周鑒 官展聿

【摘要】 文章通過在緊致黎曼流形定義一個量δ得到該黎曼流形構(gòu)成Ricci孤立子的兩個必要條件，特別，得出一個緊致Ricci孤立子的δ=0當(dāng)且僅當(dāng)它是Einstein的（平凡的）.

【關(guān)鍵詞】 Ricci孤立子;Ricci平均;Einstein流形

【基金項目】 國家自然科學(xué)基金（1161056）.

一、引 言

定義1 ?設(shè)（Mn，g）為一個完備的n維黎曼流形，如果存在Mn上的光滑向量場v，使得

Ric+ 1 2 Lvg=μg， （1.1）

其中Ric是M的Ricci曲率張量，Lvg是黎曼度量g沿著方向v的Lie導(dǎo)數(shù)，μ為給定常數(shù)，則稱M為Ricci孤立子.特別地，當(dāng)v是梯度向量場，即存在Mn上的光滑函數(shù)f，使得（1.1）變?yōu)?/p>

Ric+Hess（f）=μg， （1.2）

其中Hess（f）是f的Hessian，則稱M為梯度Ricci孤立子，f稱為Ricci勢函數(shù).當(dāng)常數(shù)μ分別滿足μ<0，μ=0，μ>0時，稱M分別為膨脹的、穩(wěn)定的、收縮的.特別地，當(dāng)函數(shù)f為常數(shù)，則稱M為平凡的Ricci孤立子，此時M是Einstein的.反之，若M是Einstein的，則f為常數(shù)，即為平凡的.

Perelman等學(xué)者證明了任何一個緊致的Ricci孤立子一定是梯度Ricci孤立子.[1]故研究緊致的Ricci孤立子，實際上是討論緊致的梯度Ricci孤立子.對于梯度Ricci孤立子的分類是個有趣的問題：在什么條件下其是非平凡的？許多學(xué)者做了這方面的研究，特別是在對于緊致的Ricci孤立子：若它們是膨脹或穩(wěn)定的，則它們一定是Einstein的[1].對于收縮的情況：當(dāng)n=2或者3時，緊致收縮的Ricci孤立子一定是Einstein的[2].當(dāng)n>3時，情況有一些復(fù)雜，也是學(xué)者一直關(guān)注的問題.

猜想（Hamilton[6]）：具有正曲率的緊致收縮的Ricci孤立子一定是Einstein的.

本文首先在黎曼流形（Mn，g）定義了一個由黎曼度量g和常數(shù)μ確定的量

δ= 1 nV ∫M（| Ric|2-nμ2）dM， （1.3）

其中V為M的體積，|Ric|2為Mn的Ricci曲率張量模長的平方.然后研究緊致的Ricci孤立子，給出了δ的幾何意義：

定理1 ?設(shè)（Mn，g）為一個緊致的Ricci孤立子，則

δ= 1 nV ∫MRic（SymbolQC@f，SymbolQC@f）dM， （1.4）

其中SymbolQC@f表示函數(shù)f的梯度向量場.這說明δ是沿梯度向量場SymbolQC@f的Ricci平均值.最后，給出了用δ來判斷Ricci孤立子是否平凡的條件.

定理2 ?設(shè)（Mn，g）為一個緊致的Ricci孤立子，則（1.3）中定義的

δ≥0， （1.5）

且δ=0當(dāng)且僅當(dāng)它是平凡的.

這說明對于緊致的Ricci孤立子，只有當(dāng)（1.3）中定義的δ>0時，它才是非平凡的.

二、預(yù)備知識

本節(jié)給出關(guān)于梯度Ricci孤立子的一些基本公式和定理證明中用到的知識.用外微分和活動標(biāo)架法進行計算，采用Einstein求和法（重復(fù)指標(biāo)為求和），規(guī)定指標(biāo)范圍1≤i，j，k，l，…≤n.設(shè)（Mn，g）為一個緊致的Ricci孤立子滿足（1.1），在M上取局部單位正交標(biāo)架場e1，…，en，對偶標(biāo)架場ω1，…，ωn，則M的結(jié)構(gòu)方程：

dωi=ωj∧ωji， ωij+ωji=0，

- 1 2 Rijklωk∧ωl=dωij-ωik∧ωkj，

其中d是M上的外微分算子，ωij，Rijkl分別為g誘導(dǎo)的聯(lián)絡(luò)形式與黎曼曲率.Ricci曲率Rij與純量曲率R分別為

Rij=Rikjk，R=Rii.

對于M上的任意光滑函數(shù)f，設(shè)df=fiωi，其中fi=ei（f）.定義函數(shù)f的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：

fi，jωj=dfi+fjωji，

fi，jkωk=dfi，j+fi，kωkj+fk，jωki，

則fi，j=fj，i，fi，jk-fi，kj=flRlijk. （2.1）

（2.1）的第二式叫作光滑函數(shù)f的Ricci恒等式.f的梯度向量場SymbolQC@f，Hessian和Laplacian分別為

SymbolQC@f=fiei，Hess（f）=fi，jωiωj，Δf=fi，i.

令φij=Rij- R 2 δij， （2.2）

得到M上的一個二階對稱協(xié)變張量φ=φijωiωj，鄭紹遠和丘成桐在文獻[3]中定義了由φ確定的算子□：

□f=φijfi，j，

注意到第二Bianchi恒等式Rij，j= 1 2 Ri，若M緊致，則有

性質(zhì)1 ?設(shè)（Mn，g）為一個緊致黎曼流形，則對于算子□是自伴的[7]，即對于任意的光滑函數(shù)f和h，都有

∫M（h□f）dM=∫M（f□h）dM. （2.3）

若（Mn，g）為滿足（1.2）的一個梯度Ricci孤立子，則（1.2）可寫為

Rij+fi，j=μδij. （2.4）

容易得到：

引理2 ?設(shè)（Mn，g）為一個梯度Ricci孤立子，則有

R+Δf=nμ，Rij，j+fi，jj=0，Ri+（Δf）i=0. （2.5）

三、主要定理的證明

本節(jié)完成引言中兩個定理的證明.

定理1的證明 ?首先計算函數(shù)f梯度向量場SymbolQC@f模長平方的Laplacian

1 2 Δ（|SymbolQC@f|2）=f 2i，j+fi fi，jj. （3.1）

由（2.1）得

1 2 Δ（|SymbolQC@f|2）=f 2i，j+fi（Δf）i+Rijfifj. （3.2）

由第二Bianchi恒等式Rij，j= 1 2 Ri，（2.1）和（2.5），則

1 2 （Δf）i+Rijfj=0. （3.3）

由（2.4）與（2.5）的第一式得

f 2i，j=|Ric|2-nμ2+2μΔf. （3.4）

將（3.3）和（3.4）代入（3.2），則

1 2 Δ（|SymbolQC@f|2）=|Ric|2-nμ2+2μΔf-Rijfifj. （3.5）

由Ricci平均值δ的定義（1.3）和Stokes公式，則有（1.4）成立，定理1得證.

定理2的證明 ?在（2.3）中取函數(shù)h=1，則

0=∫M（□f）dM=∫M? Rij- R 2 δij fij dM. （3.6）

由（2.4）得

Rij- R 2 δij fi，j= 1- n 2? μR+ R2 2 -|Ric|2， （3.7）

其中|Ric|2=∑i，jR2ij為Ricci曲率張量模長的平方.將（3.7）和（2.5）的第一個式子代入（3.6），則

∫M? 1- n 2? nμ2+ R2 2 -|Ric|2 dM=0. （3.8）

結(jié)合（1.3），（2.5）的第一個式子和（3.8），則

nVδ= 1 2 ∫M（R-nμ）2dM. （3.9）

（3.9）右端非負，故（1.5）成立.并且當(dāng)且僅當(dāng)R=nμ，即（Mn，g）平凡時，（3.9）表明（1.5）中等號成立.定理2得證.

【參考文獻】

[1]Perelman G.The Entropy Formula for the Ricci Flow and its Geometric Applications[J].Mathematics，2002（11）：1-39.

[2]Hamilton R.The Ricci Flow on Surfaces.In Mathematics and general relativity[J].Math General Relativity，1988（71）：237-262.