廖勁峰， 丁亞林， 姚 園

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 航空光學(xué)成像與測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049)

1 引 言

一般情況下設(shè)計(jì)一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)，其使用條件都是常溫常壓。但是對(duì)于機(jī)載光學(xué)系統(tǒng)而言，隨著飛行高度的爬升，光學(xué)系統(tǒng)所處的環(huán)境條件與地面相差極大，尤其是溫度的變化對(duì)成像質(zhì)量的影響尤為明顯。因?yàn)闇囟茸兓瘯?huì)引起介質(zhì)的折射率變化，會(huì)導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)中光學(xué)元件的厚度、元件之間的空氣間隔以及各折射面和反射面面型發(fā)生變化[1-3]。隨著航空相機(jī)獲得高質(zhì)量成像的需要，機(jī)載光學(xué)系統(tǒng)的消熱差技術(shù)也得到了很大的發(fā)展。

早在20世紀(jì)30年代，Perry等[4]人闡述了溫度變化對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的影響，提出了無熱設(shè)計(jì)的概念；后來Tamagawa等人[5]采用無熱圖實(shí)現(xiàn)多透鏡系統(tǒng)的無熱化設(shè)計(jì)；Behrmann等人采用衍射元件的方法，利用衍射元件負(fù)的色散系數(shù)和獨(dú)特的溫度特性實(shí)現(xiàn)消熱差設(shè)計(jì)[6]。光學(xué)系統(tǒng)的無熱化技術(shù)通?？梢苑譃?大類[7]：機(jī)械被動(dòng)式無熱技術(shù)、機(jī)電主動(dòng)式無熱技術(shù)和光學(xué)被動(dòng)式無熱技術(shù)。光學(xué)被動(dòng)式無熱技術(shù)相對(duì)其他兩種熱補(bǔ)償技術(shù)，具有結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、成本低和穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)[8-10]。

本文針對(duì)某機(jī)載折反式可見光光學(xué)系統(tǒng)在實(shí)際測(cè)試中成像質(zhì)量不佳的情況，基于折反系統(tǒng)的特點(diǎn)，主要采用光學(xué)被動(dòng)式無熱技術(shù)對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。通過光學(xué)設(shè)計(jì)軟件仿真，驗(yàn)證其在溫度變化的情況下能獲得較好的成像質(zhì)量。

2 溫度變化對(duì)成像的影響因素

光學(xué)被動(dòng)式無熱技術(shù)主要是利用系統(tǒng)各光學(xué)元件之間不同的熱特性，通過不同的光學(xué)材料之間的相互補(bǔ)償，以達(dá)到消熱差的目的。而系統(tǒng)獲得高質(zhì)量成像的要求是系統(tǒng)成像面與接收器處于同一位置。因此，分析可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)像面位置造成影響的系統(tǒng)元件與支撐材料就尤為重要。

2.1 光學(xué)元件的影響

透鏡的光焦度公式為：

(1)

式中：Φ為透鏡的光焦度；f′為單透鏡的焦距；r1和r2分別為透鏡第一面和第二面的曲率半徑；n為透鏡的折射率；d為透鏡的厚度。在分析溫度對(duì)透鏡焦距的影響時(shí)，需要將式(1)對(duì)溫度求導(dǎo)，但是求導(dǎo)結(jié)果太過復(fù)雜，不利于影響因素的分析，所以我們希望用薄透鏡系統(tǒng)代替厚透鏡系統(tǒng)。為此，單獨(dú)選擇一塊透鏡進(jìn)行討論，透鏡的r1=161.951 mm，r2=-165.72 mm，d=16.5 mm，玻璃材料為K9。該透鏡在20 ℃時(shí)焦距為161.386 78，薄透鏡公式計(jì)算的焦距為158.619 35；在40 ℃時(shí)透鏡的焦距為161.396 77，薄透鏡公式計(jì)算的焦距為158.628 7。Δf′分別為0.009 99與0.009 35，誤差值約為變化值的1/15，因此用薄透鏡的光焦度公式代替完整的透鏡光焦度公式來簡(jiǎn)化模型進(jìn)行熱分析是可行的。

令d=0，則薄透鏡的光焦度公式為：

(2)

將式(2)對(duì)溫度求導(dǎo)可得：

(3)

(4)

由式(3)可以看出，變化的溫度通過改變透鏡的折射率，表面的曲率半徑來改變透鏡的焦距。

值得注意的是，在仿真過程中需要分清所用的溫度折射率系數(shù)是玻璃材料的相對(duì)折射率的溫度折射率系數(shù)還是絕對(duì)折射率的溫度折射率系數(shù)。當(dāng)采用玻璃材料相對(duì)折射率的溫度折射率系數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，式(4)得到的結(jié)果是完全正確的。如果采用玻璃絕對(duì)折射率的溫度折射率系數(shù)進(jìn)行分析，則實(shí)際溫度變化時(shí)透鏡的折射率應(yīng)為：

(5)

(6)

同理對(duì)上式求導(dǎo)并化簡(jiǎn)可得：

(7)

將n′=n·n0帶入其中并化簡(jiǎn)可得：

(8)

令

(9)

則式(8)可化為：

(10)

對(duì)于折反系統(tǒng)中的反射鏡，其光焦度公式為[11]：

(11)

式中：r為反射鏡的曲率半徑，n為反射鏡所處空間的折射率。因?yàn)榭諝獾恼凵渎始s等于1，將式(11)對(duì)溫度求導(dǎo)并化簡(jiǎn)可得：

(12)

因?yàn)榉瓷溏R的入射光線和出射光線在同一空間，所以反射鏡焦距幾乎不受空氣折射率的影響，只與反射鏡的面型相關(guān)。所以不用考慮空氣折射率的變化對(duì)反射鏡焦距變化的影響。

對(duì)于多透鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)，設(shè)光學(xué)系統(tǒng)由n個(gè)折射面組成，如圖1所示，對(duì)于任意面k，由單個(gè)折射面的物像關(guān)系式知：

(13)

(14)

(15)

式(15)是系統(tǒng)像距隨溫度變化的方程，對(duì)處于空氣介質(zhì)中的折射光學(xué)系統(tǒng)，每2個(gè)面與其中間的材料相結(jié)合組成一個(gè)透鏡，其兩邊的折射率為空氣，暫時(shí)忽略空氣折射率的變化，將式(15)進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：

(16)

式中：m為組成折射系統(tǒng)透鏡的個(gè)數(shù)；hi表示光線在第i個(gè)透鏡的投射高度；αi表示第i和i+1個(gè)透鏡間的材料線膨脹系數(shù)。設(shè)透鏡間材料的熱膨脹為0，則系統(tǒng)透鏡隨溫度變化對(duì)像距的影響為：

(17)

圖1 由n個(gè)面組成的折射光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Refractive optical system made of n optical surfaces

對(duì)多光組組成的光學(xué)系統(tǒng)，設(shè)光學(xué)系統(tǒng)由i個(gè)光組組成,如圖2所示，由三角關(guān)系可得系統(tǒng)出射光線與光軸的夾角為：

(18)

式中：h1為第一近軸光線在第一面的入射高度，f′為系統(tǒng)的焦距。

圖2 多光組組合光線示意圖Fig.2 Ray of multibeam combination

結(jié)合式(17)與式(18)可以得到，最終系統(tǒng)光學(xué)元件隨溫度變化對(duì)像距的影響為：

(19)

2.2 支撐材料的影響

多數(shù)文獻(xiàn)認(rèn)為，鏡筒材料對(duì)焦距的影響量可以粗略地等同于筒長(zhǎng)乘以線膨脹系數(shù)，這對(duì)于大多數(shù)的折射式光學(xué)系統(tǒng)而言是可行的。但是一些折反式光學(xué)系統(tǒng)不同，尤其是長(zhǎng)焦距的折反式光學(xué)系統(tǒng)，其對(duì)成像起主要作用的是反射鏡部分，反射鏡之間的間隔變化對(duì)焦距的影響量要遠(yuǎn)大于間隔的變化量。如圖3所示的反射系統(tǒng)簡(jiǎn)圖，平行光線入射第一面反射鏡，成像在O點(diǎn)，O點(diǎn)作為第二面反射鏡的物點(diǎn)，成像到A點(diǎn)。如果兩反射鏡的間距L變化了ΔL，則相當(dāng)于第二面反射鏡的物點(diǎn)O移動(dòng)了ΔL的距離，由高斯公式可知，最終像點(diǎn)A移動(dòng)的距離與第二面反射鏡的放大倍率相關(guān)，而不是約為ΔL。

圖3 反射系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.3 Diagram of reflective system

因此，針對(duì)這一特點(diǎn)引入軸向放大率β，其定義為系統(tǒng)各元件之間間隔改變所引起的系統(tǒng)后截距變化量與間隔變化量的比值，系統(tǒng)的后截距為系統(tǒng)最后一個(gè)面到系統(tǒng)像面的距離。光學(xué)元件之間間隔的變化對(duì)系統(tǒng)后截距的影響量為：

(20)

式中：αi為支撐材料的線膨脹系數(shù)，βi為各元件間隔的軸向放大率，Δβi為溫度變化所引起的軸向放大率變化，Li為各元件之間的間隔長(zhǎng)度。軟件仿真結(jié)果表明，單位溫度變化下，Δβi不足βi的1/100，因此在指導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)Δβi可忽略不計(jì)。

實(shí)際優(yōu)化過程中需要注意的是，光學(xué)元件的間隔不完全等同于連接兩元件的機(jī)械材料長(zhǎng)度。如圖4所示，是用機(jī)械材料連接的光學(xué)元件的兩個(gè)面，兩元件之間的間隔為L(zhǎng)，而連接兩元件的鏡筒長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，溫度變化時(shí)兩元件間隔的變化量為ΔL′=ΔL1-Δd1-Δd2而不是簡(jiǎn)單的ΔL=L·α·ΔT。當(dāng)L遠(yuǎn)大于d1、d2時(shí)，ΔL≈ΔL′；當(dāng)L與d1,d2數(shù)值相近時(shí)，就需要完整討論，可根據(jù)L與d1和d2的數(shù)量級(jí)關(guān)系來決定是否進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

圖4 鏡片連接示意圖Fig.4 Lens connection

3 無熱化設(shè)計(jì)

某機(jī)載折反式可見光光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖5所示，系統(tǒng)焦距f′=1 850 mm，像方F數(shù)為6，全視場(chǎng)2ω=2°，反射鏡材料為碳化硅，鏡筒材料為鈦合金，要求在0～40 ℃的溫度范圍內(nèi)調(diào)制傳遞函數(shù)不低于0.3。

圖5 系統(tǒng)原結(jié)構(gòu)圖Fig.5 System structure

此時(shí)系統(tǒng)在0～40 ℃的光學(xué)傳遞函數(shù)圖如圖6所示，從圖中可以看出，系統(tǒng)在20 ℃時(shí)成像質(zhì)量良好，調(diào)制傳遞函數(shù)曲線接近衍射極限，在變化了20 ℃之后，調(diào)制傳遞函數(shù)急劇下降，成像質(zhì)量變得非常差。

由式(10)、(12)、(19)可知，本系統(tǒng)的光學(xué)元件對(duì)系統(tǒng)后截距的影響為：

(21)

要使成像質(zhì)量最佳，需要系統(tǒng)的焦面與接收面重合，結(jié)合式(20)，本系統(tǒng)的消熱差條件為：

(22)

式中:α均為材料的線膨脹系數(shù)，βi為各光學(xué)元件間隔的軸向放大率，Li為各光學(xué)元件之間的間距，Lm為后截距的長(zhǎng)度。

根據(jù)式(22)的消熱差方程，將系統(tǒng)的參數(shù)全部帶入其中。在優(yōu)化時(shí)將各因素的影響程度從大到小排列，按從大到小的順序依次調(diào)整。計(jì)算結(jié)果表明改變玻璃材料對(duì)系統(tǒng)焦距的影響不如改變鏡筒材料對(duì)系統(tǒng)焦距的影響大。使用鈦合金作為鏡筒材料時(shí)，鏡筒的膨脹引起的像距變化量大于光學(xué)元件變化引起的像距變化量。比鈦合金的線膨脹系數(shù)小的材料，我們想到了殷鋼(invar)和碳纖維，但是殷鋼重量太大不利于工程應(yīng)用，而碳纖維重量輕且線膨脹系數(shù)因方向不同而呈現(xiàn)負(fù)的和正的線膨脹系數(shù)。為了減小其影響效果，將軸向放大率大的兩反射鏡之間的鏡筒和第二面反射鏡到透鏡之間的鏡筒材料更換為某型號(hào)的碳纖維，其某一方向的線膨脹系數(shù)約為5×10-6/ ℃。此時(shí)計(jì)算結(jié)果與軟件仿真結(jié)果都顯示鏡筒材料的膨脹對(duì)系統(tǒng)焦距的影響還是更大一些，此時(shí)我們可以將剩余的口徑鏡筒材料更換為殷鋼，因?yàn)槭Ｓ嗖糠窒到y(tǒng)的口徑較小，使用的材料也不多，重量增加不太大，得到了一個(gè)相對(duì)較好的支撐結(jié)構(gòu)。

(a)20 ℃時(shí)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(a)MTF at 20 ℃

(b)0 ℃時(shí)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(b)MTF at 0 ℃

(c)40 ℃時(shí)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(c)MTF at 40 ℃圖6 原系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)Fig.6 MTF before optimization

在選定好支撐結(jié)構(gòu)之后，開始通過更改玻璃組合來彌補(bǔ)剩余的熱差。在選擇玻璃時(shí)，盡量選擇相同的玻璃系，因?yàn)橥档牟Ａд凵渎瘦^為接近，阿貝數(shù)也變化不大，可以在保證系統(tǒng)參數(shù)變化不大的情況下改變消熱差系數(shù)。將透鏡的曲率半徑、厚度和透鏡之間的間隔也設(shè)為變量，從光焦度最大的玻璃入手，根據(jù)消熱差方程選擇玻璃材料，讓光學(xué)設(shè)計(jì)軟件自動(dòng)優(yōu)化，判斷優(yōu)化結(jié)果，如不夠好則將優(yōu)化后的數(shù)據(jù)帶入消熱差方程，繼續(xù)選擇玻璃材料。如此反復(fù)調(diào)整和優(yōu)化，直至得到最優(yōu)解。最后將本系統(tǒng)透鏡部分的第三塊玻璃K9更換為HK5，第五塊玻璃ZF3更換為HZF6，并適當(dāng)調(diào)整其他透鏡的曲率半徑和間距可得無熱化設(shè)計(jì)結(jié)果。

優(yōu)化之后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)曲線如圖7所示。從圖7可以看出經(jīng)過我們優(yōu)化的系統(tǒng)，在0～40 ℃的溫度范圍內(nèi)，成像質(zhì)量良好，具有很好的消熱差能力，光學(xué)傳遞函數(shù)曲線下降不到0.1，完全滿足設(shè)計(jì)要求中的大于0.3。

(a)20 ℃時(shí)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(a)MTF at 20 ℃

(b)0 ℃時(shí)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(b)MTF at 0 ℃

(c)40 ℃時(shí)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(c)MTF at 40 ℃圖7 優(yōu)化后系統(tǒng)的調(diào)至傳遞函數(shù)Fig.7 MTF after optimization

4 結(jié) 論

本文根據(jù)航空相機(jī)希望獲得更高分辨率圖像的要求，提出了一種機(jī)載折反式可見光光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)被動(dòng)式無熱設(shè)計(jì)。通過分析溫度變化時(shí)系統(tǒng)的光學(xué)元件與支撐材料對(duì)系統(tǒng)焦距的影響，針對(duì)折反式系統(tǒng)的特點(diǎn)，引入了元件間隔的軸向放大率這一概念，合理地體現(xiàn)了折反系統(tǒng)部分光學(xué)元件之間間隔變化對(duì)系統(tǒng)焦距影響大的事實(shí)。以此建立了消熱差方程來指導(dǎo)完成無熱化設(shè)計(jì)。軟件仿真結(jié)果表明，工作在486～656 nm波段，焦距為1 850 mm的機(jī)載折反式可見光光學(xué)系統(tǒng)，在0～40 ℃的溫度范圍內(nèi)，系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)曲線下降不到0.1，滿足成像要求。