胡媛媛，黎志謀，黎小剛，李貴松

(1.重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 重慶 400074；2. 林同棪國(guó)際工程咨詢(中國(guó))有限公司， 重慶 401120；3.貴州路橋集團(tuán)有限公司， 貴州 貴陽(yáng) 550018)

斜拉橋作為高次超靜定結(jié)構(gòu)，主要依靠斜拉索將主梁與索塔連接起來(lái)，橋跨結(jié)構(gòu)的整體自重以及橋上活載也是通過(guò)斜拉索傳遞到索塔上的，所以拉索是斜拉橋的主要受力構(gòu)件之一。斜拉橋設(shè)計(jì)時(shí)，首先根據(jù)成橋狀態(tài)下的線形與索力之間的關(guān)系確定拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)，然后充分考慮拉索端部的錨固尺寸，留出一定的富余量，從而確定拉索施工時(shí)的制造長(zhǎng)度。所以拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的計(jì)算準(zhǔn)確性直接影響著斜拉橋的施工控制，若制造長(zhǎng)度偏短，拉索的有效錨固長(zhǎng)度將難以保證；若制造長(zhǎng)度偏長(zhǎng)，一是拉索材料浪費(fèi)，二是可能導(dǎo)致拉索無(wú)法張拉到位。由于斜拉索的自重效應(yīng)使拉索張拉時(shí)呈現(xiàn)出較為明顯的非線性特征，所以隨著拉索張力的增大以及斜拉橋跨徑的增大，此非線性對(duì)拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的求解影響也就越大?？紤]基于拉索懸鏈線理論的迭代求解方法是可以精確求解此類(lèi)非線性問(wèn)題的。文獻(xiàn)[1-3]采用Ridders改進(jìn)弦割線迭代技術(shù)，以無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)作為迭代控制參數(shù)；文獻(xiàn)[4-6]基于高精度的拉索懸鏈線索元?jiǎng)偠染仃?，采用非線性迭代求解技術(shù)，推導(dǎo)了索端張力與拉索原長(zhǎng)之間的增量函數(shù)表達(dá)式；文獻(xiàn)[7]通過(guò)構(gòu)建索端豎向分力與無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)之間的關(guān)系，采用Levenberg-Marquard迭代法計(jì)算拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)；文獻(xiàn)[8]以索端力的精確表達(dá)式代替索端節(jié)點(diǎn)力的平均值，構(gòu)建了已知索端張力情況下的拉索特征參數(shù)約束方程，通過(guò)牛頓下山法求解拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。本文基于斜拉索懸鏈線理論，推導(dǎo)拉索懸鏈線方程，考慮拉索張拉時(shí)錨固點(diǎn)處拉索切線與水平面的夾角α隨索端張力T的變化，并建立α與索端張力T之間的約束方程，最后應(yīng)用牛頓迭代法求解已知索端張力狀態(tài)下的拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。

1 斜拉索懸鏈線理論

1.1 基本假定

斜拉索在自重作用下的線形為懸鏈線的基本假定是：

1)柔性假設(shè)：斜拉索是理想的柔性索，在沒(méi)有張力作用時(shí)，不能橫向抗彎。

2)線彈性假設(shè)：斜拉索為線彈性材料，符合胡克定律。

3)勻質(zhì)假設(shè)：斜拉索為均質(zhì)等截面體，即不考慮拉索橫截面在變形前后的變化，其自重集度沿索長(zhǎng)為常量。

4)受力假設(shè)：斜拉索除兩端支承作用外，拉索只受沿索長(zhǎng)方向均勻分布的垂直向下的荷載。

1.2 斜拉索懸鏈線方程

如圖1所示建立直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)取在下錨固點(diǎn)(梁端錨固點(diǎn))A處。斜拉索下錨固點(diǎn)拉力為T(mén)i，水平分量為Hi，豎直分量為Vi，設(shè)斜拉索上任意一點(diǎn)(x，y)處的張力為T(mén)，水平分量為H，豎直分量為V，上錨固點(diǎn)(塔端錨固點(diǎn))與下錨固點(diǎn)之間的水平距離為l0，上下錨固點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為γ，mcb為單位長(zhǎng)度斜拉索的重量。

以拉索為研究對(duì)象，建立平衡方程：

∑Fx=0:H-Hi=0

(2)

(3)

圖1 斜拉索受力分析示意圖

由方程(2)、方程(3)分別解出H和V并代入方程(1)得

(4)

方程(4)左右兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，可得

(5)

方程(5)左右兩端分別再對(duì)x求導(dǎo)，可得：

(6)

針對(duì)方程(6)，采用數(shù)學(xué)工具軟件MATLAB R2010b解之得

(7)

(8)

(9)

其中C1、C2是常數(shù)，顯然：將式(8)、式(9)代入方程(6)是滿足的。

同時(shí)，函數(shù)y應(yīng)滿足下列邊界條件：

y(0)=0

(10)

y(l0)=l0tanγ

(11)

y′(0)=tanα

(12)

式(12)中的α是拉索下錨固點(diǎn)A處的拉索切線與水平面的夾角。由邊界條件(10)得

(13)

由邊界條件(12)可得

C1=sinh-1(tanα)

(14)

將式(14)代入式(13)可以得到

(15)

然后，將式(15)、式(14)代入函數(shù)(7)中，得到函數(shù)(7)的表達(dá)式為：

(16)

函數(shù)表達(dá)式(16)即為拉索的懸鏈線方程，其導(dǎo)數(shù)為

(17)

再將式(11)代入方程(16)中，且由于

Hi=Ticosα

(18)

故可以得到關(guān)于α的方程：

(19)

此方程即為拉索的特征參數(shù)約束方程。方程為超越方程，需通過(guò)數(shù)值方法求解，本文采用牛頓法對(duì)α進(jìn)行迭代求解。以牛頓法對(duì)方程(19)進(jìn)行求解，令t=tanα，代入方程(19)得

(20)

在牛頓法求解過(guò)程中需要求出函數(shù)F(t)的導(dǎo)數(shù)值。故函數(shù)F(t)的導(dǎo)數(shù)F′(t)為

(21)

故斜拉索的在張力作用下的伸長(zhǎng)量ΔS為：

(22)

式中：S0為拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)；E為拉索的彈性模量；A為拉索的截面積。斜拉索在應(yīng)力狀態(tài)下的長(zhǎng)度S為

(23)

于是，斜拉索的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)為

S0=S-ΔS

(24)

2 牛頓迭代法

對(duì)于如圖1所示的拉索懸鏈曲線，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi，yi)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(xj，yj)，則可以求出一些基本量：

(25)

由方程(19)可得，在已知索端A張力為T(mén)i的條件下，由于拉索的參數(shù)E、A、l0、tanγ均是已知的，故對(duì)于方程(19)僅是關(guān)于α的方程。只要求出拉索的特征參數(shù)α便可以計(jì)算拉索的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。通過(guò)令t=tanα將方程(19)轉(zhuǎn)化為函數(shù)(20)，利用構(gòu)造的關(guān)于t的函數(shù)(20)、(21)，用牛頓迭代法求解t?；舅惴椋?/p>

2)根據(jù)牛頓迭代法基本公式

(26)

式(26)可以得到，t1=t0(F(t0)/F′(t0)，其中F(t0)由式(20)求得，F(xiàn)′(t0)由式(21)求得。同理：由n次迭代后獲得tn，由此可以求得tn+1=tn(F(tn)/F′(tn)，F(xiàn)(tn)與F′(tn)的值分別通過(guò)式(20)、式(21)求得；

3)計(jì)算Δt=|tn+1-tn|，當(dāng)Δt的值小于一定限值時(shí)，迭代結(jié)束，此時(shí)只需要將迭代得到的值tn+1分別代入式(22)、式(23)、式(24)即可求得斜拉索的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)S0。

在實(shí)際迭代過(guò)程中，該算法迭代收斂速度較快，一般經(jīng)過(guò)2～3次迭代便可以得到收斂穩(wěn)定的t值，而且該法計(jì)算理論簡(jiǎn)單，編程水平要求較低，實(shí)現(xiàn)容易。

3 工程實(shí)例

以在建的重慶市豐都長(zhǎng)江二橋?yàn)槔?，其?70.5+215.5+680+245.5+70.5) m雙塔雙索面五跨連續(xù)鋼箱梁斜拉橋，主橋長(zhǎng)為1 282 m，橋面全寬26.5 m，主橋結(jié)構(gòu)體系為半漂浮體系，塔墩固結(jié)，主梁在索塔及輔助墩、邊(墩)臺(tái)處設(shè)置豎向支撐，并在索塔與主梁之間設(shè)置橫向與縱向限位裝置。主梁主體結(jié)構(gòu)采用正交異性橋面板流線型扁平鋼箱梁，橋梁中線處梁高3 m，全寬(含風(fēng)嘴)28.5 m，設(shè)有雙向2%橫坡。斜拉索在鋼箱梁上的錨固采用了錨拉板結(jié)構(gòu)形式，拉索為平行鋼絞線索。

斜拉索采用高強(qiáng)低松弛鍍鋅鋼絞線，抗拉強(qiáng)度(1 860 MPa，直徑15.24 mm，涂油脂或蠟并帶PE護(hù)套。斜拉索每塔共21對(duì)，全橋共計(jì)168根斜拉索，根據(jù)受力大小分為6類(lèi)，對(duì)應(yīng)鋼絞線股數(shù)為22、27、31、37、43、55。取北中跨的21根拉索進(jìn)行計(jì)算。斜拉索的編號(hào)示意圖如圖2所示，豐都長(zhǎng)江二橋的總體布置圖如圖3所示。

圖2 斜拉索的編號(hào)示意圖

圖3 豐都長(zhǎng)江二橋總體布置圖

為進(jìn)行對(duì)比分析，本文還列出了文獻(xiàn)[7]中記載的Levenberg-Marquard迭代法和基于斜拉索拋物線理論的Ernst等效模量法的計(jì)算結(jié)果。為了體現(xiàn)簡(jiǎn)易牛頓迭代法的有效性和可靠性，故將等效模量法和本文方法的誤差設(shè)為相對(duì)于Levenberg-Marquard迭代法的差值。

由表1可得：利用牛頓迭代法求解特征參數(shù)t時(shí)，收斂速度快，經(jīng)過(guò)2～3次迭代計(jì)算，結(jié)果便可穩(wěn)定下來(lái)。由表2可得：在成橋狀態(tài)下，已知梁端張力條件時(shí)求解斜拉索的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)，采用本文方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中所記載的迭代法的計(jì)算結(jié)果基本一致，即使對(duì)于360 m左右的長(zhǎng)索，兩者計(jì)算結(jié)果的差值也僅為千分之二。這也充分說(shuō)明了牛頓迭代法的可靠性與有效性。Ernst等效模量法與本文方法相對(duì)于文獻(xiàn)[7]迭代法的計(jì)算差值，等效模量法的計(jì)算差值約為本文方法計(jì)算差值的5倍。對(duì)于Ernst等效模量法，隨著索長(zhǎng)的增大，其計(jì)算差值逐漸增大。Ernst等效模量法是基于拉索拋物線理論的一種近似方法，其計(jì)算方法簡(jiǎn)單，不需要迭代求解，應(yīng)用方便。但是由于其計(jì)算模型的局限性，所以需要對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，我國(guó)《公路斜拉橋設(shè)計(jì)規(guī)范》(試行)(JTJ027——96)中對(duì)于斜拉索無(wú)應(yīng)力下料長(zhǎng)度的計(jì)算便是在Ernst等效模量法的基礎(chǔ)上再考慮張拉端與錨固端錨杯長(zhǎng)度等構(gòu)造因素確定的。

表1 牛頓迭代法計(jì)算過(guò)程

表2 無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果及誤差對(duì)比

4 結(jié)論

基于拉索懸鏈線理論，充分考慮了拉索張拉時(shí)錨固點(diǎn)處拉索切線與水平面的夾角α隨索端張力T的變化，并建立了α與索端張力T之間的約束方程，最后應(yīng)用牛頓迭代法求解已知索端張力狀態(tài)下的拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。并使用該方法對(duì)在建的重慶市豐都長(zhǎng)江二橋斜拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。圖4和圖5分別為使用Ernst等效模量法和使用本文方法計(jì)算重慶市豐都長(zhǎng)江二橋北中跨21根拉索的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的誤差曲線。圖6則為采用上述兩種無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)算法的誤差對(duì)比曲線。由計(jì)算表明：

1)由圖4、圖5和圖6可知，隨著拉索長(zhǎng)度的增加，Ernst等效模量法計(jì)算拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的誤差增長(zhǎng)速率較快，而本文方法計(jì)算無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的誤差則增長(zhǎng)較為平緩，對(duì)于長(zhǎng)索甚至出現(xiàn)下降的趨勢(shì)。由計(jì)算可知，對(duì)于360 m左右的長(zhǎng)索，Ernst等效模量法計(jì)算無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的誤差約為11 mm，而采用本文方法的誤差僅為2 mm。隨著斜拉索長(zhǎng)度的增加，拉索幾何非線性程度會(huì)逐漸增加，由于Ernst等效模量法是一種基于拉索拋物線理論的近似方法，其局限性將使其在非線性領(lǐng)域的計(jì)算誤差大大增加。

圖4 Ernst等效模量法的誤差曲線

圖5 本文方法的誤差曲線

圖6 本文方法與Ernst等效模量法計(jì)算

2)本文方法是一種基于拉索懸鏈線理論的幾何求解方法，充分考慮了拉索張拉時(shí)錨固點(diǎn)處拉索切線與水平面的夾角隨索端張力的變化，對(duì)于已知索端張力的斜拉索，利用牛頓迭代法求解錨固點(diǎn)處拉索切線與水平面的角度量，間接求解拉索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。此方法充分考慮了拉索張拉時(shí)錨固點(diǎn)處拉索切線與水平面的角度和索力之間的耦合作用。

3)本文方法計(jì)算較為準(zhǔn)確，而且迭代算法收斂速度快，操作簡(jiǎn)單，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。