竇欣悅,司嶸嶸

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210094)

弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)以慢速電子與稀薄氣體中原子的碰撞揭示了原子內(nèi)部的能量量子化，為玻爾理論提供了直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù)[1]. 通過(guò)弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)，可以了解電子與原子相互作用的過(guò)程，并最終得到原子第一亞穩(wěn)態(tài)的激發(fā)電位. 在弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)中，多種因素共同對(duì)實(shí)驗(yàn)曲線起作用，要想得到最佳的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，選擇合適的實(shí)驗(yàn)參量至關(guān)重要[2]. 本文推導(dǎo)了導(dǎo)通電壓以及波谷對(duì)應(yīng)的加速電壓的表達(dá)式，利用充氬弗蘭克-赫茲管進(jìn)行了不同情況下的多次實(shí)驗(yàn)測(cè)量，對(duì)得到的不同形狀的實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比分析，給出該弗蘭克-赫茲管的最佳實(shí)驗(yàn)參量，并測(cè)得該參量下的氬原子第一亞穩(wěn)態(tài)的激發(fā)電位.

1 實(shí)驗(yàn)原理分析

弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示. F-H管中充以待測(cè)量的氣體氬氣. F-H管內(nèi)有4個(gè)電極：陰極K、第一柵極G1、第二柵極G2以及板極A. 各極之間施加電壓，分別為燈絲電壓UF、正向電壓UG1K、加速電壓UG2K和減速電壓UG2A.

在UG2K的作用下，電子會(huì)被加速并向第二柵極運(yùn)動(dòng). 在此過(guò)程中，電子可能會(huì)與F-H管中的氬原子碰撞. 假設(shè)氬原子的第一激發(fā)電位為U0. 當(dāng)UG2K較小時(shí)，電子與氬原子發(fā)生彈性碰撞，能量損失極小，板極電流IA隨加速電壓UG2K的增大而上升. 當(dāng)UG2K增加到U0時(shí)，一部分電子會(huì)與氬原子發(fā)生非彈性碰撞，氬原子得到了電子的全部能量后，由基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)，而電子本身由于損失了能量，不能克服UG2A的作用到達(dá)板極A，板極電流減小. 隨加速電壓UG2K的不斷增加，電子在G2附近發(fā)生多次非彈性碰撞，導(dǎo)致板極電流下降，形成周期性起伏變化的IA-UG2K曲線,如圖2所示. 該曲線是能量量子化導(dǎo)致能量被吸收的結(jié)果，也是原子能級(jí)量子化的體現(xiàn)[3].

圖2 周期性起伏的IA-UG2K曲線

2 特征點(diǎn)的加速電壓分析

2.1 導(dǎo)通電壓U導(dǎo)

加速電壓從0開(kāi)始增加，若電子具有的能量剛好能克服第二柵極G2與板極A之間減速電壓UG2A的作用從而到達(dá)板極A,使得板極電流由0開(kāi)始緩慢增加，此時(shí)UG2K的值即為導(dǎo)通電壓. 假設(shè)電子從陰極發(fā)射出來(lái)后，初始能量為w0，接觸電勢(shì)差a對(duì)電子做負(fù)功，加速電壓UG2K對(duì)電子做正功，減速電壓UG2A對(duì)電子做負(fù)功，最終電子到達(dá)板極時(shí)，能量為0，可列等式：

w0-ea+eUG2K-eUG2A=0,

(1)

此時(shí)，導(dǎo)通電壓

(2)

2.2 波谷對(duì)應(yīng)的加速電壓U谷

由圖2可知，當(dāng)加速電壓UG2K的值剛好大于U谷時(shí)，板極電流開(kāi)始重新增加，所以波谷處恰好是電子與氬原子發(fā)生非彈性碰撞導(dǎo)致?lián)p失掉能量neU0(n=1,2,3…)后，剩余的能量剛好能夠克服減速電壓UG2A的作用從而到達(dá)板極A，導(dǎo)致電流再次回升. 由上述分析可得，序號(hào)為n的波谷處對(duì)應(yīng)的電子能量是neU0+eUG2A(n=1,2,3…)，在電子從陰極到達(dá)第二柵極G2的過(guò)程中，初始能量為w0，接觸電勢(shì)差a對(duì)電子做負(fù)功，加速電壓UG2K對(duì)電子做正功，則

neU0+eUG2A=w0-ea+eUG2K,

(3)

此時(shí)

(4)

由(4)式可以看到，2個(gè)相鄰波谷之間的加速電壓的差值即為氬原子的第一激發(fā)電位U0.

3 實(shí)驗(yàn)探究

在實(shí)驗(yàn)前，預(yù)先設(shè)定儀器的燈絲電壓UF=2.8 V，正向電壓UG1K=1.5 V，減速電壓UG2A=7.0 V,電流量程10.0 μA，終止電壓80.0 V, 電壓步距0.2 V.

由于每個(gè)F-H管連續(xù)使用，其性能會(huì)發(fā)生改變，所以工作參量也需要做出相應(yīng)的調(diào)整. 在實(shí)驗(yàn)參量預(yù)置值的基礎(chǔ)上分別改變UF,UG1K和UG2A這3個(gè)實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行多次測(cè)量. 在測(cè)得大量原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用Matlab軟件作出IA-UG2K曲線.

3.1 燈絲電壓UF對(duì)IA-UG2K曲線的影響

保持UG1K=1.5 V和UG2A=7.0 V不變，在不同燈絲電壓UF下測(cè)得的IA-UG2K曲線如圖3所示.

圖3 不同燈絲電壓UF下的IA-UG2K曲線

由圖3可知，板極電流的值隨著UF的增大而增大，且呈指數(shù)規(guī)律上升，類似于二極管中熱電子發(fā)射的理查遜定律[4]. 隨著燈絲電壓的增加，波谷處對(duì)應(yīng)的加速電壓的值基本不變. 由(4)式可以得到，在電子的初始能量w0以及接觸電勢(shì)差a不變的情況下，U谷與UF無(wú)關(guān)，所以UF的改變并不影響波谷處加速電壓的值. 由圖3還可以看到，隨著UF的增加，IA的值隨之增加，相鄰峰谷間板極電流的差值也會(huì)增大，實(shí)驗(yàn)曲線分辨率更高.

2.4,2.8,3.2 V燈絲電壓下的相鄰峰谷值的板極電流之差如表1所示.

表1 不同燈絲電壓下的相鄰峰谷板極電流之差

隨著燈絲電壓的增大，實(shí)驗(yàn)曲線分辨率不斷提高，其原因是從陰極發(fā)射出來(lái)電子的數(shù)目與燈絲溫度成正比，燈絲的溫度隨著燈絲電壓的增大而升高，發(fā)射出來(lái)的電子數(shù)目也隨之增多，板極電流增大. 但是過(guò)大的燈絲電壓一方面會(huì)導(dǎo)致發(fā)生溢出現(xiàn)象，從而無(wú)法測(cè)量氬原子的第一激發(fā)電位；另一方面會(huì)加快F-H管的老化速度，導(dǎo)致其壽命變短[5]. 該F-H管最佳的燈絲電壓值為2.8 V.

3.2 正向電壓UG1K對(duì)IA-UG2K曲線的影響

保持UF=2.8 V和UG2A=7.0 V不變，在不同正向電壓UG1K下測(cè)得IA-UG2K曲線如圖4所示.

圖4 不同正向電壓UG1K下的IA-UG2K曲線

在陰極附近存在空間電荷效應(yīng). 電子由陰極發(fā)射出來(lái)后，具有的絕大多數(shù)能量被用來(lái)克服逸出功，導(dǎo)致其初速度很小. 電子集中在陰極周圍，形成空間電荷層，其電勢(shì)低于燈絲電勢(shì)[4]. 此空間電場(chǎng)的作用表現(xiàn)為抑制電子發(fā)射. 在第一柵極G1上加小的正向電壓后，在陰極附近堆積的電子會(huì)在UG1K的作用下，由陰極向第一柵極運(yùn)動(dòng)，提高了電子的發(fā)射效率[6]. 所以可以通過(guò)控制UG1K的大小來(lái)改變陰極發(fā)射電子數(shù)目.

由圖4可知，在不同的正向電壓下，F(xiàn)-H管的導(dǎo)通電壓U導(dǎo)的值不會(huì)發(fā)生改變. 由(2)式可以得到，在電子的初始能量w0以及接觸電勢(shì)差a不變的情況下，改變正向電壓對(duì)實(shí)驗(yàn)曲線的導(dǎo)通電壓并不產(chǎn)生影響. 還可以看到，正向電壓發(fā)生變化，波谷對(duì)應(yīng)的加速電壓也不變. 由(4)式可以得到，在w0以及a不變的情況下，U谷與UG1K無(wú)關(guān)，所以UG1K的改變并不影響波谷處加速電壓的大小.

1.5,1.6,1.7 V正向電壓下，相鄰峰谷值的板極電流之差如表2所示. 由表2中數(shù)據(jù)可得，1.6 V與1.5 V的曲線相比較，差值變大，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象更明顯. 這是由于當(dāng)UG1K=1.5 V時(shí)，正向電壓很小，不足以使絕大多數(shù)電子克服空間電荷層對(duì)電子的拉回作用，導(dǎo)致到達(dá)第一柵極G1的電子數(shù)量較小，最終到達(dá)板極A的電子數(shù)目少，板極電流小，峰與谷之間的差距小；1.7 V與1.6 V的曲線相比較，曲線的分辨率明顯下降，這是由于此時(shí)發(fā)射的電子數(shù)量達(dá)到飽和，空間電荷層對(duì)電子的發(fā)射不再有抑制作用，若繼續(xù)增大UG1K，到達(dá)板極A的電子數(shù)目將減少，IA減小，峰谷值之差也會(huì)減小. 所以，只有取合適的正向電壓值，才會(huì)得到最佳的實(shí)驗(yàn)曲線分辨率. 該F-H管最佳的正向電壓值為1.6 V.

表2 不同正向電壓下的相鄰峰谷板極電流之差

3.3 減速電壓UG2A對(duì)IA-UG2K曲線的影響

保持UF=2.8 V和UG1K=1.5 V不變，在不同減速電壓UG2A下測(cè)得的IA-UG2K曲線如圖5所示.

圖5 不同減速電壓UG2A下的IA-UG2K曲線

由圖5可見(jiàn)，12.0V對(duì)應(yīng)曲線的第2,3,4個(gè)波谷在圖中不完整，說(shuō)明減速電壓增加到一定程度會(huì)使IA-UG2K曲線截止，所以減速電壓的取值須在合適的范圍內(nèi)，不能過(guò)大. 接下來(lái)的討論僅針對(duì)7.0,8.0,9.0V3條曲線. 減速電壓的增大，在實(shí)驗(yàn)曲線的波峰兩側(cè)，板極電流改變的速度快，改變的幅值大；波谷兩側(cè)板極電流改變的速度慢，改變的幅值??；實(shí)驗(yàn)曲線整體向右移動(dòng). 由(4)式可知，在n值相同的情況下，即3條完整曲線相同序號(hào)的波谷處，加速電壓的值隨著減速電壓UG2A的增大而增大，在圖5中表現(xiàn)為曲線整體向右移動(dòng). 由圖5還可以看到，當(dāng)減速電壓較小時(shí)，峰谷對(duì)應(yīng)的板極電流差值很?。浑S著減速電壓的增加，電流之差變大；但當(dāng)減速電壓過(guò)大時(shí)，差值又會(huì)變小.

相鄰峰谷的板極電流之差如表3所示.

表3 不同減速電壓下的相鄰峰谷板極電流之差

當(dāng)UG2A較小時(shí)，減速電壓對(duì)電子的減速作用較小，電子與氬原子發(fā)生非彈性碰撞損失能量neU0(n=1,2,3…)后剩余的能量只需很小便能克服UG2A的作用到達(dá)板極A，引起電流的再次回升，表現(xiàn)為峰谷對(duì)應(yīng)的電流差值不大；隨著UG2A的增大，只有剩余能量較大的電子才能到達(dá)板極A，使得峰谷電流之差變大，實(shí)驗(yàn)曲線分辨率提高；當(dāng)UG2A過(guò)大時(shí)，絕大部分的電子不能克服減速電壓的作用到達(dá)板極A，板極電流減小.

在同一減速電壓下，隨著加速電壓的增大，相鄰2個(gè)峰的加速電壓之差也不斷增大. 當(dāng)UG2A=8.0 V時(shí)，5組峰間距值依次為10.8，11.2，11.7，11.9，13.2 V.

在F-H管中運(yùn)動(dòng)的電子可以分為與氬原子發(fā)生非彈性碰撞的電子(占電子總數(shù)的百分比為α)、與氬原子發(fā)生彈性碰撞的電子以及不與氬原子發(fā)生碰撞的電子. 實(shí)驗(yàn)曲線呈現(xiàn)出波峰是由于板極電流的下降與上升達(dá)到了平衡. 電流的下降是與氬原子發(fā)生非彈性碰撞的電子引起的，而電流的上升源于其他2種電子速度的增加.

首先對(duì)第1個(gè)波峰的形成進(jìn)行分析. 在UG2K從0開(kāi)始增加直到等于U0時(shí)，一部分電子會(huì)與氬原子發(fā)生非彈性碰撞，從而損失能量eU0. 這些電子剩余的能量不足以克服減速電壓的作用，從而不能到達(dá)板極A，導(dǎo)致板極電流的下降. 同時(shí)，隨著UG2K的逐漸增加，電子的動(dòng)能也在增加，其速度變大，未與氬原子發(fā)生非彈性碰撞的電子在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)板極A某一橫截面的電荷量增加，從而使得板極電流增大. 如果電流下降的程度大于電流上升的程度，則電流開(kāi)始下降.

第2個(gè)波峰處板極電流的下降，是由與氬原子連續(xù)發(fā)生2次非彈性碰撞的電子引起的. 設(shè)從陰極發(fā)射出的電子的總數(shù)為m，且與氬原子發(fā)生非彈性碰撞的電子占總電子數(shù)的百分比仍為α,則上述電子的數(shù)量為mα2，相比于只與氬原子發(fā)生1次非彈性碰撞的電子數(shù)目減少. 若板極電流再次下降，則需要更大的加速空間，以增加上述電子的數(shù)量，使得電流下降的程度大于上升的程度. 以此類推，每個(gè)峰值的形成都需要比前一個(gè)峰值更大的加速空間，所以峰間距會(huì)隨著UG2K的增加而增大. 該F-H管最佳的減速電壓值為8.0 V.

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及分析

在上述最佳實(shí)驗(yàn)參量下得到的IA-UG2K曲線如圖6所示. 由前述分析可得，2個(gè)相鄰波谷的加速電壓之差即為氬原子的第一激發(fā)電位U0. 谷位序數(shù)n與對(duì)應(yīng)的加速電壓具有線性關(guān)系，即UG2K=a+U0n，其中a為接觸電勢(shì)差等因素引起的電勢(shì)差，U0為氬原子的第一激發(fā)電位[7].

圖6 最佳參量下的IA-UG2K曲線

利用Excel數(shù)據(jù)處理軟件，基于最小二乘法對(duì)最佳實(shí)驗(yàn)參量情況下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到的線性擬合曲線如圖7所示.

圖7 線性擬合曲線

由Excel給出的參量可得，a=12.71 V，U0=11.59 V，線性相關(guān)系數(shù)r=0.999 7. 所以氬原子的第一激發(fā)電位為11.59 V，與真實(shí)值13.06 V相比，差距較大. 實(shí)際上，11.59 V不是氬原子的第一激發(fā)電位. 這是由于在氬原子的基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)之還存在著2個(gè)亞穩(wěn)態(tài)，它們與基態(tài)的能量差值分別為11.55 eV和11.72 eV. 電子在2個(gè)亞穩(wěn)態(tài)上的停留時(shí)間(10-3s)要比其在第一激發(fā)態(tài)的停留時(shí)間(10-8s)長(zhǎng)得多[8]. 在此F-H管最佳實(shí)驗(yàn)參量下，氬原子的激發(fā)電位為11.59 V，在11.55 V與11.72 V之間，并且離亞穩(wěn)態(tài)11.55 V更為接近，所以電子在與氬原子發(fā)生非彈性碰撞后，被激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)上的氬原子躍遷到電勢(shì)為11.55 V的亞穩(wěn)態(tài)上，也可以說(shuō)，相比于電勢(shì)為11.72 V的亞穩(wěn)態(tài)，電子躍遷到與基態(tài)能量差值為11.55 eV的亞穩(wěn)態(tài)上的概率更大. 所以，實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的結(jié)果是氬原子第一亞穩(wěn)態(tài)的激發(fā)電位.

5 結(jié)束語(yǔ)

給出了弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)的導(dǎo)通電壓及波谷對(duì)應(yīng)的加速電壓的表達(dá)式，探究了UF,UG1K以及UG2A對(duì)IA-UG2K曲線的影響，最終得到氬原子第一亞穩(wěn)態(tài)的激發(fā)電位為11.59 V. 在得到波谷處UG2K表達(dá)式的前提下對(duì)3種情況的實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行分析. 在此基礎(chǔ)上，可以對(duì)波峰處加速電壓的表達(dá)式進(jìn)一步探究，以期對(duì)弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)的原理理解得更為透徹.