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        分圓跳頻序列的時(shí)頻二維漢明相關(guān)性

        2019-03-21 12:58:08許成謙
        燕山大學(xué)學(xué)報(bào) 2019年1期
        關(guān)鍵詞:跳頻理論界漢明

        許成謙,李 鑫

        (1. 燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004;2.燕山大學(xué) 河北省信息傳輸與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河北 秦皇島 066004)

        0 引言

        隨著跳頻通信技術(shù)的高速發(fā)展,用戶對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能要求提高,用戶數(shù)快速增長(zhǎng),硬件成本降低,提高跳頻通信抗干擾性越來(lái)越重要。跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)值是跳頻通信抗干擾性標(biāo)準(zhǔn)之一。跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)值越小,跳頻通信抗干擾性越好。

        目前跳頻序列漢明相關(guān)性由只包含時(shí)延變量的一維漢明相關(guān)函數(shù)表示。對(duì)跳頻序列時(shí)延一維漢明相關(guān)性的研究取得了顯著的成果[1-4]。然而,跳頻信號(hào)在傳輸過(guò)程中不僅有傳輸?shù)臅r(shí)延還可能有頻率的偏移。文獻(xiàn)[5]基于矩陣轉(zhuǎn)換構(gòu)造了低碰撞區(qū)(No Hit Zone,NHZ)跳頻序列集。文獻(xiàn)[6]首先將跳頻序列無(wú)碰撞區(qū)概念從時(shí)延一維擴(kuò)展到同時(shí)考慮跳頻序列的時(shí)延和頻移,給出了時(shí)頻二維無(wú)碰撞區(qū)的定義,分析推導(dǎo)了時(shí)頻二維無(wú)碰撞區(qū)的跳頻序列理論界,并且給出了基于矩陣變換、映射和“等間隔去頻隙”構(gòu)造NHZ跳頻序列集的方法,并且這些方法構(gòu)造的NHZ跳頻序列集的序列長(zhǎng)度都是ZNt+1(ZNt是一維時(shí)延無(wú)碰撞區(qū)長(zhǎng)度)的整數(shù)倍。隨后針對(duì)時(shí)頻二維相關(guān)跳頻序列(集)的研究得到了許多結(jié)果。文獻(xiàn)[7]給出了跳頻序列由時(shí)頻低碰撞區(qū)邊長(zhǎng)值、時(shí)頻二維移位漢明相關(guān)值、頻隙個(gè)數(shù)、序列的長(zhǎng)度、序列的個(gè)數(shù)構(gòu)成的理論界。文獻(xiàn)[8]給出了兩種分別基于Welch Costas陣列和Golomb Costas陣列構(gòu)造時(shí)頻二維低碰撞區(qū)跳頻序列集的方法,并指出所構(gòu)造的序列集在理論界意義下的最優(yōu)性。文獻(xiàn)[9]研究了跳頻序列集時(shí)頻最大周期漢明相關(guān)值的理論界,分析了Cai跳頻序列集和多項(xiàng)式同余法構(gòu)造的跳頻序列集的時(shí)頻二維周期漢明相關(guān)性。

        本文給出了跳頻序列長(zhǎng)度為奇素?cái)?shù),可供跳頻的載頻集分別為Ze和Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列的時(shí)頻二維漢明自相關(guān)性的計(jì)算公式,根據(jù)計(jì)算公式可以得出分圓跳頻序列的時(shí)頻二維漢明自相關(guān)性與每個(gè)分圓集大小和分圓類個(gè)數(shù)有關(guān),進(jìn)而得到頻隙集為Ze∪{∞}的分圓跳頻序列(集)具有最優(yōu)時(shí)頻二維漢明相關(guān)性的結(jié)論。

        1 相關(guān)符號(hào)和概念

        在本文中設(shè)a∈Ze,C?Ze其中e為正整數(shù),Ze{0,1,2,…,e-1}為模e的剩余類環(huán),定義:

        C+a={c+a;c∈C},

        aC={ac;c∈C}。

        用于控制載波頻率跳變的地址碼序列稱為跳頻序列。跳頻序列是頻率集合F={f0,f1,…,fq-1}上周期為p的序列,表示為x=(x0,x1,…,xp-1),xi∈F,i=0,1,…,p-1。由跳頻序列組成的集合稱為跳頻序列集[10]。

        1.1 跳頻序列的時(shí)頻二維漢明相關(guān)函數(shù)

        定義1[7]設(shè)頻率集F={f0,f1,…,fq-1}是一個(gè)加法群,x=(x0,x1,…,xp-1)和y=(y0,y1,…,yp-1)為長(zhǎng)度為p的兩個(gè)跳頻序列,若

        其中,0≤τ≤p-1,ω∈F,

        i+τ≡(i+τ)modp,i=0,1,…p-1,則稱Hxy(τ,ω)為x和y的時(shí)頻二維周期漢明互相關(guān)函數(shù)。當(dāng)x=y時(shí),稱Hxx(τ,ω)為x的時(shí)頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)。

        本文中用

        設(shè)S是包含M個(gè)序列的跳頻序列集,其時(shí)頻二維漢明自相關(guān)最大值Ha(S),時(shí)頻二維漢明互相關(guān)最大值Hc(S)和時(shí)頻二維漢明最大值Hm(S)分別定義為

        在以下討論中,為簡(jiǎn)化起見,令HaS=Ha(S),HcS=Hc(S),Hm=max{Ha(S)},Hc(S)}。

        1.2 跳頻序列的時(shí)頻二維周期漢明相關(guān)值的理論界

        文獻(xiàn)[7]中給出了時(shí)頻低碰撞區(qū)跳頻序列理論界。

        定理1[7]設(shè)頻隙集合F={f0,f1,…,fq-1}為q階加法群。S是F上M個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的跳頻序列組成的集合,[0,LHt]×[0,LHf]是S的時(shí)頻低碰撞區(qū),Ha(S)和Hc(S)分別是最大周期漢明自相關(guān)值和互相關(guān)值,對(duì)于任意正整數(shù)Z1,Z2,0≤Z1≤LHt,0≤Z2≤LHf,有

        qZ1HaS+qZ1Z2HaS+q(M-1)(Z1+1)(Z2+1)HcS≥
        (Z1+1)(Z2+1)ML-Lq。

        (1)

        在定理1中取Z1=LHf=L-1,Z2=LHf=q-1,就可以得到跳頻序列集S的周期時(shí)頻二維漢明相關(guān)理論界。

        引理1[9]設(shè)F={f0,f1,…,fq-1}為頻隙集合,F(xiàn)為Q階加法群。S是F上M個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的跳頻序列組成的集合,那么跳頻序列集S的時(shí)頻二維漢明自相關(guān)最大值Ha(S),時(shí)頻二維漢明互相關(guān)最大值Hc(S)和時(shí)頻二維漢明最大值Hm(S)滿足

        (L-1)qHa(S)+Lq(M-1)Hc(S)≥(ML-1)L,

        (2)

        (3)

        推論1 設(shè)頻隙集合F={f0,f1,…,fq-1}是q階加法群。在頻率集F上的跳頻序列x=(x0,x1,…,xL-1),那么跳頻序列x的時(shí)頻二維漢明自相關(guān)最大值為

        (4)

        跳頻序列x的時(shí)頻二維漢明相關(guān)最大值為

        (5)

        證明:由引理1可知當(dāng)跳頻序列集S只包含一個(gè)序列即M=1時(shí),帶入不等式(2)即可得到不等式(4),同理也可得到不等式(5),證畢。

        定義2 使得不等式(2)或(3)成立的跳頻序列集稱為時(shí)頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集,使得不等式(4)或(5)成立的跳頻序列稱為時(shí)頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列,當(dāng)Ha(x)≥[L/q]+1時(shí),跳頻序列稱為時(shí)頻二維相關(guān)次最優(yōu)跳頻序列。

        2 分圓跳頻序列的時(shí)頻二維漢明相關(guān)性分析

        2.1 分圓和分圓數(shù)的性質(zhì)

        設(shè)p=ef+1為奇素?cái)?shù)。在有限域GF(p)上的分圓類是C0,C1,…,Ce-1,Ci={αi+te|0≤t≤f-1},0≤i≤e-1,其中α是GF(p)上的一個(gè)本原元。e階分圓數(shù)定義為(i,j)=|(Ci+1)∩Cj|,(上角標(biāo)均為模運(yùn)算)。

        引理2[11]對(duì)于任意ω∈Ze

        引理3[12]

        1)對(duì)于任一整數(shù)m和n,

        (i+me,j+ne)=(i,j);

        2)(i+j)=(e-i,j-i);

        2.2 頻率集上的分圓跳頻序列的時(shí)頻二維漢明相關(guān)性分析

        定理2 設(shè)p=ef+1為奇素?cái)?shù),并且C0,C1,…Ce-1是有限域GF(p)上分圓類,α是GF(p)上的一個(gè)本原元。設(shè)F=Ze是頻率集,構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為p的跳頻序列x=(x0,x1,…,xp-1)如下:

        C0={k|xk=0,0≤k

        Ci={t|xt=i,0≤t≤p-1},1≤i≤e-1,

        則序列x形成一個(gè)參數(shù)為(p,e,Ha)的跳頻序列,其中

        式中,n1,n2為正整數(shù)。當(dāng)e和f滿足如下關(guān)系:e=2n1+1,f=2n2,或者e=2n1,f=2n2+1 ,α>2時(shí),跳頻序列x為次最優(yōu)跳頻序列。

        證明:由文獻(xiàn)[4]可知分圓法中e階分圓類Ci(0≤i≤e-1)的每一個(gè)元素表示跳頻序列x的頻率i在序列x中位置數(shù)即時(shí)間間隔,那么跳頻序列x的時(shí)間的延遲等價(jià)于分圓類C1中每一個(gè)元素的延遲,跳頻序列x的頻率偏移即碼元占用的頻段的改變等價(jià)于分圓類Ci的i的改變,又由定義1可知h[x(i),x(i+τ)ω]=|(Ci+ω+τ)∩Ci|,則在該構(gòu)造下跳頻序列x的二維漢明相關(guān)性計(jì)算公式如下:

        max|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|,

        其中,0<τ

        由引理2的2)知

        所以,Ha(x)的值主要由max{|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|}決定,由分圓時(shí)間和頻率的周期性和模運(yùn)算可知-τ=p-τ,C-ω=Ce-ω,則有

        max{|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|}=

        max{|{p-τ}∩Cω|+|{τ}∩Ce-ω|},

        而|{τ}∩Ce-ω|=1必成立,|{p-τ}∩Cω|的值等價(jià)于方程

        p-τ=αω+kemodp,0≤k

        解數(shù),因此有

        當(dāng)e=2n1,f=2n2,n1,n2為正整數(shù)時(shí),

        |{p-τ}∩Cω|=1;

        當(dāng)e=2n1,f=2n2+1,α=2,n1,n2為正整數(shù)時(shí),

        |{p-τ}∩Cω|=1;

        當(dāng)e=2n1,f=2n2+1,α>2,n1,n2為正整數(shù)時(shí),

        |{p-τ}∩Cω|=0;

        當(dāng)e=2n1+1,f=2n2,n1,n2為正整數(shù)時(shí),

        |{p-τ}∩Cω|=0。

        綜上所述

        式中,n1,n2為正整數(shù)。

        當(dāng)e為奇數(shù),f為偶數(shù),或者e為偶數(shù),f為奇數(shù),α>2時(shí),將分圓跳頻序列的頻率集大小q=e,序列長(zhǎng)度L=p,代入到推論1的式(4)中,且由定義3可知Ha(x)=f+1,跳頻序列x為次最優(yōu)跳頻序列,證畢。

        2.3 頻率集F=Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列的時(shí)頻二維漢明相關(guān)性分析

        定理3 設(shè)p=ef+1為奇素?cái)?shù),C0,C1,…,Ce-1是有限域GF(p)上分圓類,α是GF(p)上的一個(gè)本原元。設(shè)頻率集是F=Ze∪{∞},構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為p的跳頻序列x=(x0,x1,…,xp-1)如下:

        x0=∞,
        Ci={t|xt=i,0≤t≤p-1},0≤i≤e-1,

        則序列x形成一個(gè)參數(shù)為(p,e+1,f)的跳頻序列,且該序列為時(shí)頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列。

        證明:由定理2的證明可知當(dāng)ω=∞時(shí),等式(1)的右邊的最大值為0,因此

        又因?yàn)轭l隙集大小為e+1,然而頻隙的變化對(duì)于頻隙∞產(chǎn)生的變化相對(duì)于其本身值可以忽略不計(jì),所以此時(shí)跳頻序列集時(shí)頻二維漢明相關(guān)性所對(duì)應(yīng)的頻隙集大小為e,則將L=p,頻隙數(shù)為e,代入到推論1不等式(4)中Ha=「p/e?=f。又由定義3知該序列為時(shí)頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列。證畢。

        3 頻率集F=Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列集的時(shí)頻二維漢明相關(guān)性分析

        則序列集S={x0,x1,…,xe-1}為(p,e+1,f)跳頻序列集,并且該序列集為時(shí)頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集。

        證明:定理3已經(jīng)證明Hxkxk(τ,ω)=f成立。下面計(jì)算xk和xl的互相關(guān)性Hxkxl(τ,ω)的值,其中0≤τ≤p-1,ω∈(0,e-1],k≠l。

        當(dāng)τ≠0,ω=0時(shí),

        當(dāng)τ=0,ω≠0時(shí),

        其中1表示兩個(gè)序列只有一個(gè)頻率為∞時(shí)產(chǎn)生了碰撞,其余都沒有產(chǎn)生碰撞;

        當(dāng)τ=0,ω=0時(shí),

        當(dāng)τ≠0,ω≠0時(shí),

        設(shè)τ∈Ch,由引理3的2)得

        由引理3的4)得

        f-1+1=f。

        綜上可得Hxkxl(τ,ω)=f,即Hc(S)=f。

        將L=p,q=e,代入到引理1的式(3)中滿足Hm(S)=「L/e?=f,由定義3得該跳頻序列為時(shí)頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集,證畢。

        4 實(shí)例

        例1 設(shè)p=13=2×6+1其中e=6,f=2,并且α=2是有限域GF(13)上的本原元,分圓類如下:

        C0={1,12},C1={2,11},C2={4,9}

        C3={5,8},C4={3,10},C5={6,7},

        根據(jù)定理2,可以構(gòu)造一個(gè)(13,6,4)跳頻序列

        x=(0,0,1,4,2,3,5,5,3,2,4,1,0),
        Ha(x)=f+2=4。

        根據(jù)定理3,有(13,7,2)時(shí)頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列,

        y=(∞,0,1,4,2,3,5,5,3,2,4,1,0),
        Ha(y)=2=f。

        滿足最優(yōu)性條件。

        例2 設(shè)p=23=2×11+1,其中e=11,f=2,α=5是有限域GF(23)上的本原元,分圓類如下:

        C0={1,22},C1={5,18},C2={2,21}

        C3={10,13},C4={4,19},C5={3,20},

        C6={8,15},C7={6,17},C8={7,16},

        C9={11,12},C10={9,14}

        根據(jù)定理4,可以構(gòu)造一個(gè)跳頻序列y0如下:

        y0=(∞,0,2,5,4,1,7,8,6,10,3,9,9,
        3,10,6,8,7,1,4,5,2,0),

        Ha(y0)=2=f。

        類似地,可以構(gòu)造一個(gè)跳頻序列y3如下:

        y3=(∞,3,5,8,7,4,10,0,9,2,6,1,1,
        6,2,9,0,10,4,7,8,5,3),

        Ha(y3)=2=f,Hc(y0,y3)=2=f。

        同理可構(gòu)造所有的yi,0≤i≤10,計(jì)算所有跳頻序列yi得Hm(yi)=2=f,則跳頻序列集S={y0,y1,…,y10},Hm(S)=2=f,滿足最優(yōu)性,所以跳頻序列集S為時(shí)頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集。

        5 結(jié)論

        本文分別對(duì)載頻集為Ze和Ze∪{∞}的分圓跳頻序列(集)的時(shí)頻二維漢明相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了計(jì)算,由計(jì)算結(jié)果知在載頻集為Ze∪{∞}上分圓跳頻序列(集)當(dāng)跳頻序列長(zhǎng)度為奇素?cái)?shù)時(shí)具有時(shí)頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)性。

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