歐陽(yáng)雪泳 楊靈娥

【摘要】 全等三角形是研究圖形的重要工具，在初中數(shù)學(xué)幾何圖形中占有非常重要的地位，是初中生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).等價(jià)變換原則是一種常見(jiàn)且重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的原則.本文首先對(duì)等價(jià)變換原則進(jìn)行說(shuō)明介紹，然后分類探討等價(jià)變換原則在全等三角形證明中的應(yīng)用，希望能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)方面有一定的借鑒意義.

【關(guān)鍵詞】 全等三角形證明;等價(jià)變換原則;等價(jià)變換原則的應(yīng)用

全等三角形是研究圖形的重要工具，在初中數(shù)學(xué)幾何圖形中占有非常重要的地位，是初中生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).等價(jià)變換原則是一種常見(jiàn)且重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的原則.等價(jià)變換原則，簡(jiǎn)言之，就是在同一個(gè)系統(tǒng)中，保持問(wèn)題的量或性質(zhì)不變的前提下，改變問(wèn)題的形式與條件，一步步地排除無(wú)關(guān)因素，簡(jiǎn)化問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較容易解決的等價(jià)問(wèn)題，以便更好地指導(dǎo)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.熟練掌握等價(jià)變換原則的應(yīng)用將有助于培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題的能力，使解題思路清晰化、明了化，也更好地提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的思維能力，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ男纬膳c發(fā)展.進(jìn)一步地，如果說(shuō)“數(shù)學(xué)地看待世界、解決問(wèn)題”可被看成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的顯性表現(xiàn)，那么我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)如何把日常生活中遇到需要解決的繁雜問(wèn)題進(jìn)行合理科學(xué)地簡(jiǎn)單化、清晰化，也即能夠逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深刻、更合理[5].再者，對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)資料的分析和研究得出，目前關(guān)于全等三角形證明方面的介紹主要有以下三個(gè)方面：介紹運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)定理的解題策略[3，4，6，7];介紹等量代換的解題方法[8];歸納總結(jié)證明三角形全等的題型，并分別從公共邊、角等類型進(jìn)行了一般解題方法的介紹[2].以上并沒(méi)有具體深入地介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)思想以及應(yīng)用原則的指導(dǎo)，所以本文從掌握等價(jià)變換的數(shù)學(xué)思想的角度入手，分類探討等價(jià)變換原則在全等三角形證明中的應(yīng)用.

一、等價(jià)變換原則的概念和意義

（一）等價(jià)變換

等價(jià)變換，是在同一個(gè)系統(tǒng)中，保持問(wèn)題的量或性質(zhì)不變的前提下，改變問(wèn)題的形式與條件，通過(guò)一步步地排除無(wú)關(guān)因素，簡(jiǎn)化問(wèn)題，直至變換成某種可以獲解的標(biāo)準(zhǔn)形式或得出所要的結(jié)果，從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較容易解決的等價(jià)問(wèn)題[1].

（二）等價(jià)變換原則

運(yùn)用等價(jià)變換的思想去指導(dǎo)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的原則，稱為等價(jià)變換原則.在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，常常需要通過(guò)尋找等價(jià)的輔助問(wèn)題來(lái)解題，例如，我們需要解決問(wèn)題A，可能要直接求出它的解答比較困難，我們可以尋找與A等價(jià)的另一問(wèn)題B.考慮B時(shí)，我們又可能聯(lián)系與B等價(jià)的第三個(gè)問(wèn)題C，如此下去，利用等價(jià)變換來(lái)改變問(wèn)題的形式與條件，直到最后得到問(wèn)題L，其解答為已知或明顯可知的[1].這些等價(jià)的問(wèn)題，往往只是所用的對(duì)象不同，而這些對(duì)象間存在著某對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得一切關(guān)系和所有運(yùn)算實(shí)際相仿的.

（三）應(yīng)用等價(jià)變換原則的意義

在等價(jià)變換原則的指導(dǎo)下解題，有助于向?qū)W生提供另一個(gè)角度的解題策略，幫助學(xué)生把繁復(fù)的待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)明、易于解決或已解決的等價(jià)問(wèn)題，使待解決的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，使解題思路清晰化、明了化;同時(shí)通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的能力，有助于提高和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題的思維能力，從而促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ男纬膳c發(fā)展.

二、例題與思路分析

掌握全等三角形知識(shí)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分重要，它可以使學(xué)生掌握一些基本的推理技能，建立空間觀念，并且促使學(xué)生多角度思考問(wèn)題，充分挖掘與提升學(xué)生的幾何素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力.

全等三角形的證明貫穿于本文例題的解決過(guò)程中，以三角形的基本元素來(lái)區(qū)分，分別以三邊之間的關(guān)系和三角之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論，旨在為理解、掌握如何有效應(yīng)用等價(jià)變換原則解決全等三角形的證明等題型提供思路和方法上的引導(dǎo).

（一）三邊之間的關(guān)系

1.證明線段平行

證明線段平行，需要結(jié)合已知條件和平行線的判定定理進(jìn)行分析，利用性質(zhì)定理改述原問(wèn)題[1]，從而改變問(wèn)題的形式與條件，轉(zhuǎn)化為易求證的等價(jià)的輔助問(wèn)題，以達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.

例1?? 如圖1所示，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD.求證：DC∥AB.

分析? 要證DC∥AB，需要利用平行線的判定定理，結(jié)合已知圖形，判斷出可以利用平行線的判定定理中的“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”;要證內(nèi)錯(cuò)角相等，觀察圖形可知內(nèi)錯(cuò)角在兩個(gè)三角形中，而且根據(jù)題目條件OA=OC，OB=OD和圖形中隱含的對(duì)頂角相等，這時(shí)我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易求證的△ODC≌△OBA的等價(jià)問(wèn)題.

證明? 在△ODC和△OBA中，

∵OC=OA，∠DOC=∠BOA，OD=OB，

∴△ODC≌△OBA（SAS），

∴∠CDO=∠ABO（或∠DCO=∠BAO），

∴DC∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.）

2.證明線段相等

分析已知條件，如果待求證線段分別位于兩個(gè)三角形中，而且題目提供的條件有利于全等三角形的證明，那么我們可以利用邏輯關(guān)系改述原問(wèn)題[1]，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的證明線段所在的兩個(gè)三角形全等的等價(jià)問(wèn)題，使解題思路清晰化、明了化.

例2?? 如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.試證明AE=EF.

分析? 觀察圖形可知，AE和EF分別在Rt△ABE和△ECF中，要證明線段相等，可以通過(guò)證明線段所在的三角形全等，顯然Rt△ABE和△ECF不全等.考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此，可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM后，嘗試去證明△AEM≌△EFC.

證明? 如圖3所示，取AB的中點(diǎn)M，連接EM.

∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°.

又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC.

∵點(diǎn)E、M分別為正方形的邊BC和AB的中點(diǎn)，

∴AM=EC，BE=BM.

從而可知△BME是等腰直角三角形，∠BME=45°，

∴∠AME=135°.

∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF=135°，

∴△AEM≌△EFC（角邊角），∴AE=EF.

說(shuō)明：要證明線段AE=EF，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的證明線段所在的兩個(gè)三角形全等的問(wèn)題;在繁復(fù)的三角形全等證明的過(guò)程中，把問(wèn)題繼續(xù)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等的問(wèn)題.在證明對(duì)應(yīng)角相等的問(wèn)題時(shí)，涉及先證兩個(gè)角和另外一個(gè)角的和相等，從而得出這兩個(gè)角相等的較簡(jiǎn)明的等價(jià)問(wèn)題.

3.證明線段的和差關(guān)系

在三角形中，借助“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的等價(jià)變換都可實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題向更容易解決的等價(jià)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

截長(zhǎng)法：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另外兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另外一條;補(bǔ)短法：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另外一條短線段，然后證明延長(zhǎng)后的新線段等于長(zhǎng)線段.

例3?? 如圖4所示，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.求證：AB=AC+CD.

分析? 從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題向更容易解決的等價(jià)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.在這里只說(shuō)明補(bǔ)短法的證明.

證明? 如圖5所示，延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，則∠CDE=∠CED.∴∠ACB=2∠E.

∵∠ACB=2∠B，所以∠B=∠E.

在△ABD與△AED中，∠1=∠2，∠B=∠E，AD=AD，

∴△ABD≌△AED，AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD.

說(shuō)明：這兩種方法都是遵循了等價(jià)變換原則：把要解決的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為易解決的問(wèn)題.在補(bǔ)短法中，具體體現(xiàn)在把要證的AB=AC+CD等價(jià)變換為求證△ABD≌△AED;在截長(zhǎng)法中，具體體現(xiàn)在把要證的AB=AC+CD等價(jià)變換為求證△AFD≌△ACD，F(xiàn)D=FB.

（二）三角之間的關(guān)系

1.證明兩角相等

對(duì)已知條件進(jìn)行分析后，得出待求證的兩角分別位于兩個(gè)三角形中，可以通過(guò)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易求證的等價(jià)的輔助問(wèn)題——證明兩個(gè)三角形全等，以求出對(duì)應(yīng)的兩角相等，使解題思路清晰化、更具有方向性.

例4?? 如圖6所示，AB平分∠CAD，AC=AD，求證∠C=∠D.

證明? ∵AB平分∠CAD，

∴∠CAB=∠BAD.

在△ACB和△ADB中，AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB，

∴△ACB≌△ADB（SAS），∴∠C=∠D.

2.角的和差關(guān)系

分析已知條件，利用邏輯關(guān)系改述原問(wèn)題，把待求證的角等價(jià)變換為已知的或易求得的角，使得問(wèn)題得到等價(jià)的簡(jiǎn)化.一環(huán)接一環(huán)的，通過(guò)不停地尋找并解決等價(jià)輔助問(wèn)題，從而逐步地解決原問(wèn)題.在此過(guò)程中，要關(guān)注新問(wèn)題與原問(wèn)題間的等價(jià)性[1].

例5?? 如圖7所示，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證∠A+∠C=180°.

?分析? 在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，要證∠A+∠C=180°，條件不足，如果不作任何輔助線構(gòu)造新的圖形，本題是很難解答出來(lái)的.那么，我們應(yīng)該如何構(gòu)造新的圖形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更容易解決的等價(jià)的問(wèn)題呢？已知條件都分布在兩個(gè)三角形中，所以需要作輔助線構(gòu)造全等三角形.

證明? 如圖8所示，在BC上截取BE，使BE=AB，連接DE.

∵BD是∠ABC的角平分線（已知），

∴∠1=∠2（角平分線定義）.

在△ABD和△EBD中，

∵AB=EB（已知），∠1=∠2（已證），BD=BD（公共邊），

∴△ABD≌△EBD，

∴∠A=∠3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），

AD=ED（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

∵AD=CD（已知），AD=ED（已證），

∴ED=CD（等量代換），∴∠4=∠C（等邊對(duì)等角）.

∵∠3+∠4=180°（平角定義），∠A=∠3（已證），

∴∠A+∠C=180°（等量代換）.

說(shuō)明：以上的證明過(guò)程中，由已知條件得出∠1=∠2，AD=CD，在BC上截取BE，使BE=AB，作輔助線DE.要證∠A+∠C=180°，需要尋找等價(jià)的輔助問(wèn)題——先證∠A=∠3，以及∠4=∠C.要證∠A=∠3，繼續(xù)尋找等價(jià)輔助問(wèn)題——先證明∠A和∠3所在的兩個(gè)三角形全等，而且根據(jù)已知條件，該等價(jià)的輔助問(wèn)題較易于解決.由得出的△ABD≌△EBD的結(jié)論，得到上一個(gè)問(wèn)題的解決——∠A=∠3;可以進(jìn)一步得到AD=DE，繼續(xù)由已知條件得出DE=DC，等量代換得到要證的∠4=∠C;接著觀察圖形由∠3+∠4=180°，最終得到原問(wèn)題的解決.這一道題，整個(gè)過(guò)程貫穿著等價(jià)變換原則的運(yùn)用，把要解決的無(wú)法直接求出的原問(wèn)題A，通過(guò)不斷地尋找等價(jià)的易于解決的輔助問(wèn)題L來(lái)解題，每一個(gè)輔助問(wèn)題都與前一個(gè)問(wèn)題等價(jià)，最后一個(gè)問(wèn)題L也必定和原問(wèn)題A等價(jià)[1].運(yùn)用等價(jià)變換原則解題能夠有效地把繁復(fù)的不易于解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)明的易于解決的等價(jià)問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)逐步地降低題目的難度，使原問(wèn)題更容易地得到解決.

三、結(jié)束語(yǔ)

用等價(jià)變換原則指導(dǎo)解題的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是把繁復(fù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)明的等價(jià)問(wèn)題的過(guò)程.問(wèn)題分析的過(guò)程中形成了一個(gè)等價(jià)輔助問(wèn)題鏈[1]：

鏈中的每一次變換，或使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化、或使問(wèn)題易于處理.解答的過(guò)程，只要把這個(gè)順序顛倒過(guò)來(lái)，逐個(gè)敘述就可以了.

總之，在教學(xué)全等三角形的證明時(shí)，教師首先應(yīng)該幫助學(xué)生熟練掌握判定定理，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生審題讀圖，從分析條件、結(jié)論入手[4]，遇到不能直接證明或欠缺條件的證明題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用等價(jià)變換原則來(lái)理清證明思路，最后，教師可以通過(guò)示范，教會(huì)學(xué)生如何把應(yīng)用等價(jià)變換原則推導(dǎo)而得的證明思路用標(biāo)準(zhǔn)的幾何語(yǔ)言有條理地、規(guī)范地把證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)出來(lái).同時(shí)，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生歸納總結(jié)解題策略，反思解題過(guò)程，不斷積累數(shù)學(xué)解題的思維經(jīng)驗(yàn)，力求舉一反三，做到“做一題，通一類，會(huì)一片”[4].

進(jìn)一步地，如果說(shuō)“數(shù)學(xué)地看待世界、解決問(wèn)題”可被看成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的顯性表現(xiàn)[5]，那么我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)如何把日常生活中遇到需要解決的繁雜問(wèn)題，合理科學(xué)地進(jìn)行簡(jiǎn)單化、清晰化，也即能夠逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深刻、更合理.

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