石兆羽，楊紹普，趙志宏

(1．石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043;2．河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

0 引言

如今很多領(lǐng)域都需要提取淹沒在強噪聲中的微弱信號，例如語音處理、生物醫(yī)學工程、混沌保密通信等［1-2］。傳統(tǒng)的信號處理方法忽略了混沌信號的固有幾何性質(zhì)而當做隨機噪聲進行處理，使得建立的模型精度比較差，從而導致檢測微弱信號的能力降低?；诨煦缯褡拥臋z測方法則利用了混沌的確定性性質(zhì)來提取強噪聲背景中的微弱信號［3］?；煦鐧z測原理簡單易行，利用混沌振子對參數(shù)及其初值的敏感性及對噪聲的抑制性即可檢測出微弱信號［4-6］，因此自從Birx et al［7］應(yīng)用混沌振子檢測微弱信號以來，國內(nèi)外很多學者開始研究該領(lǐng)域，使得混沌檢測法得到了不斷地發(fā)展［8］。目前為止，利用混沌振子可檢測的微弱信號類型有方波信號，諧波信號以及任意頻率的周期信號，噪聲類型有高斯白噪聲，高斯色噪聲，檢測到的信噪比門限比其它檢測方法要低得多，可見，應(yīng)用混沌振子檢測微弱信號具有很好的發(fā)展前景。

本文研究的是Duffing振子和Van der Pol-Duffing振子通過耦合進行微弱信號檢測，首先使用分岔圖及二分法確定耦合系統(tǒng)臨界值，仿真研究發(fā)現(xiàn)該耦合混沌系統(tǒng)具有復雜的動力學行為，能夠從強噪聲背景中提取出微弱正弦信號，對于混合微弱正弦信號，則能夠把不同頻率的微弱正弦信號一一檢測出來，從而驗證了其可行性。

1 建立耦合混沌系統(tǒng)模型

Duffing振子因其自身的非線性動力學特性(振蕩、同宿軌道、分岔、混沌和周期)而成為了經(jīng)典的混沌系統(tǒng)之一，研究Duffing系統(tǒng)的動力學行為有助于進一步了解其性質(zhì)以及更好地完善混沌理論。以下是經(jīng)典的Homes型Duffing方程的數(shù)學表達式

式中，c為阻尼系數(shù);ax+bx3為回復力;a和b是回復力系數(shù);f1cos(ω1t)是周期策動力，f1和ω1分別是周期策動力的幅值和頻率。

Van der Pol-Duffing振蕩系統(tǒng)是一種典型的自激勵振蕩系統(tǒng)，自激極限環(huán)振蕩系統(tǒng)的原形就來源于它。它的同步現(xiàn)象以及混沌現(xiàn)象是眾多學者研究的熱點。Van der Pol-Duffing振子作為一種描述振蕩過程的基礎(chǔ)模型已經(jīng)在生物學、神經(jīng)學、物理學和經(jīng)濟學領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。Van der Pol-Duffing振子的數(shù)學表達式如下

式中，u是阻尼系數(shù);ε是剛度系數(shù);f2cos(ω2t)是周期策動力，f2和ω2分別是周期策動力的幅值與頻率。

由于Duffing振子和Van der Pol-Duffing振子均對參數(shù)和初值具有敏感性，對噪聲具有免疫力，能夠有效地提取出淹沒在強噪聲背景中的微弱信號，因而在微弱信號檢測領(lǐng)域，混沌檢測微弱信號成為了研究熱點［9-15］。通過線性耦合將兩振子耦合在一起，對于式(1)，取a=－1，b=1，對于式(2)，取ε=1，對耦合系統(tǒng)作用共同的參考信號f cos(ωt+θ)，ω取值為1，建立的耦合混沌系統(tǒng)如下

式中，c和u為耦合混沌系統(tǒng)的阻尼系數(shù);k為耦合系數(shù);f cos(t+θ)是參考信號，f是幅值，θ為初相位，通常情況下取0。當其它參數(shù)取固定值，耦合混沌系統(tǒng)的狀態(tài)會隨著f的變化而有規(guī)律地變化。當f處于臨界閾值時，若輸入與參考信號同頻率(或頻率相近)同相位的微弱信號，系統(tǒng)會由混沌態(tài)躍遷到周期態(tài)，從而完成對微弱信號的檢測。

2 分岔圖與二分法確定系統(tǒng)精確閾值

選取參數(shù)c=0．5，u=1。值得注意的是，當耦合系數(shù)k為0時，兩個混沌振子的耦合作用就會消失，當k值越大，耦合強度越大，選取參數(shù)兩振子之間的相互作用就越強。選取k=0．2畫出系統(tǒng)分岔圖，如圖1所示。

由圖1可以看出，隨著參考信號幅值f的不斷增大，耦合混沌系統(tǒng)經(jīng)歷了單周期狀態(tài)，隨后經(jīng)倍周期分岔進入到雙周期狀態(tài)，經(jīng)歷混沌狀態(tài)后繼續(xù)分岔進入四周期狀態(tài)，然后再次歷經(jīng)混沌狀態(tài)，最后進入單周期狀態(tài)。

由分岔圖可以看出，耦合混沌系統(tǒng)的臨界閾值fe的大致范圍在0．75～0．8。當f=0．75時，耦合系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，f=0．8時，耦合系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，如圖2和圖3所示。

圖1 k=0．2時耦合系統(tǒng)的分岔圖

圖2 f=0．75時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)

圖3 f=0．8時，系統(tǒng)處于周期態(tài)

確定了臨界閾值的大致范圍后，可通過二分法快速搜索系統(tǒng)的精確臨界閾值。步驟如下:

(1)由于0．75對應(yīng)系統(tǒng)混沌態(tài)，0．8對應(yīng)周期態(tài)，可取二者的中間值0．775。

(2)通過觀察相圖可知0．775對應(yīng)混沌態(tài)，所以臨界閾值的取值范圍為0．775～0．8。以0．01為步長使0．775增加到0．785，該值對應(yīng)混沌態(tài)，0．795對應(yīng)周期態(tài)，再取二者中間值0．79。

(3)0．79對應(yīng)周期態(tài)，臨界閾值進一步縮小為0．785～0．79。以步長0．001使f增加到0．789，此值對應(yīng)混沌態(tài)，取0．789和0．79的中間值0．789 5。

(4)0．789 5對應(yīng)周期態(tài)，f的取值范圍是0．789～0．789 5。

(5)最終確定耦合混沌系統(tǒng)的臨界閾值fe為0．789，0．789和0．789 5所對應(yīng)的相圖如圖4和圖5所示。

圖4 f=0．789時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)圖

圖5 f=0．789 5時，系統(tǒng)處于周期態(tài)

通過以上步驟來確定從混沌態(tài)到周期態(tài)的臨界閾值不僅搜索速度快，精確度也較高，證實了二分法能夠?qū)εR界閾值進行精確定位。為了便于檢測任意頻率的信號，令t=ωτ，可對式(3)進行時間尺度的變換，得到

改寫成動力學方程為

通過上述變換，只需改變式(4)中的ω值，即可檢測任意頻率的微弱信號。

3 檢測單微弱正弦信號

檢測微弱正弦信號時，首先調(diào)整參考信號幅值f使其處于臨界閾值fe，然后將與參考信號同相位，頻率相近的微弱待檢正弦信號與噪聲同時輸入到耦合混沌系統(tǒng)，則式(4)變?yōu)?/p>

式中，a cos(ω(1+Δω)t)是微弱正弦信號，其中，a是幅值，遠小于fe，且a+fe＞fe;Δω是微弱正弦信號與參考信號間的相對頻差;n(t)=σ·ε(t)是高斯白噪聲。式(6)可簡化為

仿真實驗表明，待檢微弱正弦信號的頻率與參考信號的頻率的差值Δω的取值不是任意大的，必須在一定范圍內(nèi)，否則無論如何調(diào)節(jié)，耦合混沌系統(tǒng)都不會從混沌態(tài)躍遷到周期態(tài)，即此時耦合系統(tǒng)對待檢微弱正弦信號免疫，所以要想檢測出微弱正弦信號，待檢微弱正弦信號的頻率與參考信號的頻率需滿足︱Δω︱≤0．004 rad/s?；煦鐟B(tài)到周期態(tài)的躍遷過程需要足夠長的激勵時間，如果︱Δω︱＞0．005 rad/s，會很難辨別陣發(fā)混沌現(xiàn)象，F(xiàn)(t)變化的速度也會很快，導致系統(tǒng)不能很好地響應(yīng)。F(t)＞fe時，由于激勵衰減太快，周期運動不會持續(xù)，F(xiàn)(t)＜fe時，激勵增加太快，混沌運動不穩(wěn)定，因此，︱Δω︱≤0．004 rad/s。下面給出一個仿真實例。采用四階龍格庫塔法對耦合混沌系統(tǒng)進行simulink仿真，步長h取0．01，ω=1。a=0時，即只輸入純高斯白噪聲，σ=0．3，參考信號的幅值設(shè)為臨界閾值0．789，仿真結(jié)果如圖6所示。取a=0．000 5，Δω=0．004 rad/s，σ=0．08，f=0．789，仿真結(jié)果如圖7所示。

對比圖6和圖7，當把微弱正弦信號和高斯白噪聲同時輸入到耦合混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)明顯由混沌態(tài)躍遷到周期態(tài)，驗證了混沌理論用于微弱信號檢測的正確性。通過simulink仿真，只有當σ≤0．08時，耦合混沌系統(tǒng)才能檢測到微弱信號，因此該系統(tǒng)的信噪比門限為:－47 dB。

傳統(tǒng)的微弱信號檢測方法很難檢測到信噪比門限低于－10 dB的信號，而Duffing振子和Van der Pol-Duffing振子耦合的混沌系統(tǒng)能夠檢測到的信噪比門限為－47 dB，實現(xiàn)了低信噪比下微弱信號檢測，因此利用混沌系統(tǒng)檢測微弱信號具有很好的研究價值和發(fā)展前景。

圖6 只加入噪聲時系統(tǒng)的相軌跡

圖7 加入待檢微弱信號后的相軌跡

4 檢測混合微弱正弦信號

實際檢測當中，可能存在有不止一個微弱正弦信號，當多個不同頻率的微弱正弦信號混合在一起時，如何把不同頻率的微弱正弦信號檢測出來成為研究的一個要點?；旌衔⑷跽倚盘栔g的頻率可能相差很大，又或者很小。當輸入兩種頻率相差很大的微弱正弦信號時，設(shè)輸入系統(tǒng)的混合微弱正弦信號為s=s1+s2=a cos(ω1t)+b cos(ω2t)，式(6)變?yōu)?/p>

選取ω1=5 rad/s，ω2=15 rad/s來進行仿真。根據(jù)本文第3節(jié)的分析，當參考信號的頻率ω與微弱正弦信號的頻率ω'滿足0．996ω≤ω'≤1．004ω時，才能使處于臨界狀態(tài)的耦合混沌系統(tǒng)對微弱信號敏感，對于頻率與參考信號頻率相差很遠的微弱正弦信號不敏感。所以，要檢測出微弱正弦信號s1和微弱正弦信號s2，只需將參考信號頻率設(shè)置在5 rad/s，由于15 rad/s不在［0．996ω，1．004ω］=［4．98，5．02］的范圍中，當輸入混合信號時，微弱正弦信號s2與噪聲并不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)，而微弱正弦信號s1會使耦合混沌系統(tǒng)由混沌態(tài)躍遷到周期態(tài)，從而將微弱正弦信號s1檢測出來。如圖8所示。

同理，當檢測微弱正弦信號s2時，設(shè)置參考信號頻率為15 rad/s，此時耦合混沌系統(tǒng)對微弱正弦信號s1免疫，輸入微弱正弦信號s2時，耦合混沌系統(tǒng)會由混沌態(tài)變化到周期態(tài)。因此，如果有多個不同頻率的微弱信號同時輸入到系統(tǒng)，只需根據(jù)微弱信號的頻率調(diào)節(jié)參考信號的頻率就可以將它們一一檢測出來。但在實際情況中，多個微弱信號之間存在頻率相互接近的可能，此時系統(tǒng)即使發(fā)生相變也無法判斷是哪個頻率的微弱信號對系統(tǒng)產(chǎn)生了影響，因此會出現(xiàn)誤判的情況。

當混合微弱信號之間的頻率相差很小時，設(shè)輸入系統(tǒng)的混合微弱信號為s'=s3+s4=c cos(ω3t)+d cos(ω4t)，本文選取ω3=0．6 rad/s，ω4=0．602 rad/s進行simulink仿真。為了能夠檢測到上述頻率的微弱信號，需將ω3和ω4設(shè)置為參考信號的頻率。因為參考信號的頻率ω與微弱正弦信號的頻率ω'滿足0．996ω≤ω'≤1．004ω，所以耦合混沌系統(tǒng)能檢測的頻率范圍為［0．597 6，0．602 4］和［0．599 6，0．604 4］，但是ω3=0．6 rad/s和ω4=0．602 rad/s都在這兩個檢測范圍內(nèi)，當系統(tǒng)出現(xiàn)相變時，并不能判斷檢測到的微弱信號是s3還是s4。為了能夠準確判斷系統(tǒng)由混沌態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷趹B(tài)是哪個頻率的微弱信號所導致的，需要重新選擇一個合適的參考信號頻率，使得ω3和ω4不會在兩個檢測范圍內(nèi)。令

ωm=0.601。將ωm設(shè)置成參考信號的頻率，則其檢測范圍為［0．598 6，0．603 4］，再將0．598 6和0.603 4分別設(shè)置成參考信號的頻率，則它們的檢測范圍為［0．596 2，0．601 0］和［0．601 0，0．605 8］，這時ω3和ω4只滿足一個檢測范圍。因此檢測微弱信號時首先將參考信號的頻率設(shè)置為0．598 6 rad/s，此時耦合混沌系統(tǒng)只對微弱正弦信號s3敏感，對微弱信號s4免疫，如圖9所示。

圖8 微弱信號s1作用下系統(tǒng)的相軌跡

圖9 微弱信號s3作用下系統(tǒng)的相軌跡

同理，參考信號的頻率設(shè)置為0．603 4 rad/s，在微弱正弦信號s4的作用下，耦合混沌系統(tǒng)完成由混沌態(tài)到周期態(tài)的轉(zhuǎn)變，微弱正弦信號s3不影響系統(tǒng)的相變，從而檢測出微弱正弦信號s4。

討論了如何檢測混合微弱正弦信號(兩種不同頻率的微弱信號)，當兩頻率相差很大或兩頻率很接近時，都進行了實例仿真，證實了本節(jié)方法是可行的。當兩個以上的微弱正弦信號輸入到耦合混沌系統(tǒng)，其檢測原理也是相同的。

5 結(jié)論

本文建立了Duffing振子和Van der Pol-Duffing振子耦合的混沌系統(tǒng)，提出了通過分岔圖和二分法來確定系統(tǒng)精確的臨界閾值，通過分析可知該方法可行。對單微弱正弦信號進行檢測，信噪比門限達到了－47 dB，比單混沌振子的最低信噪比門限還要低，最后闡述了如何檢測混合微弱正弦信號，獲得了較好的效果。