馬川惠，黃 強(qiáng)，郭愛軍

（西安理工大學(xué) 省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710048）

1 研究背景

徑流與泥沙具有相關(guān)性，是非獨(dú)立的二維隨機(jī)變量。降雨沖刷地表造成水土流失，從而導(dǎo)致河流含沙量增加，造成河道淤積和洪水位的抬升，最終引發(fā)水患。以往對(duì)水沙概率分布特征的分析多以單變量法為主，側(cè)重描述水或沙的單變量特征，忽略了二者間顯著的關(guān)聯(lián)性，對(duì)水沙過程的描述略顯不足；若要對(duì)流域水沙特性有更加深入和全面的了解、實(shí)現(xiàn)水沙并舉的科學(xué)管理方案［1］，綜合考慮水沙變量相依特征，進(jìn)而開展水沙二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分析則尤為必要。

Copula 函數(shù)作為一種構(gòu)造多維變量聯(lián)合分布的有效方法，在水文學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。Copula 函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于其不要求變量具有相同的邊緣分布，任意邊緣分布都可以通過Copula 函數(shù)連接構(gòu)成聯(lián)合分布，該聯(lián)合分布里包含了變量所有的信息，在轉(zhuǎn)換過程中不會(huì)產(chǎn)生信息失真［2］。丁志宏等［1］以潼關(guān)水文站汛期次洪過程中的洪峰流量和相應(yīng)次洪過程中的最大含沙量系列為基礎(chǔ)，運(yùn)用Copula 函數(shù)方法構(gòu)建了黃河中游汛期水沙聯(lián)合分布模型并對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行了探討。周念清等采用Copula 函數(shù)建立洞庭湖流域水沙聯(lián)合分布模型，分析洞庭湖流域水沙豐枯遭遇頻率［3］。馮平等探討了以Gumbel 分布為邊際分布的二維聯(lián)合分布模型，建立并探討了聯(lián)合重現(xiàn)期和條件重現(xiàn)期分布模型的實(shí)用功能［4］。陳子燊等［5］應(yīng)用阿基米德極值Copula 與Kendall 分布函數(shù)構(gòu)建不同歷時(shí)暴雨組合的聯(lián)合概率分布模式，分析各歷時(shí)暴雨組合的遭遇概率、“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期和二次重現(xiàn)期，以出現(xiàn)最大可能概率的方法推算各組合的設(shè)計(jì)暴雨值。李天元等［6］基于Copula 函數(shù)構(gòu)造洪水峰、量之間的二維聯(lián)合分布，推導(dǎo)了兩種具有統(tǒng)計(jì)意義的兩變量聯(lián)合設(shè)計(jì)值組合，即兩變量同頻率組合和條件期望組合。以清江流域隔河巖水庫為應(yīng)用實(shí)例，從防洪安全的角度考慮，推薦采用兩變量同頻率組合作為水庫防洪設(shè)計(jì)值。

水文過程是一種受氣候、氣象、地形、地貌和下墊面等因素影響的復(fù)雜自然過程，蘊(yùn)涵著確定性的動(dòng)態(tài)規(guī)律和不確定性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。由于水文現(xiàn)象的極端復(fù)雜性以及人類認(rèn)識(shí)水平的限制，使得對(duì)水文過程的認(rèn)識(shí)存在著不確定性［7］。水文頻率分析中主要采用參數(shù)模型方法，在此框架下包含著一般樣本抽樣、線型選取和參數(shù)估計(jì)等三個(gè)方面的內(nèi)容［7-8］。其中，水文樣本系列通常長度較短，樣本對(duì)總體的代表性不高，基于觀測樣本開展的水文分析存在著顯著的不確定性，進(jìn)而影響管理決策的制定。如何在基于Copula 函數(shù)的聯(lián)合分布模型中對(duì)這一不確定性加以合理考慮并對(duì)其進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，具有重要意義［9］。由此，采用Copula 函數(shù)研究水沙聯(lián)合分布特征，同時(shí)量化樣本不確定性對(duì)其影響則是本文主要研究目標(biāo)。

涇河為黃河流域十大水系之一，是黃河洪水泥沙主要來源地之一。涇河流域暴雨集中，產(chǎn)流量集中，一次產(chǎn)流量大，含沙量也特別高，最大超過800 kg/m3。高強(qiáng)度暴雨形成高含沙水流，高含沙水流既有極強(qiáng)的輸沙能力，又有很強(qiáng)的侵蝕能力［10］。要塑造協(xié)調(diào)的水沙關(guān)系，為水沙災(zāi)害的治理提供指導(dǎo)，就必須對(duì)流域的水沙分布特征有較為準(zhǔn)確的分析和掌握。目前，國內(nèi)外對(duì)水沙關(guān)系研究主要集中在，分析氣候變化（主要為降水）、人類活動(dòng)（水利工程、水土保持措施等）對(duì)流域減水、減沙效益的評(píng)估，以及流域產(chǎn)流產(chǎn)沙機(jī)制的影響方面［11］。在水沙聯(lián)合分布模型及其應(yīng)用方面，研究主要針對(duì)于流域水沙特征值或設(shè)計(jì)值以及水沙豐枯遭遇的變化情況［1，11-13］。而要為流域治理規(guī)劃、生態(tài)恢復(fù)及防災(zāi)減災(zāi)等工作提供決策依據(jù)，還必須研究水沙序列固有的樣本不確定性，因?yàn)樗陈?lián)合頻率分析以及水沙設(shè)計(jì)值的不確定性，影響著流域水利水保工程修建規(guī)模的設(shè)計(jì)、流域水沙調(diào)控等方方面面，具有重要意義。

綜上所述，本文以涇河流域控制站——張家山水文站為研究對(duì)象，提出基于蒙特卡洛法的兩變量聯(lián)合設(shè)計(jì)值不確定性量化方法。該方法基于Copula 函數(shù)建立水沙兩變量聯(lián)合分布模型，推求水沙兩變量聯(lián)合設(shè)計(jì)值組合——最大可能組合，利用蒙特卡洛抽樣法分析樣本不確定性對(duì)水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值的影響，計(jì)算兩變量設(shè)計(jì)值置信區(qū)間。本次研究可為水沙聯(lián)合概率分析提供一種新的視角，并為其在水利工程中的應(yīng)用提供典型案例。

2 研究區(qū)域概況與數(shù)據(jù)

涇河流域西起六盤山，東界子午嶺，南沿渭北高原，北臨寧夏、陜西交界的白于山麓。干流全長483 km，流域面積為45 421 km2［14］。流域多年平均降水量為516.7 mm，多年平均水面蒸發(fā)為800 ～1400 mm，年均徑流量16.25 億m3，年均含沙量132.2 kg/m3［11］。作為涇河把口站，張家山水文站控制涇河流域95 %的面積，屬國家重要站，集水面積43 216 km2，距河口里程58 km。張家山水文站以上河段流經(jīng)黃土高原，植被覆蓋率低，張家山河段比降大，流速快，河流沖刷嚴(yán)重［15］。涇河流域地理位置見圖1。

本文選取涇河流域張家山水文站1960—2012年實(shí)測月徑流量與月輸沙量資料，數(shù)據(jù)來源于黃河流域水文年鑒，已通過三性審查。圖2為張家山站徑流量與輸沙量均值年內(nèi)12 個(gè)月變化過程。由圖可知，涇河流域汛期（6—10月）產(chǎn)水產(chǎn)沙量較其他月份顯著增加。其中，汛期徑流量占全年比71.09 %，輸沙量占全年比96.73 %。故此，本次研究采用6—10月份徑流量、輸沙量之和，作為水沙聯(lián)合分布模型輸入數(shù)據(jù)。

3 研究方法

廣義極值分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、P-Ⅲ分布、Gamma 分布是水文分析中的常用概率分布類型［16-20］。用上述4 種分布擬合張家山水文站徑流量與輸沙量邊緣分布，以AIC 準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的邊緣分布；基于Copula 函數(shù)建立水沙聯(lián)合分布模型，以AIC 準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的聯(lián)合分布?；诖?，計(jì)算徑流量與輸沙量的聯(lián)合“或”重現(xiàn)期下的“最大可能組合”聯(lián)合設(shè)計(jì)值，應(yīng)用蒙特卡洛方法評(píng)估樣本不確定性對(duì)水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值的影響，利用二維自適應(yīng)核密度估計(jì)方法計(jì)算該聯(lián)合設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間；為進(jìn)一步分析該聯(lián)合設(shè)計(jì)值的不確定性隨重現(xiàn)期變化的關(guān)系，采用聯(lián)合熵量化不同重現(xiàn)期下該聯(lián)合設(shè)計(jì)值的不確定性。

圖1 涇河流域地理位置

圖2 徑流量與輸沙量均值年內(nèi)12 個(gè)月變化過程

3.1 水沙聯(lián)合分布模型本文選取的4 種邊緣分布概率密度函數(shù)如下：

P-Ⅲ分布概率密度函數(shù)：

Gev 分布概率密度函數(shù)：

Gamma 分布概率密度函數(shù)：

對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)：

假設(shè)X、Y 分別表示年徑流量與年輸沙量，對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)值分別為x、y，其邊緣分布分別為FX（x）、FY（y）。由Sklar 定理知，X 和Y 的聯(lián)合分布函數(shù)可以用一個(gè)二維Copula 函數(shù)C 表示［21］

式中：F（x，y）為X 和Y 的聯(lián)合分布函數(shù)；θ為Copula 函數(shù)的參數(shù)。

Copula 函數(shù)總體上可以分為3 類：橢圓型、二次型和Archimedean 型。其中Archimedean 型（分為對(duì)稱Archimedean 型和非對(duì)稱Archimedean 型）在水文領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛［3］。選用三種常用的Archimedean 型Copula 函數(shù)構(gòu)造水沙聯(lián)合分布模型，函數(shù)表達(dá)式如下：

Gumbel Copula 函數(shù)：

Clayton Copula 函數(shù)：

Frank Copula 函數(shù)：

式中：u 和v 分別代表邊緣分布函數(shù)，u=FX（x），v=FY（y）。

3.2 兩變量聯(lián)合重現(xiàn)期重現(xiàn)期是水利工程中一個(gè)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的概念，是用來衡量水文事件量級(jí)的重要指標(biāo)。陳子燊等［5］在研究排水排澇兩級(jí)標(biāo)準(zhǔn)銜接的設(shè)計(jì)暴雨水平時(shí)，曾定義三種聯(lián)合重現(xiàn)期，“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期與二次重現(xiàn)期。

為精簡文章篇幅，本文主要分析“或”重現(xiàn)期下水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值，其余類型重現(xiàn)期下水沙設(shè)計(jì)值分析方法與“或”重現(xiàn)期時(shí)相同。采用算符“ ˇ”定義兩變量“OR”事件則事件的“OR”聯(lián)合重現(xiàn)期（“或”重現(xiàn)期）為：

風(fēng)險(xiǎn)即非期望事件的發(fā)生概率，可用“OR”聯(lián)合重現(xiàn)期表征徑流量與輸沙量組合遭遇的風(fēng)險(xiǎn)?！癘R”重現(xiàn)期表示的是X、Y 這兩個(gè)變量中任一變量的設(shè)計(jì)值被超越時(shí)的重現(xiàn)期。

3.3 兩變量聯(lián)合設(shè)計(jì)值對(duì)于單變量情況，若給定重現(xiàn)期T，相應(yīng)的臨界概率水平p，相應(yīng)的分位數(shù)（設(shè)計(jì)值）其值是唯一的，且被廣泛地應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)中。針對(duì)兩變量情況，則變得相對(duì)復(fù)雜。對(duì)于給定的任一聯(lián)合重現(xiàn)期TOR，在理論上存在無數(shù)種徑流量輸沙量組合（x，y）滿足設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。這些（x，y）的組合可以用一條重現(xiàn)期等值線來描述。聯(lián)合重現(xiàn)期等值線上的每個(gè)點(diǎn)，都代表一種水沙設(shè)計(jì)值組合，每種組合的聯(lián)合重現(xiàn)期均等于同一個(gè)TOR值。然而在實(shí)際工程設(shè)計(jì)與應(yīng)用中，決策者需要的是某一適當(dāng)?shù)乃陈?lián)合設(shè)計(jì)值或某一置信水平下水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值的估計(jì)區(qū)間，針對(duì)這一矛盾，Salvadori 等人［22］提出一種具有統(tǒng)計(jì)意義的聯(lián)合設(shè)計(jì)值組合——最大可能組合。最大可能組合是指（x，y）在某一重現(xiàn)期水平下，聯(lián)合概率密度函數(shù)f（x，y）取最大值時(shí)的聯(lián)合設(shè)計(jì)值組合模式。

求解方程如下：

3.4 基于蒙特卡洛的聯(lián)合概率計(jì)算不確定性評(píng)估蒙特卡洛隨機(jī)方法以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，可用來分析各種不確定性的問題［23］。本文應(yīng)用蒙特卡洛方法，對(duì)樣本進(jìn)行多次重抽樣，可評(píng)估樣本不確定性對(duì)水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值的影響。具體步驟如下：

（1）基于式（5）所示的Copula 函數(shù)，估計(jì)聯(lián)合分布模型的參數(shù)；

（2）以上述基于Copula 函數(shù)的聯(lián)合分布模型代表總體，從中抽取與觀測值同等長度的二元樣本，應(yīng)用蒙特卡洛方法模擬2000 次；

（3）使用與基于觀測值的水沙聯(lián)合分布模型相同的估參方法估計(jì)基于模擬樣本的聯(lián)合分布模型的參數(shù)值，得到2000 組參數(shù)值與各參數(shù)95 %置信水平下的估計(jì)區(qū)間；

（4）在每一種參數(shù)組合下，由式（10）計(jì)算TOR=20、30、40、50、60、70、80、90、100年重現(xiàn)期水平下最大可能組合的水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值。

3.5 聯(lián)合設(shè)計(jì)值的二元置信區(qū)間選用最為常見的高斯函數(shù)作為核函數(shù)，文獻(xiàn)［24］給出了多維核密度估計(jì)的定義：

式中：x 為d 維向量；n 為樣本容量；h 為窗寬；S 為樣本協(xié)方差矩陣。

本文采用最小二乘交叉識(shí)別法（LSCV）計(jì)算窗寬h。當(dāng)核函數(shù)為高斯函數(shù)時(shí)，可得下式［25］：

令式（11）中d=2，便可得二維自適應(yīng)核密度估計(jì)模型。

應(yīng)用二維自適應(yīng)核密度估計(jì)模型得到聯(lián)合概率密度函數(shù)后，用一個(gè)平面f（x，y）=C 來截取該函數(shù)的空間曲面，得到一組等概率密度輪廓線，在同一輪廓線內(nèi)其密度相同。用R 語言emdbook 包中的HPDregionplot 函數(shù)可繪制某一顯著性水平α下的等概率密度輪廓線，這一曲線包含了1-α的樣本［26］。

3.6 基于聯(lián)合信息熵的不確定性評(píng)估信息熵是信息的基本單位，是一種描述隨機(jī)變量的分散程度的統(tǒng)計(jì)量。信息熵不僅針對(duì)于一維情況，對(duì)于更高維的情況，可以定義聯(lián)合信息熵。例如，隨機(jī)變量X 和Y 的聯(lián)合信息熵可以用它們的聯(lián)合分布 fX,Y(x，y)定義：

式中S 為 fX,Y(x，y )的定義域。

信息熵可以作為變量的分散程度，或稱為不確定性的度量指標(biāo)。信息熵越大，隨機(jī)變量的分散程度越大，對(duì)該隨機(jī)變量的值我們就越“不確定”［27］。

4 結(jié)果及其分析

4.1 聯(lián)合分布模型為了研究涇河流域張家山水文站徑流量與輸沙量兩個(gè)序列之間的相關(guān)性，本文采用Kendall 秩相關(guān)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)聯(lián)合分布模型輸入數(shù)據(jù)，得到P=8.004×10-9。P 值小于0.05，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為在0.05 的水平上兩個(gè)序列具有顯著的相關(guān)性。要進(jìn)一步深入的了解涇河流域水沙耦合作用下的復(fù)雜水文事件，必須全面考慮徑流、泥沙兩個(gè)相關(guān)變量，建立水沙聯(lián)合分布模型。

Copula 函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法包括矩法、核估計(jì)法、非參數(shù)估計(jì)法、極大似然估計(jì)法等。隨機(jī)變量的邊緣分布一般采用極大似然法估計(jì)和矩法估計(jì)，而Copula 連結(jié)函數(shù)的參數(shù)估計(jì)通常采用非參數(shù)估計(jì)法、適線法和極大似然法。以極大似然法估計(jì)4 種邊緣分布的參數(shù)，結(jié)果如表1和圖3所示。

K-S 檢驗(yàn)（Kolmogorov-Smirnov Test）基于累積分布函數(shù)，用以檢驗(yàn)兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否不同或一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布與另一個(gè)理想分布是否不同［28］。假設(shè)檢驗(yàn)問題如下：樣本總體分布服從某特定分布（H0），樣本總體分布不服從某特定分布（H1）。設(shè)D 為F0（x）與Fn（x）差距的最大值，定義如下：

式中：Fn（x）為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)；F0（x）為假設(shè)的總體分布函數(shù)。

表1 邊緣分布參數(shù)值

圖3 邊緣分布概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)曲線

當(dāng)D＞Dα?xí)r，接受H1；當(dāng)D≤Dα?xí)r，接受H0。

AIC 最小準(zhǔn)則的原理是若欲從一組可供選擇的模型中選擇一個(gè)最佳模型，應(yīng)選擇AIC 值最小的模型［29］。AIC 值的表達(dá)式為：

采用K-S 檢驗(yàn)法對(duì)邊緣分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，并使用AIC 最小準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的邊緣分布，結(jié)果見表2。經(jīng)檢驗(yàn)，張家山站數(shù)據(jù)服從假定4 種分布的P 值均大于0.05，無法拒絕原假設(shè)，因此認(rèn)為通過了假設(shè)檢驗(yàn)。徑流量與輸沙量的最優(yōu)擬合分布均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

基于Copula 函數(shù)建立水沙聯(lián)合分布模型，以極大似然法估計(jì)Copula 函數(shù)的參數(shù)，結(jié)果見表3。由表3中AIC 值可知，應(yīng)選取Gumbel Copula 為最優(yōu)Copula 函數(shù)，其概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)三維圖見圖4。通過聯(lián)合分布可以得到給定年徑流量和年輸沙量對(duì)應(yīng)的聯(lián)合概率，反之，給定年水沙聯(lián)合概率和一個(gè)變量值，可以得到另一個(gè)變量的值。

表2 K-S 檢驗(yàn)與AIC 值

表3 聯(lián)合分布參數(shù)與AIC 值

圖4 概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)三維圖

4.2 基于蒙特卡洛的聯(lián)合分布模型不確定性評(píng)估在模型實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)首先需要解決的問題就是參數(shù)的識(shí)別。不確定性理論的發(fā)展改變了傳統(tǒng)的基于優(yōu)化的參數(shù)識(shí)別體系［30］。為了獲取更可靠的模型參數(shù)，不確定性思想認(rèn)為通過一定的統(tǒng)計(jì)方法獲得的多組參數(shù)具有更大的現(xiàn)實(shí)意義［31］。本文采用蒙特卡洛方法研究參數(shù)的不確定性，獲得模型參數(shù)95%置信水平下的參考范圍，為深入理解徑流泥沙模型系統(tǒng)提供了有效途徑。

聯(lián)合分布模型參數(shù)的估計(jì)區(qū)間見表4。其中，參數(shù)變幅的計(jì)算參考相對(duì)誤差，以參數(shù)置信區(qū)間寬度除以參數(shù)置信區(qū)間左邊界值表征。由表4可知，張家山站聯(lián)合分布模型呈現(xiàn)較大的不確定性。聯(lián)合分布的參數(shù)θ變幅為55.65%，邊緣分布的參數(shù)變幅因參數(shù)不同而呈現(xiàn)明顯的高低變化，u 未超過16.10%，但σ大約在50%。

表4 聯(lián)合分布模型參數(shù)95%置信區(qū)間

繪制“或”重現(xiàn)期等值線圖，如圖5所示。從中可知，所構(gòu)建的水沙聯(lián)合分布模型可以給出不同程度徑流量和輸沙量遭遇組合的重現(xiàn)期。史黎翔［32］在研究多變量水文事件重現(xiàn)期時(shí)指出，“或”重現(xiàn)期的危險(xiǎn)區(qū)域偏大，但其對(duì)危險(xiǎn)事件的定義明確，可滿足一些特定的應(yīng)用需要。在工程應(yīng)用中，一般選用某一“或”重現(xiàn)期作為安全或風(fēng)險(xiǎn)設(shè)計(jì)控制值。通過泥沙頻率與洪水頻率的組合，可以確定河道可能的時(shí)段最大、最小淤積量，抬升速度以及堤防的加高規(guī)劃指標(biāo)等［33］。同一重現(xiàn)期對(duì)應(yīng)不同的水沙組合事件，選取適宜的典型洪水過程線和含沙量過程線，采用同概率放大法，即可給出相應(yīng)的若干組具有相同重現(xiàn)期的不同設(shè)計(jì)洪水過程線和設(shè)計(jì)含沙量過程線相搭配的水沙配比體系，從而為規(guī)劃調(diào)度中水沙條件的選取與概化提供基礎(chǔ)的方向性指導(dǎo)［13］。綜上所述，水沙組合遭遇頻率是流域的重要參數(shù)，為開展流域治理規(guī)劃、生態(tài)恢復(fù)及防災(zāi)減災(zāi)等工作提供決策依據(jù)。

水沙聯(lián)合重現(xiàn)期與聯(lián)合設(shè)計(jì)值的準(zhǔn)確與否關(guān)系到流域水利工程建設(shè)是否經(jīng)濟(jì)合理，運(yùn)行是否安全可靠。采用設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)過高，會(huì)造成工程規(guī)模過大，必然增加工程投資；反之，如果設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)過低，會(huì)造成建設(shè)工程規(guī)模過小，不利于水利水電工程發(fā)揮其實(shí)際功能，導(dǎo)致工程重大失誤，更有甚者導(dǎo)致工程失事，造成巨大的生命財(cái)產(chǎn)的損失［32］。經(jīng)相關(guān)性檢驗(yàn)，涇河流域水沙存在顯著的相依性，不考慮相依性的水沙頻率分析及設(shè)計(jì)值推求存在誤差與風(fēng)險(xiǎn)。綜上所述，研究涇河流域水沙聯(lián)合重現(xiàn)期與聯(lián)合設(shè)計(jì)值的相關(guān)內(nèi)容，其成果不僅有助于了解涇河水沙特性，還可對(duì)涇惠渠渠首引水限沙及工程改建提供一定的技術(shù)參考，是一種新的設(shè)計(jì)參考思路。

水文頻率分析過程中，采用的水文樣本系列一般較短，通常只有40、50年的資料系列，樣本對(duì)總體的代表性存在偏差，使得基于給定樣本系列推斷出的總體參數(shù)存有較大不確定性，進(jìn)而影響水文設(shè)計(jì)值的可靠性。如何定量評(píng)價(jià)這種不確定性，并在工程設(shè)計(jì)中加以合理考慮，在工程水文設(shè)計(jì)中得到了廣泛重視［34］。

在TOR=20年下，推求最大可能組合聯(lián)合設(shè)計(jì)值為（22.73 億m3， 54924.96 萬t）。而本文采用蒙特卡洛方法，對(duì)原始樣本系列進(jìn)行重抽樣，獲得給定條件下水文設(shè)計(jì)值的區(qū)間估計(jì)。如圖5所示，在水沙聯(lián)合分布重現(xiàn)期等值線圖中，TOR=20年下聯(lián)合設(shè)計(jì)值50 %、75 %、95 %置信水平下的二元估計(jì)區(qū)間以一個(gè)二維平面的形式呈現(xiàn)。聯(lián)合設(shè)計(jì)值95 %置信水平下的二元區(qū)間在圖中覆蓋的面積較大，約跨越了5年至50年的重現(xiàn)期。

信息熵可以作為評(píng)價(jià)隨機(jī)變量不確定性大小的指標(biāo)，信息熵越大，不確定性越大。計(jì)算TOR=20 至TOR=100年重現(xiàn)期水平下（計(jì)算間隔為10年）水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值的聯(lián)合熵，如表5所示，定量評(píng)估聯(lián)合設(shè)計(jì)值的不確定性。由表5、圖5可知，TOR=20年下，聯(lián)合設(shè)計(jì)值已存在較大的不確定性，且隨著重現(xiàn)期水平的增加，聯(lián)合熵呈現(xiàn)明顯增加的趨勢，說明聯(lián)合設(shè)計(jì)值的不確定性在增大。

圖5 聯(lián)合重現(xiàn)期等值線與聯(lián)合設(shè)計(jì)值二元置信區(qū)間圖

表5 不同重現(xiàn)期水平下聯(lián)合設(shè)計(jì)值聯(lián)合熵統(tǒng)計(jì)

涇河流域土地平坦，農(nóng)業(yè)發(fā)達(dá)，礦藏豐富，經(jīng)濟(jì)開發(fā)潛力很大。耕地占全流域面積近1/3，是西北地區(qū)著名的產(chǎn)糧區(qū)。涇河流域水沙聯(lián)合分布模型及水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值如此之高的不確定性對(duì)流域水庫設(shè)計(jì)、防洪減沙等方面提出了巨大挑戰(zhàn)，在制定防災(zāi)政策時(shí)應(yīng)引起決策者的重視。

5 結(jié)論

涇河流域水土流失嚴(yán)重，生態(tài)脆弱，本文以高含沙河流涇河流域?yàn)檠芯繉?duì)象，建立徑流量與輸沙量聯(lián)合分布模型，進(jìn)行水沙組合遭遇風(fēng)險(xiǎn)分析；對(duì)水沙聯(lián)合分布模型進(jìn)行基于蒙特卡洛的不確定性評(píng)估，計(jì)算TOR=20 至TOR=100年（計(jì)算間隔為10年）重現(xiàn)期水平下的“最大可能組合”聯(lián)合設(shè)計(jì)值及其聯(lián)合熵，繪制TOR=20年下聯(lián)合設(shè)計(jì)值的二元置信區(qū)間圖。結(jié)論如下：

（1）繪制了“或”重現(xiàn)期下等值線圖，為涇河流域防洪調(diào)度工作和防洪減災(zāi)標(biāo)準(zhǔn)等提供了綜合考慮水沙耦合情況下新的描述基準(zhǔn)，將其描述范疇由X年一遇的洪水過程拓展到X年一遇的水沙過程。

（2）TOR=20年下，聯(lián)合設(shè)計(jì)值95 %二元置信區(qū)間在聯(lián)合重現(xiàn)期等值線圖中約跨越5年至50年的重現(xiàn)期，表現(xiàn)出較大的不確定性，對(duì)流域工程設(shè)計(jì)值的確定提出了巨大挑戰(zhàn)，且隨著重現(xiàn)期水平的增加，聯(lián)合設(shè)計(jì)值的不確定性隨之增加。

（3）涇河流域水沙聯(lián)合分布模型及水沙聯(lián)合設(shè)計(jì)值如此之高的不確定性對(duì)流域水庫設(shè)計(jì)、防洪減沙等方面的影響如何處理，有待進(jìn)一步研究。