馮海冉 李鵬 岳現(xiàn)房

(濟(jì)寧學(xué)院物理與信息工程系, 曲阜 273155)

量子速度極限（QSL）的實(shí)用性研究關(guān)系到更高效量子技術(shù)的實(shí)現(xiàn), 研究不同分子體系中QSL問(wèn)題可為基于分子體系的量子信息技術(shù)提供理論支持. 采用代數(shù)方法討論了不同的初始態(tài)對(duì)QSL度量方式的影響, 研究發(fā)現(xiàn)初始態(tài)和分子參數(shù)均會(huì)影響QSL的度量方式, 對(duì)分子體系無(wú)論Fock態(tài)還是相干態(tài), 量子Fisher信息度量方式優(yōu)于Wigner-Yanase信息度量方式. 廣義幾何QSL度量更適合描述強(qiáng)相干態(tài)下的分子動(dòng)力學(xué)演化.

1 引 言

量子系統(tǒng)的最大動(dòng)力學(xué)演化速度是量子計(jì)算、量子通信和量子調(diào)控等量子物理領(lǐng)域中涉及的一個(gè)基本概念. 量子速度極限 (quantum speed limit,QSL)對(duì)應(yīng)量子系統(tǒng)演化速度的極限值, 是由量子力學(xué)本身產(chǎn)生的限制. 雖然QSL問(wèn)題的提出已有數(shù)十年的歷史, 但其理論發(fā)展一直較為緩慢, 直到量子信息科學(xué)技術(shù)與激光技術(shù)的發(fā)展使許多動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程成為超快演化過(guò)程, 這引出了QSL研究的重要實(shí)用價(jià)值，而使其成為近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn). QSL時(shí)間作為體系兩個(gè)態(tài)間最短的演化時(shí)間是由 Anandan 和 Aharonov[1]于 1990 年首次提出并利用Fubini-Study 度量給出了其定義式,隨后 Mandelstam-Tamm和 Margolus-Levitin 公式被分別拓展用于給出封閉系統(tǒng)幺正演化下的量子極速值[2,3]. 量子極速的實(shí)用價(jià)值被引出后, 近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外得到迅猛發(fā)展, QSL 限值被拓展到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[4-6]和混合量子態(tài)演化中[7,8]. 因?yàn)橄到y(tǒng)不可避免地與環(huán)境相互作用, 所以開放系統(tǒng)下的QSL也引起了廣泛關(guān)注[9-11]. 目前有關(guān)QSL的研究大部分集中在對(duì)理想模型的探討, 對(duì)實(shí)際分子體系涉及較少, 隨著超快超強(qiáng)激光脈沖技術(shù)的發(fā)展, 基于分子振轉(zhuǎn)態(tài)以及不同電子態(tài)的分子振動(dòng)態(tài)等量子計(jì)算問(wèn)題和實(shí)驗(yàn)研究[12-14]雖然有了一定突破, 但其中均涉及到振轉(zhuǎn)態(tài)間的量子糾纏和態(tài)的量子調(diào)控, 也屬于超快演化過(guò)程, 這些都不可避免地與QSL相關(guān). 前述對(duì)理想模型的研究中已發(fā)現(xiàn)不同特性的物理體系具有不同的QSL, 而且其限值還依賴于初始態(tài)的選擇, 不同的QSL度量方式得到的結(jié)果也不盡相同, 這些發(fā)現(xiàn)更加促使了對(duì)不同分子體系下QSL問(wèn)題研究的迫切性, 探尋分子振轉(zhuǎn)參數(shù)和任意初始態(tài)對(duì)QSL的影響, 可以為基于分子體系的量子信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)提供理論支持.本文采用代數(shù)方法研究三原子分子體系的QSL問(wèn)題, 代數(shù)方法可方便地構(gòu)造分子體系振轉(zhuǎn)自由度的代數(shù)哈密頓算符, 并可解析地推導(dǎo)出體系的約化密度矩陣表達(dá)式, 便于對(duì)QSL度量公式的推導(dǎo). 我們已基于李代數(shù)方法成功地研究了小分子在強(qiáng)激光場(chǎng)中的紅外多光子過(guò)程及其解析控制, 小分子振動(dòng)糾纏與量子調(diào)控[15-18], 將代數(shù)方法拓展到QSL的研究, 也是對(duì)代數(shù)方法的進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用. 根據(jù)最近的QSL度量的理論研究[19], 從初始態(tài)到末態(tài)的演化可以用一種廣義幾何QSL度量方法, 此方法已應(yīng)用到單量子體系并分析了度量方式的緊致性, 本文將此方法拓展應(yīng)用到分子這類多維體系, 分析適合描述分子體系的QSL度量方式并討論初態(tài)對(duì)度量方式的影響.

2 理論方法

2.1 線性三原子分子代數(shù)模型

2.2 量子速度極限度量

定義兩者之間的相對(duì)差來(lái)檢驗(yàn)廣義幾何QSL度量的緊致度:

由上面的理論公式(3)—(8)式可看出, 只要已知體系任意時(shí)刻的態(tài)密度形式, 即可得到上述的幾類QSL度量. 對(duì)不含時(shí)的三原子分子體系代數(shù)哈密頓, 在幺正演化下, 由初始態(tài)矢可以很方便地推導(dǎo)得到任意時(shí)刻的含時(shí)波函數(shù)(這里計(jì)算取原子單位, 故), 從而給出相應(yīng)的態(tài)密度. Fock態(tài)和相干態(tài)在量子光學(xué)和量子信息領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價(jià)值, 兩類初態(tài)在量子糾纏的研究中表現(xiàn)出不同的特性[15], 因此這里分別討論Fock態(tài)和相干態(tài)兩類初態(tài)下的QSL度量問(wèn)題. 下面直接給出兩類初態(tài)下任意時(shí)刻的約化態(tài)密度表達(dá)式[14,17]: 初始態(tài)為Fock態(tài)

初始態(tài)為相干態(tài)下的約化密度矩陣形式為

相干態(tài)形式[14]為

式中

其中α為相干系數(shù). 函數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果與討論

這里以氰化氫和氰化氘兩分子為例進(jìn)行計(jì)算研究. 氰化氫和氰化氘是廣泛存在于行星大氣中的一類重要的星際分子, 它們均屬于線型分子, 其構(gòu)型分別為H—C≡N 與D—C≡N. 雖然氰化氫對(duì)人和其他生物體是有毒的, 但它也是星際化學(xué)中最重要的分子, 因?yàn)樗呛蠧N成分最簡(jiǎn)單的一類分子, 而CN成分是形成氨基酸的先決條件. 另外,兩分子也是光解反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中的典型分子, 因此有關(guān)氰化氫分子的研究一直備受科學(xué)家的關(guān)注[26,27].我們采用此代數(shù)模型已經(jīng)得到了HCN 和DCN 兩個(gè)分子的伸縮振動(dòng)能譜, 與實(shí)驗(yàn)值符合較好[28], 說(shuō)明其相應(yīng)的分子參數(shù)能反映分子的真實(shí)情況, 兩分子也已被成功應(yīng)用到振動(dòng)糾纏的研究[15], 為體系演化的QSL度量研究奠定了基礎(chǔ). 因此本文以HCN和DCN 兩個(gè)分子為例, 計(jì)算分析其QSL度量問(wèn)題, 這里主要討論度量方式的緊致性以探尋適合描述分子體系的QSL度量方式, 并給出影響度量方式的因素.

圖1 Fock 態(tài)下 HCN 分子 QSL 度量相對(duì)差Fig. 1. Relative differences of QSL metrics for the initial Fock states in HCN.

圖2 Fock 態(tài)下 DCN 分子 QSL 度量相對(duì)差Fig. 2. Relative differences of QSL metrics for the initial Fock states in DCN.

圖3 初態(tài)為 時(shí), 兩分子采用 Wigner-Yanase 度量方式時(shí)對(duì)應(yīng)的QSL度量相對(duì)差Fig. 3. Relative differences of Wigner-Yanase information metric for the initial state in HCN and DCN molecules.

圖4 相干態(tài)下 HCN 分子 QSL 度量相對(duì)差Fig. 4. Relative differences of QSL metrics for the coherent states in HCN.

圖5 相干態(tài)下 DCN 分子 QSL 度量相對(duì)差Fig. 5. Relative differences of QSL metrics for the coherent states in DCN.

4 結(jié) 論

本文將代數(shù)方法推廣應(yīng)用到分子體系的QSL度量方式的探討中, 研究發(fā)現(xiàn)與單量子體系研究結(jié)論一致的是量子Fisher信息度量方式優(yōu)于Wigner-Yanase信息度量方式, 但是對(duì)分子這類高維體系, 隨著能級(jí)的升高, QSL度量方式的緊致性降低. 對(duì)振動(dòng)頻率和非諧性參數(shù)小的分子, 兩類幾何QSL度量方式差異較小, 而高頻率且振動(dòng)非諧性偏移大的分子對(duì)其動(dòng)力學(xué)演化的QSL度量方式影響更顯著. 初態(tài)的不同確實(shí)影響到QSL度量方式, 通過(guò)計(jì)算相對(duì)差, 可幫助我們尋找更合適于描述分子體系的度量方式. 本文的分子代數(shù)模型只考慮了分子振動(dòng), 后續(xù)工作可加入轉(zhuǎn)動(dòng)因素, 另外,確定了適合描述分子動(dòng)力學(xué)演化的度量方式, 可進(jìn)一步由此度量方式討論分子動(dòng)力學(xué)演化速度極限時(shí)間, 這部分工作正在進(jìn)行中.