周菊玲

【摘要】 本文以典型問題為例，分析影響學生學習“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的障礙因素，給出教學改革過程中的方法及對策，以期改進教學方法，提高教學效果.

【關鍵詞】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計;微積分;數(shù)學建模

一、打好微積分的基礎，深刻理解隨機事件的概率

“概率論”研究對象是不確定現(xiàn)象，思維方式獨特[1].不確定現(xiàn)象與確定性數(shù)學所使用的說理方式、研究方法都不同.對于大部分已習慣于學習確定性數(shù)學的學生來說，具有很大的挑戰(zhàn)性，學生對處理隨機現(xiàn)象的思考方法不太適應，解題時常常把主要精力放在套用公式上.

例1 ??連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

f（x）= x，0≤x≤1，2-x，1<x≤2，0，其他.

求x落在區(qū)間（0.4，1.2）內的概率.

此題看似簡單，但頗具代表性.根據連續(xù)型隨機變量X的概率密度的性質，所求問題轉化為積分問題，即

P{0.4<X<1.2}=∫1.20.4f（x）dx.

此處，向學生重點強調從求事件的概率到計算積分的轉化，讓學生認識到，在概率論的學習中是通過計算積分求事件的概率的;其次，因為被積函數(shù)是分段函數(shù)，故需討論函數(shù)的分段區(qū)間和積分的積分區(qū)間，即

P{0.4<X<1.2}=∫1.20.4f（x）dx=∫10.4xdx+∫1.21（2-x）dx.

學生對積分很熟悉，但數(shù)學分析中的積分與此處的積分難點側重不同.這種求隨機事件概率問題的思路和方法同樣適用于多維的情況，只是難度會更大.

例2 ??設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

f（x，y）=? 1 8 （6-x-y），0<x<2，0<y<4，0，其他.

求：P{X+Y<4}[5].

根據二維連續(xù)型隨機變量（X，Y）的概率密度的性質，隨機事件的概率歸結為概率密度在相應區(qū)域上的定積分.

解 ?P{X+Y<4}=Df（x，y）dxdy=∫∞-∞∫4-x-∞f（x，y）dydx.

這里求解的難點在于討論積分區(qū)域D和被積函數(shù)的分段區(qū)域，需要求兩者的交集，進而在公共區(qū)域求累次積分

P{X+Y<4}=Df（x，y）dxdy=∫∞-∞∫4-x-∞f（x，y）dydx

=∫20dx∫4-x0 1 8 （6-x-y）dy

= 1 8 ∫20? 1 2 x2-6x+16 dx= 2 3 .

后一步是學生在數(shù)學分析中訓練較少的，但卻是“概率論”中運用最多、最典型的一種問題，因此，講解各步驟時不能平均用力，應重點講透學生不熟悉的環(huán)節(jié)，使學生充分認識概率論與數(shù)學分析中積分計算的難點變化.

二、教學中滲透數(shù)學建模思想

“概率論”在理論聯(lián)系實際方面是數(shù)學最活躍的分支之一，它的概念、公式、定理多，同時具有應用性強的特點，教材中有很多問題都是應用題，實際問題不但內容涉及方方面面，形式更是千變萬化.而學生普遍存在的問題是基礎知識比較扎實，但對如何將實際問題轉化為概率問題感覺困難.在“概率論”課程教學中滲透數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生抓住本質抽象概括、量化分析、數(shù)學語言的翻譯等能力，建立數(shù)學模型解決實際問題，是改善學生學習方式，提高教師教學效果的途徑.

例3 ??某公司計劃開發(fā)一種新產品，并要確定產品的產量.評估出售一件產品可獲利m元，而積壓一件產品導致n元損失.預測銷售量Y（件）服從指數(shù)分布，其概率密度為

fY（y）=? 1 θ e- y θ ，y>0，θ>0，0，y≤0.

若要獲得利潤的數(shù)學期望最大，應生產多少件產品？（m，n，均為已知）[3]

這是一道應用題，如何用數(shù)學語言來描述實際問題、建立數(shù)學模型是難點.授課時幫學生將問題分解為以下幾步：

1.先分析此問題中的各個量：產量、單利、單件損失、銷售量Y、利潤;

2.分析每個量的類型：產量是普通的未知量、單利是常量、單件損失是常量、銷售量Y是隨機變量、利潤是銷售量的函數(shù)，也是隨機變量;

3.將實際問題數(shù)學化：給以上每個量引入數(shù)學符號，建立利潤與銷售量之間的函數(shù)關系;

4.求解數(shù)學問題并回答問題.

通過將原題分解為這樣幾個步驟，不但使學生感覺入手容易，關鍵是將數(shù)學建模的思想滲透其中，使學生學習到了如何將實際問題抽象為數(shù)學問題、建立模型，達到解決問題的目的，并體會到學習數(shù)學的意義.總之，學好“概率論”這門課程，一方面，需要學生前期的數(shù)學學習基礎，另一方面，也需要教師的引導.教師在教學中既要傳授給學生數(shù)學知識，也要教導數(shù)學方法;既要夯實學生的數(shù)學基礎，也要在教學中注重滲透數(shù)學建模的思想.

【參考文獻】

[1]王彬，林靜.論數(shù)學統(tǒng)一性在概率論教學中的應用[J].數(shù)學教育論壇，2014（24）：75-76.

[2]朱少平，王珍.概率論解題方法的一點思考[J].科技經濟市場，2014（6）：182-183.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008：84-94.