許成謙，李 鑫

(1. 燕山大學 信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室, 河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著跳頻通信技術(shù)的高速發(fā)展，用戶對網(wǎng)絡(luò)性能要求提高，用戶數(shù)快速增長，硬件成本降低，提高跳頻通信抗干擾性越來越重要。跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)值是跳頻通信抗干擾性標準之一。跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)值越小，跳頻通信抗干擾性越好。

目前跳頻序列漢明相關(guān)性由只包含時延變量的一維漢明相關(guān)函數(shù)表示。對跳頻序列時延一維漢明相關(guān)性的研究取得了顯著的成果[1-4]。然而，跳頻信號在傳輸過程中不僅有傳輸?shù)臅r延還可能有頻率的偏移。文獻[5]基于矩陣轉(zhuǎn)換構(gòu)造了低碰撞區(qū)(No Hit Zone,NHZ)跳頻序列集。文獻[6]首先將跳頻序列無碰撞區(qū)概念從時延一維擴展到同時考慮跳頻序列的時延和頻移，給出了時頻二維無碰撞區(qū)的定義，分析推導了時頻二維無碰撞區(qū)的跳頻序列理論界，并且給出了基于矩陣變換、映射和“等間隔去頻隙”構(gòu)造NHZ跳頻序列集的方法，并且這些方法構(gòu)造的NHZ跳頻序列集的序列長度都是ZNt+1(ZNt是一維時延無碰撞區(qū)長度)的整數(shù)倍。隨后針對時頻二維相關(guān)跳頻序列(集)的研究得到了許多結(jié)果。文獻[7]給出了跳頻序列由時頻低碰撞區(qū)邊長值、時頻二維移位漢明相關(guān)值、頻隙個數(shù)、序列的長度、序列的個數(shù)構(gòu)成的理論界。文獻[8]給出了兩種分別基于Welch Costas陣列和Golomb Costas陣列構(gòu)造時頻二維低碰撞區(qū)跳頻序列集的方法，并指出所構(gòu)造的序列集在理論界意義下的最優(yōu)性。文獻[9]研究了跳頻序列集時頻最大周期漢明相關(guān)值的理論界，分析了Cai跳頻序列集和多項式同余法構(gòu)造的跳頻序列集的時頻二維周期漢明相關(guān)性。

本文給出了跳頻序列長度為奇素數(shù)，可供跳頻的載頻集分別為Ze和Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列的時頻二維漢明自相關(guān)性的計算公式，根據(jù)計算公式可以得出分圓跳頻序列的時頻二維漢明自相關(guān)性與每個分圓集大小和分圓類個數(shù)有關(guān)，進而得到頻隙集為Ze∪{∞}的分圓跳頻序列(集)具有最優(yōu)時頻二維漢明相關(guān)性的結(jié)論。

1 相關(guān)符號和概念

在本文中設(shè)a∈Ze,C?Ze其中e為正整數(shù)，Ze{0,1,2,…,e-1}為模e的剩余類環(huán)，定義：

C+a={c+a;c∈C}，

aC={ac;c∈C}。

用于控制載波頻率跳變的地址碼序列稱為跳頻序列。跳頻序列是頻率集合F={f0,f1,…,fq-1}上周期為p的序列，表示為x=(x0,x1,…,xp-1)，xi∈F，i=0,1,…,p-1。由跳頻序列組成的集合稱為跳頻序列集[10]。

1.1 跳頻序列的時頻二維漢明相關(guān)函數(shù)

定義1[7]設(shè)頻率集F={f0,f1,…,fq-1}是一個加法群，x=(x0,x1,…,xp-1)和y=(y0,y1,…,yp-1)為長度為p的兩個跳頻序列，若

其中，0≤τ≤p-1，ω∈F,

i+τ≡(i+τ)modp,i=0,1,…p-1，則稱Hxy(τ，ω)為x和y的時頻二維周期漢明互相關(guān)函數(shù)。當x=y時，稱Hxx(τ，ω)為x的時頻二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)。

本文中用

設(shè)S是包含M個序列的跳頻序列集，其時頻二維漢明自相關(guān)最大值Ha(S),時頻二維漢明互相關(guān)最大值Hc(S)和時頻二維漢明最大值Hm(S)分別定義為

在以下討論中，為簡化起見，令HaS=Ha(S)，HcS=Hc(S),Hm=max{Ha(S)},Hc(S)}。

1.2 跳頻序列的時頻二維周期漢明相關(guān)值的理論界

文獻[7]中給出了時頻低碰撞區(qū)跳頻序列理論界。

定理1[7]設(shè)頻隙集合F={f0,f1,…，fq-1}為q階加法群。S是F上M個長度為L的跳頻序列組成的集合，[0,LHt]×[0,LHf]是S的時頻低碰撞區(qū)，Ha(S)和Hc(S)分別是最大周期漢明自相關(guān)值和互相關(guān)值，對于任意正整數(shù)Z1,Z2,0≤Z1≤LHt，0≤Z2≤LHf，有

qZ1HaS+qZ1Z2HaS+q(M-1)(Z1+1)(Z2+1)HcS≥
(Z1+1)(Z2+1)ML-Lq。

(1)

在定理1中取Z1=LHf=L-1，Z2=LHf=q-1，就可以得到跳頻序列集S的周期時頻二維漢明相關(guān)理論界。

引理1[9]設(shè)F={f0,f1,…，fq-1}為頻隙集合，F(xiàn)為Q階加法群。S是F上M個長度為L的跳頻序列組成的集合，那么跳頻序列集S的時頻二維漢明自相關(guān)最大值Ha(S)，時頻二維漢明互相關(guān)最大值Hc(S)和時頻二維漢明最大值Hm(S)滿足

(L-1)qHa(S)+Lq(M-1)Hc(S)≥(ML-1)L，

(2)

(3)

推論1 設(shè)頻隙集合F={f0,f1,…，fq-1}是q階加法群。在頻率集F上的跳頻序列x=(x0,x1,…，xL-1)，那么跳頻序列x的時頻二維漢明自相關(guān)最大值為

(4)

跳頻序列x的時頻二維漢明相關(guān)最大值為

(5)

證明：由引理1可知當跳頻序列集S只包含一個序列即M=1時，帶入不等式(2)即可得到不等式(4)，同理也可得到不等式(5)，證畢。

定義2 使得不等式(2)或(3)成立的跳頻序列集稱為時頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集，使得不等式(4)或(5)成立的跳頻序列稱為時頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列，當Ha(x)≥[L/q]+1時，跳頻序列稱為時頻二維相關(guān)次最優(yōu)跳頻序列。

2 分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關(guān)性分析

2.1 分圓和分圓數(shù)的性質(zhì)

設(shè)p=ef+1為奇素數(shù)。在有限域GF(p)上的分圓類是C0，C1，…，Ce-1，Ci={αi+te|0≤t≤f-1},0≤i≤e-1,其中α是GF(p)上的一個本原元。e階分圓數(shù)定義為(i,j)=|(Ci+1)∩Cj|，(上角標均為模運算)。

引理2[11]對于任意ω∈Ze

引理3[12]

1)對于任一整數(shù)m和n，

(i+me,j+ne)=(i,j)；

2)(i+j)=(e-i,j-i)；

2.2 頻率集上的分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關(guān)性分析

定理2 設(shè)p=ef+1為奇素數(shù)，并且C0,C1,…Ce-1是有限域GF(p)上分圓類，α是GF(p)上的一個本原元。設(shè)F=Ze是頻率集，構(gòu)造一個長度為p的跳頻序列x=(x0,x1,…，xp-1)如下：

C0={k|xk=0,0≤k

Ci={t|xt=i,0≤t≤p-1}，1≤i≤e-1，

則序列x形成一個參數(shù)為(p,e,Ha)的跳頻序列，其中

式中，n1，n2為正整數(shù)。當e和f滿足如下關(guān)系：e=2n1+1,f=2n2，或者e=2n1，f=2n2+1 ，α>2時，跳頻序列x為次最優(yōu)跳頻序列。

證明：由文獻[4]可知分圓法中e階分圓類Ci(0≤i≤e-1)的每一個元素表示跳頻序列x的頻率i在序列x中位置數(shù)即時間間隔，那么跳頻序列x的時間的延遲等價于分圓類C1中每一個元素的延遲，跳頻序列x的頻率偏移即碼元占用的頻段的改變等價于分圓類Ci的i的改變，又由定義1可知h[x(i),x(i+τ)ω]=|(Ci+ω+τ)∩Ci|,則在該構(gòu)造下跳頻序列x的二維漢明相關(guān)性計算公式如下：

max|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|，

其中，0<τ

由引理2的2)知

所以,Ha(x)的值主要由max{|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|}決定，由分圓時間和頻率的周期性和模運算可知-τ=p-τ，C-ω=Ce-ω，則有

max{|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|}=

max{|{p-τ}∩Cω|+|{τ}∩Ce-ω|}，

而|{τ}∩Ce-ω|=1必成立，|{p-τ}∩Cω|的值等價于方程

p-τ=αω+kemodp，0≤k

解數(shù)，因此有

當e=2n1，f=2n2，n1，n2為正整數(shù)時，

|{p-τ}∩Cω|=1；

當e=2n1，f=2n2+1，α=2，n1，n2為正整數(shù)時，

|{p-τ}∩Cω|=1；

當e=2n1，f=2n2+1，α>2，n1，n2為正整數(shù)時，

|{p-τ}∩Cω|=0；

當e=2n1+1，f=2n2，n1，n2為正整數(shù)時，

|{p-τ}∩Cω|=0。

綜上所述

式中，n1，n2為正整數(shù)。

當e為奇數(shù)，f為偶數(shù)，或者e為偶數(shù)，f為奇數(shù)，α>2時，將分圓跳頻序列的頻率集大小q=e，序列長度L=p，代入到推論1的式(4)中，且由定義3可知Ha(x)=f+1，跳頻序列x為次最優(yōu)跳頻序列，證畢。

2.3 頻率集F=Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關(guān)性分析

定理3 設(shè)p=ef+1為奇素數(shù)，C0,C1,…，Ce-1是有限域GF(p)上分圓類，α是GF(p)上的一個本原元。設(shè)頻率集是F=Ze∪{∞}，構(gòu)造一個長度為p的跳頻序列x=(x0,x1,…,xp-1)如下：

x0=∞,
Ci={t|xt=i，0≤t≤p-1},0≤i≤e-1，

則序列x形成一個參數(shù)為(p,e+1,f)的跳頻序列，且該序列為時頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列。

證明：由定理2的證明可知當ω=∞時，等式(1)的右邊的最大值為0，因此

又因為頻隙集大小為e+1，然而頻隙的變化對于頻隙∞產(chǎn)生的變化相對于其本身值可以忽略不計，所以此時跳頻序列集時頻二維漢明相關(guān)性所對應(yīng)的頻隙集大小為e，則將L=p，頻隙數(shù)為e，代入到推論1不等式(4)中Ha=「p/e?=f。又由定義3知該序列為時頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列。證畢。

3 頻率集F=Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列集的時頻二維漢明相關(guān)性分析

則序列集S={x0,x1,…,xe-1}為(p,e+1,f)跳頻序列集，并且該序列集為時頻二維相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集。

證明：定理3已經(jīng)證明Hxkxk(τ,ω)=f成立。下面計算xk和xl的互相關(guān)性Hxkxl(τ,ω)的值，其中0≤τ≤p-1，ω∈(0，e-1],k≠l。

當τ≠0，ω=0時，

當τ=0，ω≠0時，

其中1表示兩個序列只有一個頻率為∞時產(chǎn)生了碰撞,其余都沒有產(chǎn)生碰撞；

當τ=0，ω=0時，

當τ≠0，ω≠0時，

設(shè)τ∈Ch，由引理3的2)得

由引理3的4)得

f-1+1=f。

綜上可得Hxkxl(τ,ω)=f，即Hc(S)=f。

將L=p，q=e，代入到引理1的式(3)中滿足Hm(S)=「L/e?=f，由定義3得該跳頻序列為時頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集，證畢。

4 實例

例1 設(shè)p=13=2×6+1其中e=6，f=2，并且α=2是有限域GF(13)上的本原元，分圓類如下：

C0={1,12},C1={2,11},C2={4,9}

C3={5,8},C4={3,10},C5={6,7},

根據(jù)定理2，可以構(gòu)造一個(13,6,4)跳頻序列

x=(0,0,1,4,2,3,5,5,3,2,4,1,0)，
Ha(x)=f+2=4。

根據(jù)定理3，有(13,7,2)時頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列，

y=(∞，0，1，4，2，3，5，5，3，2，4，1，0)，
Ha(y)=2=f。

滿足最優(yōu)性條件。

例2 設(shè)p=23=2×11+1，其中e=11，f=2，α=5是有限域GF(23)上的本原元，分圓類如下：

C0={1,22},C1={5,18},C2={2,21}

C3={10,13},C4={4,19},C5={3,20},

C6={8,15}，C7={6,17}，C8={7,16}，

C9={11,12}，C10={9,14}

根據(jù)定理4，可以構(gòu)造一個跳頻序列y0如下：

y0=(∞，0,2,5,4,1,7,8,6,10,3,9,9,
3,10,6,8,7,1,4,5,2,0)，

Ha(y0)=2=f。

類似地，可以構(gòu)造一個跳頻序列y3如下：

y3=(∞，3,5,8,7,4,10,0,9,2,6,1,1,
6,2,9,0,10,4,7,8,5,3),

Ha(y3)=2=f，Hc(y0，y3)=2=f。

同理可構(gòu)造所有的yi，0≤i≤10，計算所有跳頻序列yi得Hm(yi)=2=f，則跳頻序列集S={y0,y1,…,y10}，Hm(S)=2=f，滿足最優(yōu)性，所以跳頻序列集S為時頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)跳頻序列集。

5 結(jié)論

本文分別對載頻集為Ze和Ze∪{∞}的分圓跳頻序列(集)的時頻二維漢明相關(guān)函數(shù)進行了計算，由計算結(jié)果知在載頻集為Ze∪{∞}上分圓跳頻序列(集)當跳頻序列長度為奇素數(shù)時具有時頻二維漢明相關(guān)最優(yōu)性。