金鑫 費(fèi)連花

一、背景分析

1.研究對(duì)象是y2=2px（p>0）的拋物線，過(guò)y軸一定點(diǎn)P（且不為原點(diǎn)O）的動(dòng)直線被拋物線所截弦為AB，設(shè)kOA+kOB=k，求證k為定值.

證明? lPA： x a + y b =1， ①

C：y2=2px（p>0）， ②

k= y1 x1 + y2 x2 = y1? y21 2p? + y2? y22 2p? =2p y1+y2 y1y2 ，

將①代入到②式中，消x得y2=2pa 1- y b? ，

整理得y2+ 2pa b y-2pa=0，

由韋達(dá)定理得y1+y2=- 2pa b ，y1y2=-2pa，∴k= 2p b .

2.過(guò)A作x軸的垂線交OB于點(diǎn)A′，取AA′中點(diǎn)M，判斷M點(diǎn)與x軸的位置關(guān)系.

解? 設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（xA，yA）（xB，yB）.

lOB：y= y2 x2 x，yA′= y2 x2 x，yM= y1+ y2 x2 x1 · 1 2 = x1 2?? y1 x1 + y2 x2? = p b x1.

這說(shuō)明P點(diǎn)在y軸正半軸上，M點(diǎn)必在x軸上方，反之在下方.

3.求出射線OM的方程.

答：y= p b x（x>0），說(shuō)明此射線位置確定.

結(jié)論：kOA+kOB=2kOM，三條直線斜率成等差數(shù)列.

4.M點(diǎn)軌跡.

解? M x1， p b x1 ，對(duì)應(yīng)參數(shù)方程 x=x1，y= p b x1，

∴y= p b x（x>0）為M點(diǎn)軌跡.

注意3，4對(duì)應(yīng)的方程是完全一樣的.

5.求出Q點(diǎn)坐標(biāo).

解? y= p b x（x>0）， ①

y2=2px（p>0）. ②

聯(lián)立得x= 2b2 p ，y=2b，Q? 2b2 p ，2b .

二、結(jié)論分析

以上的5個(gè)結(jié)論始于P點(diǎn)，而P點(diǎn)的位置是y軸非原點(diǎn)，也可以理解成是過(guò)拋物線頂點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線上的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）.筆者通過(guò)斜率的關(guān)系將過(guò)P點(diǎn)的直線與拋物線交出的交點(diǎn)弦的特征給出，筆者希望讀者能夠理解P點(diǎn)作為圖形的先天環(huán)境之一，甚至是某些結(jié)論的決定因素，從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)它是一個(gè)動(dòng)因，它的位置影響著斜率和的值是否為定值，影響著M點(diǎn)的位置，影響著M的軌跡，影響著Q點(diǎn)位置.本文通過(guò)坐標(biāo)法講解，所以參量b作為動(dòng)因P的代數(shù)形態(tài)表達(dá)，那么所有能用b表達(dá)的量且其他量確定的情況下，因P動(dòng)而動(dòng)，反之因P定而定之.

三、真題分析

2017（北京·理科）18題：已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1），過(guò)點(diǎn) 0， 1 2? 作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;（解答略）

（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).

（Ⅱ）初步分析：筆者在背景分析中為讀者提供了這個(gè)高考題的原始形成過(guò)程，當(dāng)然這并不能直接讓讀者受益，希望讀者能夠明白，我們可以根據(jù)研究其形成過(guò)程去對(duì)題目改編及創(chuàng)造或者重新賦值，接下來(lái)我們對(duì)這個(gè)高考題的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體的測(cè)試.

我們假設(shè)已知A為線段BM的中點(diǎn)，然后找出影響的那個(gè)Q點(diǎn)，由題可知p= 1 2 .

由背景分析中的5號(hào)結(jié)論可得Q（1，1），當(dāng)然這里如果是筆者的話，會(huì)考慮直接賦這個(gè)值，反推出這個(gè)拋物線方程然后去編題.

深度分析：現(xiàn)在來(lái)看，這個(gè)題目是先找到Q點(diǎn)然后編輯的題目，但是考生并不會(huì)立刻判斷出這個(gè)Q點(diǎn)竟然如此特殊，考生往往以為條件用過(guò)一次可以忽略了，其實(shí)不然，還有一個(gè)問(wèn)題就是考生總是怕設(shè)斜率k，因?yàn)樵O(shè)了以后他就知道聯(lián)立韋達(dá)，其實(shí)我們很有必要對(duì)它進(jìn)行真假動(dòng)因的判斷，而這種判斷往往需要一定的計(jì)算能力，筆者在這個(gè)題目的分析中沒(méi)有用斜截式，而是截距式.最后我們來(lái)說(shuō)一下第二問(wèn)的思路，分別計(jì)算BM中點(diǎn)坐標(biāo)，還有BM和OP交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷重合即可.