然原理簡(jiǎn)單，但難以有效降低寬頻帶非平穩(wěn)信號(hào)中的噪聲。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD(Empirical Mode Decomposition)[1]是一種自適應(yīng)信號(hào)時(shí)頻處理方法，適合處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)[2－3]?；贓MD的信號(hào)降噪方法主要包括直接重構(gòu)法和閾值降噪法兩類[4]。直接重構(gòu)法是通過(guò)去除含噪信號(hào)的高頻固有模態(tài)函數(shù)IMF(Intrinsic ModeFunction)，直接對(duì)剩余IMF和余項(xiàng)進(jìn)行重構(gòu)的方法實(shí)現(xiàn)降噪，屬于強(qiáng)制去噪[4]；閾值降噪法通常是將各IMF與閾值進(jìn)行比較，將IMF中大于閾值的部分保留，并將小于閾值的部分置零的方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪[5]。上述基于EMD的信號(hào)降噪方法雖然利用了EMD自適應(yīng)分解的優(yōu)點(diǎn)，但EMD分解精度受端點(diǎn)效應(yīng)、模態(tài)混疊等影響較大，使其應(yīng)用受到局限。

基于小波變換的信號(hào)降噪方法利用了小波變換[6]的良好的時(shí)頻多分辨性特點(diǎn)[7－9]，能夠獲得比基于EMD的信號(hào)降噪方法更好的降噪效果?；谛〔ㄗ儞Q的信號(hào)降噪方法主要有模極大值降噪[10]、尺度相關(guān)性降噪[11]和閾值降噪[12]等方法。模極大值法降噪時(shí)，容易產(chǎn)生偽極值點(diǎn)，對(duì)后續(xù)的降噪精度產(chǎn)生影響，而相關(guān)性降噪法需要估計(jì)噪聲的統(tǒng)計(jì)噪聲，在實(shí)際工程應(yīng)用中，難以準(zhǔn)確估計(jì)，增大了計(jì)算難度和實(shí)現(xiàn)難度。閾值降噪方法克服了模極大值降噪方法和相關(guān)性降噪方法的缺點(diǎn)，能夠避免偽極值點(diǎn)的產(chǎn)生，更好保留原始信號(hào)的特征峰值點(diǎn)，且無(wú)需估計(jì)噪聲統(tǒng)計(jì)特征，被廣泛應(yīng)用于信號(hào)降噪。王維等[13]提出一種改進(jìn)的小波閾值降噪算法，利用小波去相關(guān)白化檢驗(yàn)自適應(yīng)確定分解層數(shù)，并將該方法應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)測(cè)試，取得了一定效果。但當(dāng)信號(hào)具有顯著突變特征時(shí)，分解層數(shù)偏大，增大運(yùn)算量的同時(shí)甚至?xí)?dǎo)致信噪比降低[14]，不適用于沖擊激勵(lì)下加速度計(jì)信號(hào)降噪；Lin H等[15]利用一種新的閾值函數(shù)實(shí)現(xiàn)小波閾值降噪，通過(guò)引入調(diào)節(jié)參數(shù)，使硬閾值函數(shù)在閾值處連續(xù)，抑制了震蕩，保留了傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)連續(xù)的優(yōu)點(diǎn)，但閾值的選取依賴單一信號(hào)，降噪效果受新引入的調(diào)節(jié)參數(shù)較大；李昕等[16]結(jié)合能量譜分析，選擇EMD分解得到的固有模態(tài)函數(shù)進(jìn)行小波閾值降噪，這種采用EMD分解與小波閾值降噪方法相結(jié)合的方法[17]，雖然一定程度上能夠再次對(duì)EMD分解后的高頻IMF進(jìn)行降噪，提高了降噪的精度，但其降噪效果受IMF選取和EMD分解結(jié)果影響較大。由于加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中，兩個(gè)加速度計(jì)的響應(yīng)信號(hào)為同一沖擊激勵(lì)所產(chǎn)生，應(yīng)用上述基于小波閾值的降噪方法對(duì)加速度計(jì)信號(hào)進(jìn)行降噪，是將兩個(gè)加速度計(jì)信號(hào)作為獨(dú)立信號(hào)分別進(jìn)行降噪，閾值的選取并未考慮同一激勵(lì)下不同加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)的相關(guān)性，過(guò)分依賴單一信號(hào)，容易導(dǎo)致閾值過(guò)大或過(guò)小，使得被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)誤差較大，降噪精度較低。

本文針對(duì)加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中，噪聲對(duì)加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)的影響，提出一種基于序列相關(guān)和小波變換的加速度計(jì)信號(hào)降噪方法，對(duì)同一激勵(lì)下參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)分別進(jìn)行小波變換，利用相同尺度下小波系數(shù)的互相關(guān)系數(shù)計(jì)算閾值，并應(yīng)用該閾值進(jìn)行降噪，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)信號(hào)降噪。

1 基于小波變換的閾值降噪方法

設(shè)含噪一維信號(hào)

式中：s(i)為含噪信號(hào)，x(i)為不含噪聲的原始信號(hào)，n(i)為高斯白噪聲，m為信號(hào)長(zhǎng)度。傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法是對(duì)s(i)進(jìn)行小波變換后，利用有用成分的小波系數(shù)絕對(duì)值比噪聲成分的小波系數(shù)大的特點(diǎn)[10，18]，通過(guò)設(shè)定合適的閾值，使小于閾值的小波系數(shù)為零，大于閾值的小波系數(shù)保持原值或依照閾值函數(shù)進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)去除噪聲，對(duì)經(jīng)過(guò)處理的小波系數(shù)進(jìn)行反變換，重構(gòu)得到降噪后的信號(hào)~x(i)。

基于小波變換的閾值降噪方法的具體過(guò)程為：①信號(hào)的小波變換：選擇一個(gè)小波基和適當(dāng)?shù)姆纸鈱訑?shù)，其中小波基應(yīng)盡量與被處理的一維信號(hào)波形相似，將信號(hào)分解得到相應(yīng)的小波系數(shù)；②信號(hào)的小波系數(shù)閾值量化：對(duì)各層分解的小波系數(shù)設(shè)定一個(gè)適當(dāng)?shù)拈撝?，將絕對(duì)值小于該閾值的小波系數(shù)置零，將絕對(duì)值大于該閾值的小波系數(shù)保留或作收縮處理；③小波系數(shù)的反變換：將量化后的小波系數(shù)通過(guò)小波反變換重構(gòu)信號(hào)。

在傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法中，小波閾值的選取依賴于單一信號(hào)，容易導(dǎo)致閾值過(guò)大或過(guò)小的情況出現(xiàn)，過(guò)小的閾值無(wú)法有效濾除噪聲信號(hào)，反之，偏大的閾值又會(huì)導(dǎo)致有用信號(hào)也被濾除，對(duì)降噪效果影響較大[19]。

2 基于序列相關(guān)和小波變換的加速度計(jì)信號(hào)降噪

2.1 基于序列相關(guān)和小波變換的閾值降噪方法

在加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中，參考加速度計(jì)與被校加速度計(jì)的輸出信號(hào)來(lái)自同一沖擊激勵(lì)，兩個(gè)加速度計(jì)輸出信號(hào)具有較高的相關(guān)性。對(duì)加速度計(jì)輸出信號(hào)進(jìn)行相同的小波分解，原信號(hào)被分解成不同頻率段的小波系數(shù)，對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，同樣具有較高的相關(guān)性。由于噪聲和有效信號(hào)之間以及噪聲之間通常相關(guān)性非常小[20]。受噪聲影響，對(duì)應(yīng)小波系數(shù)的相關(guān)性將發(fā)生改變。當(dāng)小波系數(shù)中含有用信號(hào)較多、噪聲較少時(shí)，對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的互相關(guān)性較強(qiáng)，互相關(guān)系數(shù)較大；反之，當(dāng)小波系數(shù)中含有用信號(hào)較少、噪聲較多時(shí)，對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的互相關(guān)性較弱，互相關(guān)系數(shù)較小。因此，可以根據(jù)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的相關(guān)性大小，來(lái)設(shè)置不同的閾值，提高加速度計(jì)信號(hào)的降噪效果。

給定參考加速度計(jì)與被校加速度計(jì)的響應(yīng)信號(hào)分別s1(i)、s2(i)，對(duì)兩信號(hào)進(jìn)行小波變換，其第j層的小波系數(shù)分別為 d1，j(k)、d2，j(k)，則其互相關(guān)系數(shù)可表示為

式中：C1，2(p)表示為 d1、d2在時(shí)滯 p下的互協(xié)方差。σ21、σ22分別為 d1、d2的方差，ˉd1、ˉd2分別為 d1、d2的均值。

當(dāng)序列x1(t)和x2(t)的某層小波系數(shù)的互相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，則此層的小波系數(shù)的相關(guān)性較大，說(shuō)明其中信號(hào)的有用信息較多，可適當(dāng)減小閾值，防止過(guò)多有用信息被濾除，反之，當(dāng)序列x1(t)和x2(t)的某層小波系數(shù)的互相關(guān)系數(shù)較小時(shí)，兩組小波系數(shù)的相關(guān)性較小，說(shuō)明有用信息較少，可適當(dāng)增大閾值，濾除多余噪聲。

設(shè)第j層小波系數(shù)的初始閾值Tj，并考慮同一激勵(lì)下不同加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)小波系數(shù)的相關(guān)性，利用互相關(guān)系數(shù)對(duì)初始閾值Tj進(jìn)行改進(jìn)，則改進(jìn)后的閾值為

式中：α為權(quán)值系數(shù)，0＜α≤1；Tj為初始閾值，依據(jù)固定閾值原則按照式(4)計(jì)算。

由于軟閾值函數(shù)降噪時(shí)會(huì)產(chǎn)生恒定偏差，因此，選擇硬閾值函數(shù)作為降噪閾值函數(shù)，按照式(5)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理。

當(dāng)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的互相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，表明其中含有的有用信息較多，式(3)中的αer2j增大，則Tn，j減小，有用信號(hào)得到更好的保留；反之，當(dāng)互相關(guān)系數(shù)減小時(shí)，αer2j減小，則 Tn，j增大，噪聲得到更好的去除。然后利用式(5)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，通過(guò)硬閾值量化，得到降噪后的小波系數(shù)。

2.2 基于序列相關(guān)和小波變換的閾值降噪算法

在比較法加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)參考加速度計(jì)、被校加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)分別為 x1(t)、x2(t)。本文提出的基于序列相關(guān)和小波變換的加速度計(jì)信號(hào)閾值降噪算法的流程圖如圖1所示，其具體步驟如下：①對(duì)x1(t)、x2(t)分別進(jìn)行n層離散小波變換，得到第 j層的細(xì)節(jié)系數(shù) d1，j、d2，j(j＝1，2，…，n)及近似系數(shù) a1，n、a2，n；②計(jì)算兩輸出數(shù)據(jù)序列第 i層對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)系數(shù) d1，j、d2，j(j＝1，2，…，n)的互相關(guān)系數(shù) rj；③根據(jù)固定閾值原則即式(4)計(jì)算出每層細(xì)節(jié)系數(shù) d1，j、d2，j的初始閾值 T1，j、T2，j，根據(jù)式(3)得到新閾值 Tn1，j、Tn2，j；④根據(jù)式(5)到降噪后的小波系數(shù)；⑤將Step 4中閾值降噪后的參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)的輸出序列的小波系數(shù)進(jìn)行小波反變換，得到降噪后的兩輸出信號(hào)序列。

圖1 基于序列相關(guān)和小波變換的加速度計(jì)信號(hào)降噪算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB軟件仿真加速度計(jì)沖擊激勵(lì)與響應(yīng)信號(hào)，其中，沖擊激勵(lì)信號(hào)通過(guò)四階巴特沃斯濾波器產(chǎn)生，截止頻率為10 kHz，采樣頻率為1 MHz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為5×104，設(shè)置仿真參考加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)為 δ1＝0.006 3，ωn1＝2.775×105rad/s和 ρ1＝3.457×1010，仿真被校參考加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)為 δ2＝0.004 3，ωn2＝1.644×105rad/s和 ρ2＝1.633×1010，分別對(duì)兩個(gè)加速度計(jì)的輸出信號(hào)加入信噪比為5 dB、10 dB、15 dB和20 dB的高斯白噪聲，得到含噪聲的加速度計(jì)信號(hào)，其中仿真加速度計(jì)輸入信號(hào)和含噪聲加速度計(jì)輸出信號(hào)如圖2所示。

應(yīng)用本文方法對(duì)仿真參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)的輸出信號(hào)進(jìn)行降噪，權(quán)值系數(shù)α＝0.5，并與傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法進(jìn)行對(duì)比，選取去噪效果較好的小波基函數(shù)‘db3’，對(duì)信號(hào)進(jìn)行6層數(shù)分解。

為了評(píng)價(jià)加速度計(jì)信號(hào)降噪效果，將信噪比SNR(Signal Noise Ratio)和頻率響應(yīng)函數(shù)均方根誤差(RMSEH)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，SNR、和RMSEH表達(dá)式分別為式(6)和(7)所示。

圖2 仿真加速度計(jì)輸入信號(hào)與含噪聲加速度計(jì)輸出信號(hào)波形圖

式中：x(i)為不含噪聲仿真加速度計(jì)輸出信號(hào)，s(i)為含噪聲仿真加速度計(jì)輸出信號(hào)，i＝1，2，…，m，m表示時(shí)域信號(hào)長(zhǎng)度，H(ωl)是利用測(cè)量得到的加速度計(jì)輸出信號(hào)獲得的被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)，H0(ωl)為仿真被校加速度計(jì)的頻率響應(yīng)函數(shù)，l＝1，2，…，L，L 表示頻率響應(yīng)函數(shù)長(zhǎng)度。

表1給出了參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)輸出信號(hào)降噪前后的SNR。

表1 不同SNR下加速度計(jì)輸出信號(hào)降噪結(jié)果

由表1可以看出，本文方法相較于傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪可以獲得更高的SNR，能夠更好的降噪。

表2給出了不同SNR條件下被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)誤差。由表2可以看出，本文方法相較于傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪可以減小與設(shè)定的被校加速度計(jì)的頻率響應(yīng)之間的誤差。

表2 不同SNR下被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)誤差

由估計(jì)出的頻率響應(yīng)曲線與模型的頻率響應(yīng)曲線對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

圖3 被校加速度計(jì)幅頻響應(yīng)

由圖3可以直觀看出，本文方法優(yōu)于傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法的降噪效果，幅頻曲線更加平滑，并且可以有效降低被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)中諧振頻率附近的噪聲。

3.2 加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)

將本文方法應(yīng)用于加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖4所示。該系統(tǒng)由沖擊激勵(lì)裝置、參考加速度計(jì)(型號(hào)：271A01)、被校加速度計(jì)(型號(hào)：222A02)、電荷放大器及PCIe數(shù)據(jù)采集卡等組成。參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)通過(guò)背靠背方式固定，并內(nèi)置于沖擊激勵(lì)裝置的豎直圓管內(nèi)，其上裝有鋼珠，利用鋼珠下落實(shí)現(xiàn)沖擊激勵(lì)。兩個(gè)加速度計(jì)輸出的電荷信號(hào)經(jīng)電荷放大器轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)，并以1 MHz的采樣頻率同步采集。

圖4 加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖5 加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)加速度計(jì)輸出信號(hào)波形圖

利用上述實(shí)驗(yàn)裝置獲取參考和被校加速度計(jì)輸出信號(hào)，實(shí)驗(yàn)共重復(fù)十次。

其中，第5次實(shí)驗(yàn)的參考和被校加速度計(jì)輸出信號(hào)如圖5所示。

應(yīng)用本文方法對(duì)仿真參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)的輸出信號(hào)進(jìn)行降噪，權(quán)值系數(shù)α＝0.5，并與傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法進(jìn)行對(duì)比。其中，選取的小波基為‘db3’，分解層數(shù)為6。

為了評(píng)價(jià)加速度計(jì)信號(hào)降噪效果，將SNR[21]、RMSEH和平滑度[22－23]作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，平滑度指標(biāo)表示了信號(hào)的頻率響應(yīng)函數(shù)的局部變異信息，其值越小，表示降噪后更接近原始信號(hào)，降噪效果越好[3]。SNR、RMSEH和平滑度表達(dá)式分別為式(8)、式(9)和式(10)所示。

式中：s(i)為加速度計(jì)輸出信號(hào)，~x(i)為降噪后的加速度計(jì)輸出信號(hào)，i＝1，2，…，m，m 表示時(shí)域信號(hào)長(zhǎng)度，H(ωl)是利用測(cè)量得到的加速度計(jì)輸出信號(hào)獲得的被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)，~H(ωl)是由降噪信號(hào)獲得的被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)，l＝1，2，…，L，L 表示頻率響應(yīng)函數(shù)長(zhǎng)度。

表3給出了參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)輸出信號(hào)降噪前后的SNR。

表3 校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)加速度計(jì)輸出信號(hào)降噪結(jié)果

由表3可以看出，本文方法相較于傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪本文方法可以獲得更高的SNR，能夠更好的降噪。由表4可知，在加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中，本文方法能夠有效降低加速度計(jì)輸出信號(hào)中的噪聲，利用降噪后的加速度計(jì)輸出信號(hào)獲得的被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)具有較低的RMSEH和較高的平滑度。

表4 校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)被校加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)誤差

4 結(jié)論

本文提出了一種基于序列相關(guān)和小波變換的加速度計(jì)信號(hào)降噪方法，利用同一激勵(lì)下不同加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)小波系數(shù)間的相關(guān)性，將互相關(guān)系數(shù)引入小波閾值降噪中，改進(jìn)閾值，使閾值具有一定的自適應(yīng)性。實(shí)驗(yàn)證明，該方法能夠有效降低了加速度計(jì)輸出信號(hào)中的噪聲，提高了加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)精度。