徐以艷,楊榕 (湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院公路與軌道學(xué)院,湖北 武漢 430079)
受壓桿件的穩(wěn)定性是決定其承載力的一個(gè)特別重要的因素,細(xì)長(zhǎng)受壓柱的屈曲失穩(wěn)問題也是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的突出問題。工程中使用的細(xì)長(zhǎng)受壓柱非常多,特別是在鋼結(jié)構(gòu)中,這些桿件使用過程中都面臨穩(wěn)定問題,一旦出現(xiàn)受壓失穩(wěn)現(xiàn)象,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞,甚至整體坍塌,將會(huì)造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。
受壓柱的穩(wěn)定性在建設(shè)工程設(shè)計(jì)中受到高度重視,現(xiàn)在其理論研究及工程應(yīng)用都越來越成熟。但隨著建設(shè)工程的蓬勃發(fā)展,受壓柱的特殊受力狀態(tài)在工程中也屢見不鮮,帶懸臂端的受壓柱就是一個(gè)典型案例。如建筑塔吊在中間與結(jié)構(gòu)連接支撐時(shí),塔吊柱就是上端懸臂的受壓柱,如圖1。
目前尚無學(xué)者對(duì)帶懸臂端受壓柱進(jìn)行詳細(xì)的穩(wěn)定理論分析,本文對(duì)帶懸臂端的簡(jiǎn)支受壓柱進(jìn)行平衡方程的理論公式推導(dǎo),用Matlab求解超越方程,再與算例作對(duì)比后,通過最小二乘法擬合出帶懸臂端受壓柱臨界荷載的簡(jiǎn)易公式。
圖1 工程中連墻塔吊即為帶懸臂端受壓柱
圖2所示為一等截面帶懸臂端簡(jiǎn)支受壓桿,下端鉸接,中部有一水平支桿,現(xiàn)采用靜力法求其臨界荷載。
設(shè)鉸接端與水平支桿間的壓桿長(zhǎng)度為l,壓桿總長(zhǎng)為nl,則上端懸臂長(zhǎng)度為(n-1)l。壓桿受到的豎向力為p,簡(jiǎn)支端受到水平力為Hc,鉸接端與簡(jiǎn)支端的壓桿位移為y1,懸臂部分壓桿位移為y2,懸臂頂端b處水平位移為δ。因ac、bc兩段桿的受力不同,故需要分別列出平衡微分方程。
圖2 變形前、后帶懸臂端受壓桿平衡狀態(tài)示意圖
ac段:
其通解分別為:
引入邊界條件,則有
a點(diǎn):
c點(diǎn):
將(7)代入式(5),將(8)代入式(6)得
引入邊界條件,則有
c點(diǎn):
b點(diǎn):
將(5)、(6)微分,代入邊界條件得
由式(9)得
將式(16)代入式(13),則可得到以 A2、B2和 δ為未知量聯(lián)立方程組
方程(17)要有非零解,則系數(shù)行列式值為零,可得穩(wěn)定方程:
為研究不同懸臂長(zhǎng)度對(duì)臨界荷載的影響,現(xiàn)改變長(zhǎng)度系數(shù)n。當(dāng)n取不同的值時(shí),由MATLAB采用二分法迭代求出αl,然后求出Pcr,繼而可以求出Pcr/Pcr’,其計(jì)算結(jié)果見表1。臨界荷載比值變化曲線見圖3。
超越方程解和臨界荷載比值匯總表 表1
圖3 隨懸臂長(zhǎng)度變化,臨界荷載比值變化曲線
從表1計(jì)算結(jié)果及圖3曲線可以看出,隨著n值的變大,懸臂長(zhǎng)度的增加,帶懸臂端簡(jiǎn)支受壓桿失穩(wěn)臨界荷載急劇降低,當(dāng)n=1.3時(shí),臨界荷載減小約一半;當(dāng)n大于1.3時(shí),臨界荷載減小速率放緩,但臨界荷載值已很??;當(dāng)n=2.2時(shí),臨界荷載約減小為兩端簡(jiǎn)支柱的1/10。
Ansys是當(dāng)前使用廣泛,功能強(qiáng)大,集結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)和耦合場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件,通過它可以對(duì)結(jié)構(gòu)在各種外荷載條件下的受力、變形、穩(wěn)定性及各種動(dòng)力特性進(jìn)行全面分析。為了更深入分析帶懸臂端受壓柱懸臂長(zhǎng)度對(duì)失穩(wěn)臨界荷載的影響,本文用Ansys軟件對(duì)帶懸臂端受壓混凝土柱建立實(shí)體模型,求出不同懸臂長(zhǎng)度下混凝土柱的屈曲臨界荷載。
在建立有限元模型時(shí),帶懸臂端受壓混凝土柱材料特性如下:彈性模量E=1.0×104N/mm2;泊松比u=0.3;幾何特性為:鉸接端與水平支桿間的柱子長(zhǎng)度,柱子的長(zhǎng)和寬均為0.2m。懸臂部分長(zhǎng)度分別為0 m、0.1m、0.2m、0.4m、0.6m、0.8m、1.0m、1.2m、1.4m、1.6m、1.8m、2.0m、2.2m、2.4m、2.6m、2.8m、3.0m,與上一節(jié)求理論解中的相對(duì)應(yīng)。
經(jīng)計(jì)算,求出所有有限元模型的屈曲臨界荷載。當(dāng)n=1時(shí),Pcr’=3.208×103kN,其余情況臨界荷載及比Pcr/Pcr’值見表 2。
不同懸臂長(zhǎng)度值與匯總表 表2
比較Pcr/Pcr’理論解與有限元解,并計(jì)算其偏差,見表3。
不同懸臂長(zhǎng)度理論解與有限元解對(duì)比 表3
由表3可知,當(dāng)n≤2.5時(shí),不同懸臂長(zhǎng)度情況下Pcr/Pcr’理論解與有限元解的偏差小于2.5%,在實(shí)際工程中處于可接受范圍5%以內(nèi),同時(shí)也進(jìn)一步驗(yàn)證了解析法求得理論解的正確性。故可通過有限元分析確定實(shí)際工程中懸臂受壓柱的失穩(wěn)臨界荷載。
不同懸臂長(zhǎng)度的取值 表4
最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù),通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配,在工程應(yīng)用中運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行曲線識(shí)別也已得到廣泛認(rèn)可[15]。故本文采用最小二乘法對(duì)F(n)進(jìn)行擬合,經(jīng)比選,當(dāng)采用與n相關(guān)的二次函數(shù)時(shí),可以較好的擬合F(n),隨n值的變化,F(xiàn)(n)的取值及擬合函數(shù)見圖4,此時(shí):
圖4 的取值及擬合函數(shù)
本文通過對(duì)帶懸臂端受壓柱失穩(wěn)臨界荷載進(jìn)行理論公式推導(dǎo)及求解,與有限元實(shí)例模型進(jìn)行對(duì)比,并擬合出懸臂受壓柱失穩(wěn)臨界荷載公式,得出以下結(jié)論與建議。
①隨著n值的變大,懸臂長(zhǎng)度的增加,帶懸臂端簡(jiǎn)支受壓桿失穩(wěn)臨界荷載急劇降低,當(dāng)n=1.3時(shí),臨界荷載減小約一半;當(dāng)n>1.3時(shí),臨界荷載減小速率放緩,但臨界荷載值已很??;當(dāng)n=2.2時(shí),臨界荷載約減小為兩端簡(jiǎn)支柱的1/10。
②在工程中用到帶懸臂端簡(jiǎn)支受壓柱時(shí),要嚴(yán)格控制其懸臂端長(zhǎng)度,計(jì)算其失穩(wěn)臨界荷載,以免發(fā)生結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)破壞,帶來生命財(cái)產(chǎn)的損失。
④本文的理論公式推導(dǎo)是以理想狀態(tài)為前提,實(shí)際工程中的初始位移及偏心等因素引起的二階效應(yīng)對(duì)臨界荷載的影響有待進(jìn)一步研究。