常凌穎，宋晶晶，靳夢(mèng)竹

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

引言

光譜成像技術(shù)是一種將光譜和成像技術(shù)結(jié)合起來，同時(shí)獲得被測(cè)目標(biāo)的幾何信息和光譜信息，而基于聲光可調(diào)諧濾波器(acoustic-optic tunable filte, AOTF)的成像光譜儀具有諧調(diào)速度快、大孔徑、實(shí)時(shí)成像、沒有運(yùn)動(dòng)部件等優(yōu)點(diǎn)，在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、航空航天業(yè)，生命科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1-3]。

儀器的傳遞函數(shù)是衡量?jī)x器性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，光學(xué)傳遞函數(shù)是表述儀器空間的分辨能力，而光譜傳遞函數(shù)是表述光譜的分辨能力。目前，成像光譜儀光學(xué)傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)優(yōu)化方法已日趨完善[4]，隨著成像光譜儀的發(fā)展，需要在高空間傳遞函數(shù)條件下能獲得高的光譜傳遞函數(shù)。美國(guó)航空航天局(NASA)Katzberg、Statham等通過光譜調(diào)制簡(jiǎn)化分析了陣列型光譜成像儀的光譜傳遞特性[5]；中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所相里斌、王新全等通過等效光路圖研究了傅里葉型和光柵型光譜成像儀的光譜傳遞函數(shù)，提出了光譜數(shù)據(jù)恢復(fù)的新方法，但忽略了儀器自身色散的影響[6-7]；浙江大學(xué)趙烈烽、徐之海等人通過引入采樣模型分析了色散型光譜儀對(duì)典型高斯譜線平均混疊誤差的影響，沒有針對(duì)色散元件本身綜合分析光譜傳遞特性[8]。

光譜傳遞函數(shù)是儀器分辨率與透過函數(shù)的綜合表述，成像光譜儀的核心分光元件不能同時(shí)具有不同的光譜傳遞函數(shù)表達(dá)式，本文利用光學(xué)域光譜透過函數(shù)，推導(dǎo)了以波數(shù)Δv表示單、雙型AOTF的光譜傳遞函數(shù)。在光譜域中，雙AOTF型與單AOTF型光譜傳遞函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比分析，并探討了聲光互作用長(zhǎng)度L，入射光極角θi及入射光波長(zhǎng)λ對(duì)雙AOTF光譜傳遞函數(shù)的影響,研究結(jié)果為提高AOTF光譜成像儀的性能提供了理論參考數(shù)據(jù)。

1 AOTF的成像光譜儀工作原理

1.1 單AOTF型工作原理

單個(gè)成像型AOTF由聲光晶體(TeO2)，壓電換能器，吸聲體、擋光板組成，如圖1所示。超聲換能器上加載電信號(hào)，電信號(hào)在晶體內(nèi)轉(zhuǎn)換成聲波，晶體光軸沿001方向，為了防止聲波反射，透過介質(zhì)的聲波被吸聲體吸收。當(dāng)入射光為白光時(shí)，與超聲波一起產(chǎn)生非線性作用，滿足動(dòng)量匹配條件時(shí)，入射光在聲光互作用區(qū)產(chǎn)生布拉格效應(yīng)，除了零級(jí)光透射外還衍射出兩束光，一束為正衍射光，一束為負(fù)衍射光，分別位于零級(jí)光兩側(cè)，改變超聲波頻率則改變衍射光波長(zhǎng)[9-10]。

圖1 單AOTF的工作原理圖Fig.1 Working principle diagram of single AOTF

1.2 雙AOTF型工作原理

為了提高光譜分辨率，可以通過2個(gè)AOTF的串聯(lián)提高器件的光譜分辨率[11]。

雙AOTF型成像光譜儀的分光單元是由2個(gè)獨(dú)立的聲光可調(diào)濾波器組成，如圖2所示。2個(gè)主平面光軸相互平行，保證從第1個(gè)AOTF調(diào)諧出的光波平行入射到第2個(gè)AOTF中，2個(gè)超聲換能器的信號(hào)頻率可單獨(dú)調(diào)諧，控制2個(gè)AOTF中心波長(zhǎng)的差值，實(shí)現(xiàn)二次濾波[12]。

圖2 雙AOTF的工作原理圖Fig.2 Working principle of dual AOTF

2 單AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)

光譜傳遞函數(shù)是光譜信息傳輸?shù)囊环N綜合體現(xiàn)，研究光譜傳遞函數(shù)能夠直接從光譜域分析出儀器的性能特征。

2.1 用Δv表示的光譜透過函數(shù)

AOTF衍射光光強(qiáng)I0與入射光光強(qiáng)Ii的比值即為AOTF光譜透過函數(shù)h(Δv)[13]：

(1)

2.2 用λ表示的光譜透過函數(shù)

基于耦合波理論，并將光譜透過率函數(shù)進(jìn)行歸一化處理。設(shè)?！=π/2，取L=5 mm，此時(shí)理論衍射效率達(dá)到最大值[14]。在平行光入射時(shí)，聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)在小波長(zhǎng)范圍內(nèi)只與衍射光的波數(shù)差Δv有關(guān)，由(2)式可得到用λ表示的光譜透過率函數(shù)h(λ)：

(2)

由(2)式可知，λ0為入射光中心波長(zhǎng)，λ為衍射光波長(zhǎng),對(duì)為于不同入射光波長(zhǎng)，光譜透過函數(shù)都呈Sa函數(shù)形式。以入射光波長(zhǎng)λ=650 nm為例，討論單AOTF型光譜成像儀聲光晶體光譜透過函數(shù)。經(jīng)歸一化處理，光譜透過函數(shù)如圖3所示。

圖3 單AOTF晶體光譜透過函數(shù)Fig.3 Single AOTF crystal spectral transmission function(λ=650 mm，θi=30°，L=5 mm)

圖3中橫坐標(biāo)是波長(zhǎng)，單位為nm，縱坐標(biāo)為光譜透過率函數(shù)h，歸一化為1，λ為中心波長(zhǎng)，r(λ)為衍射光展寬的半高全寬(FWHM)。由圖3可以看出，中心波長(zhǎng)處光譜透過率最高，隨著衍射光波長(zhǎng)的遞增和遞減，光譜透過率以sinc2函數(shù)遞減。

取3個(gè)半高寬內(nèi)的光譜傳遞函數(shù)進(jìn)行討論分析[15]，此時(shí)光譜傳遞函數(shù)h(λ0)可表示為

h(λ0)= sinc2(λ0)+a1sinc2(λ0-λ1)+

a-1sinc2(λ0-λ-1)

(3)

2.3 單AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)

由于AOTF光譜儀在小波長(zhǎng)范圍內(nèi)滿足線性不變性，設(shè)入射光光譜強(qiáng)度為o(v)，在忽略噪聲的情況下，可得到通過光譜儀后衍射光的光譜強(qiáng)度d(v)，如下式所示：

(4)

由(4)式可知，當(dāng)波數(shù)差小于0時(shí)，不具有物理意義，定義v≤0時(shí)，o(v)=0。將光譜透過函數(shù)在波數(shù)差范圍內(nèi)積分就可以得到光譜傳遞函數(shù)[16]，現(xiàn)在將單AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換并歸一化得到AOTF光譜傳遞函數(shù)H(f)，f為單位波數(shù)間隔的譜線數(shù)，如下式所示：

(5)

則儀器的光譜傳輸為

D(f)=H(f)·O(f)

(6)

式中：D(f)、O(f)分別為輸出光與輸入光的光譜強(qiáng)度歸一化傅里葉變換。

基于AOTF型成像光譜儀的光譜分辨率為[17]

(7)

式中：λ為入射光波長(zhǎng)；b為色散系數(shù)；L為聲光互作用長(zhǎng)度；θi為入射光極角。

將(3)式～(7)式聯(lián)立，得到單AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)H(f)為

(8)

式中：最大波數(shù)差vmax=2.7π/bLsin2θi；λ為入射光波長(zhǎng)；b為色散系數(shù)；L為聲光互作用長(zhǎng)度；θi為入射光極角；f為單位波數(shù)間隔的譜線數(shù)。

3 雙AOTF型成像光譜儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)

在推導(dǎo)了單AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)雙AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)來進(jìn)行對(duì)比。

3.1 用Δv表示的光譜透過函數(shù)

當(dāng)AOTF1中心波長(zhǎng)λ1不變的情況下，由(9)式可得：

(9)

式中：Γ值為定值；λ1、λ2分別為AOTF1和AOTF2的中心波長(zhǎng)；b為色散系數(shù)；L為聲光互作用長(zhǎng)度，θi為入射光極角，v為衍射光波數(shù)差。

3.2 用λ表示的光譜透過函數(shù)

λ表示的光譜透過函數(shù)為

(10)

式中：透過因子Γ為定值；λ1、λ2分別為AOTF1和AOTF2的中心波長(zhǎng)；b為色散系數(shù)；L為聲光互作用長(zhǎng)度；θi為入射光極角；λ為衍射光波長(zhǎng)；兩聲光晶體的聲光互作用長(zhǎng)度L和入射光極角相等。

取AOTF1、AOTF2的聲光互作用長(zhǎng)度L=5 mm、入射光極角θi=30°，AOTF1中心波長(zhǎng)取650 nm，調(diào)整AOTF2中心波長(zhǎng)分別為650.5 nm和651 nm。

此時(shí)雙AOTF型光譜透過函數(shù)h總(λ)如圖4所示。從圖4中可以看出，隨著AOTF2與AOTF1中心波長(zhǎng)的差值加大，半高寬FWMH由1.4 nm降到1.2 nm，光譜透過值由0.9降到0.64，說明隨著AOTF2與AOTF1中心波長(zhǎng)差值的增大，雙AOTF的半高寬FWMH在減小，光譜透過函數(shù)也在減小。

圖4 雙AOTF晶體光譜透過函數(shù)Fig.4 Single AOTF crystal spectral transmission function

3.3 雙AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)

由于AOTF型成像光譜儀的光譜傳遞函數(shù)是對(duì)光譜透過函數(shù)在波數(shù)差范圍內(nèi)積分得到的結(jié)果，當(dāng)λ1、λ2、θi、L、確定的情況下，雙AOTF型成像光譜儀的光譜透過函數(shù)只與衍射光的波數(shù)差有關(guān)。將(4)式、(5)式、(7)式和(10)式聯(lián)立可得雙AOTF光譜傳遞函數(shù)H(f)為

(11)

其中vmax會(huì)因?yàn)镕WMH的變化而發(fā)生變化。AOTF1和AOTF2串聯(lián)后，F(xiàn)WMH在減小，vmax相應(yīng)也減小，AOTF1和AOTF2中心波長(zhǎng)相等時(shí)vmax對(duì)傳遞函數(shù)影響最大。當(dāng)AOTF1=AOTF2=650 nm，L=4 mm，θi=30°時(shí)，由FWMH導(dǎo)致的vmax減小使光譜傳遞函數(shù)截止頻率由0.038 cm-1增加到0.039 cm-1，僅增加了0.25%，可忽略不計(jì)。

4 AOTF型光譜成像儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)比對(duì)

由2.3節(jié)和3.3節(jié)得到了以波數(shù)Δv表示單、雙AOTF型的光譜傳遞函數(shù),由(8)式、(11)式從單、雙AOTF型的光譜傳遞函數(shù)的表達(dá)式可以看出，兩者形式相似，不同之處在于光譜透過函數(shù)的差異，在工作波段為400 nm～900 nm范圍內(nèi)，改變波長(zhǎng)，以入射光波長(zhǎng)λ=650 nm為例，討論單、雙AOTF型光譜成像儀聲光晶體光譜傳遞函數(shù)的差異。

4.1 AOTF1和AOTF2中心波長(zhǎng)相等時(shí)聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)

分別取單AOTF型的入射光波長(zhǎng)λ=650 nm、400 nm、900 nm，對(duì)應(yīng)雙AOTF型的AOTF1和AOTF2的中心波長(zhǎng)均為650 nm、400 nm、900 nm，圖5為中心波長(zhǎng)不同時(shí)，單、雙AOTF晶體的光譜傳遞函數(shù)對(duì)比圖。

圖5 單、雙AOTF晶體的光譜傳遞函數(shù)對(duì)比圖Fig.5 Comparison of spectral transfer functions between single and dual AOTF crystals(θi=30°，L=5 mm)

由圖5可知，給定θi、L，相同入射光波長(zhǎng)下，雙AOTF型在相同中心波長(zhǎng)下截止頻率大于單AOTF，雙AOTF型的平均光譜值為2.1/cm-1，單AOTF型平均光譜值為1.25/cm-1，光譜傳遞函數(shù)平均提高了68%；對(duì)于同一截止頻率，雙AOTF型的光譜傳遞函數(shù)明顯優(yōu)于單AOTF型的光譜傳遞函數(shù)。

4.2 AOTF1和AOTF2中心波長(zhǎng)不相等時(shí)聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)

單AOTF型的入射光波長(zhǎng)λ=650 nm，雙AOTF型的AOTF1波長(zhǎng)取650 nm, 調(diào)整AOTF2的中心波長(zhǎng)從650 nm變動(dòng)到652 nm，最大中心波長(zhǎng)差為2 nm。

圖6為AOTF1和AOTF2中心波長(zhǎng)不相等時(shí)聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)與單AOTF型聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)的對(duì)比圖。

由圖6可知，雖然單AOTF光譜與雙AOTF光譜存在交點(diǎn)，主要是由于對(duì)光譜圖歸一化處理以及雙AOTF二次平滑所致，但截止頻率并不受影響，所以分析截止頻率更能反映出光譜特性，雙AOTF型光譜傳遞函數(shù)隨著AOTF1和AOTF2中心波長(zhǎng)差的增大，光譜傳遞函數(shù)截止頻率在減小。與單AOTF型成像光譜儀相比，雙AOTF型成像光譜儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)并不絕對(duì)優(yōu)于單AOTF型，具體分析計(jì)算圖見表1所示。

圖6 AOTF1和AOTF2中心波長(zhǎng)不相等時(shí)聲光晶體 的光譜傳遞函數(shù)Fig.6 Spectral transfer function of acousto-optic crystals when AOTF1 and AOTF2 are not equal in center wavelength

參數(shù)單AOTF型雙AOTF型(AOTF1=650 nm,調(diào)節(jié)AOTF2中心波長(zhǎng))中心波長(zhǎng)λ/nm650650650.5650.6650.7650.8650.9651651.5652帶寬Δλ/nm/00.50.60.70.80.911.52截止頻率f/cm-22.24.03.73.232.62.32.11.41

當(dāng)AOTF2中心波長(zhǎng)在650 nm～650.9 nm之間，截止頻率從0.04 cm-1下降到0.023 cm-1，此時(shí)雙AOTF型成像光譜儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)優(yōu)于單AOTF型。當(dāng)AOTF2中心波長(zhǎng)在651 nm～652 nm之間,截止頻率從0.021 cm-1下降到0.01 cm-1，雙AOTF型成像光譜儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)略小于單AOTF型，通過光譜傳遞函數(shù)我們能讀取出一個(gè)臨界值，該臨界值的物理意義為雙AOTF晶體在保證單AOTF傳遞特性的基礎(chǔ)上，可視為衍射效率的極小值和光譜分辨率的極大值。

5 影響雙AOTF型光譜傳遞函數(shù)的因素分析

5.1 入射光極角θi對(duì)雙AOTF晶體光譜傳遞函數(shù)的影響

AOTF型光譜成像儀最佳入射光極角θi為20°～30°之間[18]，當(dāng)AOTF1、AOTF2中心波長(zhǎng)λ都為650 nm，L=5 mm情況下，雙AOTF光譜傳遞函數(shù)與θi的關(guān)系如圖7所示。

圖7 雙 AOTF晶體光譜傳遞函數(shù)與θi關(guān)系Fig.7 Relationship between spectral transfer function and θi of dual AOTF crystal

由圖7可知，隨著入射光極角θi的增大，截止頻率f隨之增大，當(dāng)入射光極角θi從20°增大到30°，截止頻率f從0.012 cm-1增加到0.037 cm-1，對(duì)于同一截止頻率，隨著入射光極角θi的增大，光譜傳遞函數(shù)也在增大。

5.2 聲光互作用長(zhǎng)度L對(duì)雙AOTF晶體光譜傳遞函數(shù)的影響

AOTF聲光互作用長(zhǎng)度L=2.5 mm～10 mm，當(dāng)AOTF1、AOTF2入射光極角都為θi=30°，入射光波長(zhǎng)為λ=650 nm情況下，雙AOTF光譜傳遞函數(shù)與聲光互作用長(zhǎng)度L的關(guān)系如圖8所示。

圖8 雙AOTF晶體光譜傳遞函數(shù)與L的關(guān)系Fig.8 Relationship between spectral transfer function and L of dual AOTF crystal

由圖8可知，λ1=λ2=650 nm，θi=30°，雙AOTF光譜傳遞函數(shù)在L=2.5 mm～10 mm之間，隨著L的增大，截止頻率從0.021 cm-1增加到0.077 cm-1。

5.3 入射光波長(zhǎng)對(duì)雙AOTF晶體光譜傳遞函數(shù)的影響

聲光互作用長(zhǎng)度L=5 mm，入射光極角θi=30°，AOTF光譜傳遞函數(shù)與入射光波長(zhǎng)λ的關(guān)系如圖9所示。

圖9 雙AOTF晶體光譜傳遞函數(shù)與λ的關(guān)系Fig.9 Relationship between spectral transfer function and λ of dual AOTF crystal

參數(shù)波長(zhǎng)λ/nm400500600700800900帶寬v/nm0.61.11.62.23.03.8波束Δv/cm-257.364.067.369.270.471.2色散b1.21.071.020.990.980.97

由圖9可知，雙AOTF光譜傳遞函數(shù)在波長(zhǎng)400 nm～900 nm之間隨著入射光波長(zhǎng)的增大截止頻率從0.045 cm-1下降到0.036 cm-1，表2為不同波長(zhǎng)下的仿真參數(shù)。由表2、圖9可知，隨著入射光波長(zhǎng)的增大，帶寬和波束差Δv在增大，色散b在減小，截止頻率f的降低實(shí)際上是由于色散導(dǎo)致的。入射光波長(zhǎng)400 nm比900 nm光譜傳遞函數(shù)平均提高31.1%。選定λ，隨著L、θi的增大，f截止頻率越高。選取L、θi，λ值越小，f截止頻率越高。說明在此工作波段研究雙AOTF型光譜傳遞函數(shù)的時(shí)候，選取大的L即在制作工藝上選取多個(gè)L=2.5 mm壓電換能器串聯(lián)，θi=30°，λ=400 nm有利于提高光譜儀的截止頻率，提升光譜傳遞特性。

6 結(jié)論

光譜傳遞函數(shù)是光譜成像儀透過函數(shù)與光譜分辨率的綜合體現(xiàn)，對(duì)于提高儀器信息獲取能力有重要的作用，本文推導(dǎo)了單、雙AOTF型成像光譜儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)，結(jié)果表明，在θi=30°,L=5 mm，λ=400 nm～900 nm內(nèi)，當(dāng)雙AOTF型成像光譜儀工作中心波長(zhǎng)相等時(shí)，相比同一工作中心波長(zhǎng)時(shí)的單AOTF型成像光譜儀，光譜傳遞函數(shù)提高了68%；當(dāng)成像光譜儀工作中心波長(zhǎng)不相等時(shí)，雙AOTF型成像光譜儀聲光晶體的光譜傳遞函數(shù)并不絕對(duì)優(yōu)于單AOTF型，AOTF截止頻率存在臨界值，該臨界值是相對(duì)單AOTF光譜分辨率提升的極限值。在工作波段400 nm～900 nm，入射光極角θi為30°，聲光互作用長(zhǎng)度L為5 mm，入射光波長(zhǎng)在400 nm比900 nm時(shí)的光譜傳遞函數(shù)提高了31.1%。研究結(jié)果為提高AOTF光譜成像儀的性能提供了理論參考數(shù)據(jù)。