胡志勇，米據(jù)生，馮濤，姚愛夢(mèng)

（1. 河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河北 石家莊 050024; 2. 河北科技大學(xué) 理學(xué)院, 河北 石家莊 050024）

模糊集概念[1]是由Zadeh教授在1965年提出的。它解決了對(duì)不確定性概念的描述性問題，使得模糊數(shù)學(xué)在理論和應(yīng)用方面的研究迅速發(fā)展起來，并取得了豐富的研究成果。1982年由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的粗糙集理論一直被認(rèn)為是處理信息系統(tǒng)和知識(shí)發(fā)現(xiàn)方面問題的重要工具[2]。在信息系統(tǒng)或者決策表的研究方面，集合近似的定義方式作為一個(gè)重要的問題，一直受到研究者的廣泛關(guān)注。在單個(gè)粒度的粗糙集模型下，一個(gè)關(guān)系產(chǎn)生的一組上下近似常用來刻畫一個(gè)目標(biāo)概念的特征。然而在實(shí)際生活或者應(yīng)用中，由于用戶需求的不同以及解決問題最終目標(biāo)的不同，用多個(gè)關(guān)系來刻畫一個(gè)目標(biāo)概念往往更加貼合實(shí)際?；诖?，錢宇華等[3-6]提出了多粒度粗糙集模型，使得粗糙集理論在解決實(shí)際問題方面的應(yīng)用更加廣泛[7-9]。在多粒度粗糙集模型中，樂觀多粒度和悲觀多粒度是兩個(gè)不同的基本研究方法。

此外，研究對(duì)象很可能來自于不同論域，因而，兩個(gè)或者多個(gè)論域?qū)φ鎸?shí)世界的描述更具有一般性，對(duì)進(jìn)一步研究信息表的規(guī)則提取具有積極的作用。因此雙論域粗糙集模型[10-12]具有很強(qiáng)的研究?jī)r(jià)值以及實(shí)用價(jià)值。

在粗糙集理論[13-15]中，上下近似算子是一對(duì)基本的概念，從經(jīng)典的理論意義和直觀理解上，它們之間存在著包含關(guān)系。但是，當(dāng)把它們推廣到雙論域上多粒度粗糙集模型[16-18]時(shí)，集合的上下近似并不一定存在著包含關(guān)系。本文將就這一問題展開討論。

1 多粒度模糊粗糙集

實(shí)際生活中的數(shù)據(jù)集大部分都是連續(xù)的，然而粗糙集研究的一般是離散型數(shù)據(jù)，利用模糊粗糙集理論就可以解決這一矛盾。對(duì)對(duì)象集的劃分一直是粗糙集研究的重要基礎(chǔ)，多粒度粗糙集就是在滿足多個(gè)關(guān)系的情況下對(duì)對(duì)象集的劃分，將這些理論推廣到雙論域上，使得理論更具有推廣性。多粒度模糊粗糙集是將模糊粗糙集與多粒度粗糙集兩種理論相結(jié)合研究。

定義1[1]論域 U上的模糊集合 X 是由 U上的一個(gè)隸屬函數(shù) X:U→[0,1] 來 表示的，其中 X(x)表示元素 x隸屬于模糊集合X 的程度。

定義2[19]設(shè) S=(U,AT)是一個(gè)信息系統(tǒng)，其中 U 為論域， AT是 非空屬性集合。A1,A2,A3,···,Am表示 AT的 屬性子集，對(duì)于每個(gè) Ai都可根據(jù)問題的需要定義模糊關(guān)系 Ri與 之對(duì)應(yīng)。對(duì) U上任意的模糊集 X， X的樂觀多粒度下上近似分別為定義如下：

定義3[20]設(shè)U、V是兩個(gè)非空有限集合，Rt為論域 U 到論域 V 的二元關(guān)系， Rt∈F(U×V)，其中t=1,2,···,m 。 ? 是 從 U 到 V 的 二 元 關(guān) 系 簇，?={R1,R2,···,Rm}。 有序三元組 (U,V,?)稱為雙論域上的多粒度近似空間。

定義4[21]設(shè)有序三元組 (U,V,?)為雙論域上的多粒度模糊近似空間。對(duì)任意 A∈F(V)，A在(U,V,?) 中 的 樂 觀 下 近 似和樂觀上近似分別定義為：

當(dāng)論域U 和 V為 有限域時(shí)，運(yùn)算 ∨表 示取大，∧表示取小。

例1 在醫(yī)療診斷中，設(shè)U={病毒性發(fā)熱，痢疾，傷寒}= {x1,x2,x3}為疾病集，V={發(fā)燒，頭痛，胃痛}= {y1,y2,y3} 為癥狀集， Rt(t=1,2,3)∈F(U×V)是3個(gè)專家分別給出的 U 到 V 的關(guān)系，A為病人對(duì)自己癥狀的描述，設(shè)

同理，可以計(jì)算 A的悲觀上下近似分別為

另外，可以經(jīng)過計(jì)算得到：

同樣，可以計(jì)算A的樂觀上下近似分別為

由計(jì)算結(jié)果可知，雙論域上集合A的樂觀與悲觀上下近似并不存在包含關(guān)系，例如但是但是在已經(jīng)具有某種癥狀的情況下，在直覺上認(rèn)為醫(yī)生對(duì)病人疾病診斷的保守估計(jì)應(yīng)該不小于樂觀估計(jì)的患病的概率，即上下近似之間應(yīng)具有包含關(guān)系。所以計(jì)算結(jié)果同直觀理解是不匹配的。

2 雙論域多粒度模糊粗糙集上下近似包含關(guān)系的充分條件

由上一章可以看到，將單論域上集合的上下近似定義推廣到雙論域時(shí)，其上下近似不一定具有包含關(guān)系。下面給出雙論域上給定集合 A的多粒度近似算子具有包含關(guān)系的充分條件。

命 題1 當(dāng) |U|=|V|=3 ， atij+dσ≤1時(shí)，其 中t=1,2,3； σ=1,2,3； i=1,2,3； j=1,2,3，則雙論域上的多粒度粗糙集上下近似具有包含關(guān)系。

證明 不妨設(shè)：

首先證明悲觀近似算子的情況。

并且對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)p、q，有

由定義4可以看到，雙論域上的多粒度近似算子同 Rt中 的元素與模糊隸屬度 dσ有關(guān)。要使雙論域上的多粒度近似算子具有包含關(guān)系，在悲觀近似算子的情況下，只需悲觀上近似中的元素全都不大于或者不小于下近似中的元素。而關(guān)系矩陣 Rt中的元素是任意給出的，所以只需論證 Rt中某一元素的性質(zhì)，其他元素同理可證。以下具體論證元素 atij的性質(zhì)。于是問題轉(zhuǎn)化為討論悲觀下近似中同 atij有關(guān)的部分全都不大于或者不小于上近似中的元素。具體論證下面的情況：

由上面3個(gè)證明過程可以推出，在悲觀的情況下，當(dāng) atij+dσ≤1 時(shí)，其中 t=1,2,3 ； σ=1,2,3；i=1,2,3； j=1,2,3，雙論域上的多粒度粗糙集上下近似具有包含關(guān)系。

同理可證：樂觀的情況下，上下近似算子中的基本元素并沒有發(fā)生改變，所以仍滿足下近似中的任意元素都大于上近似中的任意元素，故最終求得的包含度仍具有相同的大小關(guān)系。

一般情況，當(dāng)論域基數(shù)變大且給定粒度的個(gè)數(shù)推廣至 m時(shí)，上述結(jié)論仍成立，其結(jié)果如下。

命題2 當(dāng) atij+dσ≤1時(shí)，雙論域上的多粒度粗糙集 A的上、下近似具有包含關(guān)系，其中：i=1, 2,3,···,n ；j=1,2,3,···,l；σ=1,2,3,···,l；t=1,2,3,···,m。

證明 設(shè)

其中 t=1,2,···,m 。 根據(jù)定義4，對(duì) A中 的對(duì)象 x1有

類比命題1的證明過程并改變索引集的取值范圍后，可得結(jié)論：當(dāng)a1

1j+dσ≤1，a21j+dσ≤1,···,am1j+dσ≤1 ，σ=1,2,···,l ，j=1,2,···,l 時(shí)，有

同理，對(duì)A中的對(duì)象 xi， i=1,2,3,···,n，也有類似的結(jié)論，即當(dāng) a1

ij+dσ≤1， a2ij+dσ≤1,···， amij+dσ≤1，i=1,2,···,n， j=1,2,···,l， σ=1,2,···,l時(shí) ，有

對(duì)于樂觀的情況，根據(jù)命題1同理可證其上下近在滿足上述條件時(shí)仍具有包含關(guān)系。由此可以得到結(jié)論：當(dāng) atij+dσ≤1時(shí)，雙論域上的多粒度粗糙集 A的上下近似具有包含關(guān)系。其中：i=1,2,···,n ；j=1,2,···,l；σ=1,2,···,l；t=1,2,···,m。

在本章研究基礎(chǔ)上，對(duì)于雙論域上的多粒度粗糙集上下近似不具備包含關(guān)系的，將給出標(biāo)準(zhǔn)化的方法，使之轉(zhuǎn)化為具有包含關(guān)系。

3 標(biāo)準(zhǔn)化方法

由第2章的證明可知，要使雙論域上的多粒度粗糙集 A的上下近似具有包含關(guān)系，需滿足條件：atij+dσ≤1 ；i=1,2,···,n ；j =1,2,···,l ；σ=1,2,···,l；t=1,2,···,m ，則只需所有

定義5 在多粒度空間 (U,V,?) 中， ?是一簇從 U 到 V 的二元關(guān)系， Rt∈? ，其中， t=1,2,···,m。用ltn=∑Rt(x,yn),yn∈V 來表示關(guān)系 Rt下 U中全部對(duì)象與 ynx∈∈UV 的關(guān)系的總和。定義Imtn=Rt(xm,yn),xm∈U,yn∈V ，表示 U 中對(duì)象 xm和 V 中對(duì)象 yn在關(guān)系 Rt下對(duì)應(yīng)的值。稱 Imt+n為 um相 對(duì) 其 他 U 中 的 對(duì) 象 對(duì) vn的 相對(duì)表現(xiàn)度，稱 R+t=(Imt+n)|U|×|V|為 Rt進(jìn) 行 標(biāo) 準(zhǔn)化后的矩陣。稱上面的方法為標(biāo)準(zhǔn)化方法。類似的，可以對(duì)集合 A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

由上述定義可知 Imtn≤ltn。 故任意的即任意的同理可知任意的此時(shí)，多個(gè)模糊關(guān)系和集合都滿足第2章已證明的使雙論域上的多粒度粗糙集A的上下近似具有包含關(guān)系的充分條件，因而上述標(biāo)準(zhǔn)化方法可以使不具有包含關(guān)系的雙論域上的多粒度粗糙集A的上下近似轉(zhuǎn)化為具有包含關(guān)系的上下近似。

例2 續(xù)例1：

對(duì)R1、R2、R3進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，結(jié)果如下：

A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后為 A+，則則由雙論域上多粒度粗糙集(樂觀、悲觀)上下近似的定義，可以求得

由計(jì)算結(jié)果可知：雙論域上的多粒度粗糙集A同與之對(duì)應(yīng)的二元關(guān)系進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，所得到的上下近似已具有包含關(guān)系。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文證明了雙論域下多粒度模糊粗糙集上下近似具有包含關(guān)系的一個(gè)充分條件為 atij+dσ≤1，i=1,2,···,n ；j=1,2,···,l；σ=1,2,···,l；t=1,2,···,m。并對(duì)該模型下，上下近似不具備包含關(guān)系的粗糙集給出了一種名為標(biāo)準(zhǔn)化的方法，使之在標(biāo)準(zhǔn)化之后，集合的上下近似之間具有包含關(guān)系。