張祥 盧本全 李冀光 鄒宏新 ?

1）(國防科技大學文理學院,長沙 410073）

2）(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所,北京 100088）

3）(中國科學院授時中心,西安 710600)

本文首先在Dirac-Hartree-Fock近似下理論評估了Hg+離子5d106s2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷的質(zhì)量位移(mass shift,MS)和場位移 (field shift,FS)在其同位素位移 (isotope shift,IS)中的相對貢獻,發(fā)現(xiàn) MS 遠小于FS而可以被忽略.在此基礎(chǔ)上,通過系統(tǒng)地考慮該原子體系中主要的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),計算了這條鐘躍遷FS的精確值以及涉及到的上下兩個能級的超精細結(jié)構(gòu)常數(shù),并得到了幾種穩(wěn)定汞同位素離子該躍遷的IS和超精細結(jié)構(gòu)分裂.其中,計算的199Hg+和198Hg+離子之間的鐘躍遷頻率偏移與已有實驗測量值相比誤差為2%左右.最終,本文給出了汞離子7種常見同位素該譜線的絕對頻率值,為實驗上的譜線測量提供了有效的理論依據(jù).

1 引 言

在星載原子鐘中,傳統(tǒng)原子鐘(銣鐘、銫鐘和氫鐘)會因原子之間和原子與器壁的碰撞產(chǎn)生多普勒頻移,使躍遷譜線比較寬,而利用電磁場約束粒子的離子鐘則避免了這些因素,使其具有較高的頻率準確度和穩(wěn)定度.在離子鐘中,汞離子具有最高的基態(tài)超精細能級躍遷頻率,并對溫度和空間磁場的敏感度較低,穩(wěn)定度指標與主動型氫鐘相當,且重量輕(約3kg)、體積小[1,2],所以是理想的星載原子鐘,可用于導航二期后續(xù)、深空導航等項目[3].精確的汞離子鐘還可以作為精密測量平臺探測精細結(jié)構(gòu)常數(shù)是否隨時間變化[4]或輕夸克質(zhì)量與量子色動力學標度因子比率[5],在低能區(qū)檢驗標準模型,探索新物理.

自然界中穩(wěn)定存在的汞天然同位素共有7種,分別為196Hg,198Hg,199Hg,200Hg,201Hg,202Hg 和204Hg.表1給出了它們的相關(guān)參數(shù),包括同位素質(zhì)量數(shù)、相對原子質(zhì)量、元素豐度、均方根核電荷半徑、核自旋、核磁偶極矩和核電四極矩.其中,199Hg和201Hg的核自旋不為零而使其能級具有超精細結(jié)構(gòu).

199Hg+是光鐘的重要候選離子[10,11],對于199Hg+離子 5d106s2S1/2(F=0)→5d96s22D5/2(F=2）態(tài)躍遷譜線的實驗測量,Rafac 等[12]、Bergquist等[13]和Oskay等[14]已經(jīng)將測量精度提高到了10–17量級.其中,Oskay 等[14]給出絕對頻率精度最高,為 1064721609899144.94(97）Hz,可以作為光學頻率基準,199Hg+也被列入新的秒定義候選離子.198Hg+離子 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2態(tài)躍遷譜線也有實驗精確測量,其值為 35514.304(6）cm–1[15].對于無超精細結(jié)構(gòu)的202Hg+和198Hg+離子,它們約194nm的深紫外光可被用來對四極阱中的199Hg+和201Hg+離子進行光抽運[1,5].另外,在激光電離分離汞同位素離子技術(shù)中[16,17],需要通過參考具體同位素頻移來調(diào)諧用于光電離的激光,選擇性地電離制備特定的汞同位素離子.但是對于汞同位素離子 5d106s2S1/2和 5d96s22D5/2等能級及能級之間躍遷同位素位移(isotope shift,IS)的研究則缺少相關(guān)理論和高精度的實驗結(jié)果.

表1 7 種天然汞同位素及相關(guān)參數(shù)Table1. Related parameters of seven natural mercury isotopes.

本文中我們利用相對論多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock(MCDHF)方法計算了鐘躍遷譜線的IS以及相關(guān)兩個能級的超精細結(jié)構(gòu)常數(shù),與已有實驗值比較,我們的IS計算精度已經(jīng)達到2%左右.在此基礎(chǔ)上,獲得了其他6種汞同位素離子相對于199Hg+鐘躍遷頻率的偏移量,并理論預言了各種汞同位素可能的鐘躍遷絕對頻率值.該理論計算結(jié)果可以為實驗測量其他汞同位素離子躍遷譜線提供參考,大幅減小實驗掃譜范圍,降低實驗難度,為實現(xiàn)不同汞同位素離子的光學頻率標準提供幫助.另外,汞離子IS為研究汞原子核的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)及核子相互作用規(guī)律提供了必要的理論參數(shù)[18].

2 研究方法

2.1 多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock方法

其中:ci是混合系數(shù);是附加量子數(shù),它與宇稱P、總角動量J及其z方向的分量MJ一起使描述的組態(tài)波函數(shù)具有唯一性.理論上,用無限個組態(tài)波函數(shù)去展開這個原子態(tài)波函數(shù)就能得到體系真實的原子態(tài)波函數(shù).但是,實際計算中只能選擇有限個組態(tài)波函數(shù),其數(shù)目多少和選擇方式?jīng)Q定了對電子關(guān)聯(lián)的描述程度.

在自洽場 (self-consistent field,SCF)過程中,基于變分原理,混合系數(shù)和單電子相對論軌道通過求解MCDHF方程來同時優(yōu)化.在得到單電子軌道基后,進一步擴大組態(tài)空間,利用相對論組態(tài)相互作用 (relativistic configuration interaction,RCI)方法可以包含更多電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).另外,在RCI計算中還能包括Breit相互作用[20]和量子電動力學(quantum electrodynamics,QED)修正[21,22].本文的計算利用了基于MCDHF方法發(fā)展的GRASP程序包[23].

2.2 超精細結(jié)構(gòu)理論

原子核的電磁多極矩與電子之間的超精細相互作用可以表示為

其中,T(k)和 M(k)分別是電子和原子核空間的k 階球張量算符[24].k=1 表示磁偶極超精細相互作用,k=2 表示電四極超精細相互作用.進一步,磁偶極和電四極超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)A,B可以分別表示為[25]

相應(yīng)的磁偶極和電四極超精細相互作用的一階能量修正可表示為

其中 C=F(F+1）–J(J+1）–I(I+1）.

2.3 IS理論

早期處理原子結(jié)構(gòu)時,把原子核看成是質(zhì)量無窮大的點電荷.但實際上,原子核是有限質(zhì)量的質(zhì)子和中子組成的量子體系,其內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同也影響著核外電子,進而造成不同同位素之間原子能級存在不同程度的位移,這一位移量被稱為IS.IS分為質(zhì)量位移 (mass shift,MS)和場位移 (field shift,FS)[20,26,27].對于較輕元素,依賴于核有限質(zhì)量的MS貢獻較大.對于較重元素,依賴于核電荷分布的FS貢獻較大,后面的討論將細致比較兩者在汞離子IS中占的實際比重.

3 結(jié)果和討論

3.1 5d106s 2S1/2→5d96s2 2D5/2鐘躍遷FS和MS的相對大小

首先,在單組態(tài)近似下計算了汞的7種同位素相對199Hg+離子的 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2躍遷的MS和FS,結(jié)果如圖1所示.由于實驗測量的汞不同同位素的原子核均方根半徑的平方隨中子數(shù)增加而線性變化[8],從圖1中可以看出其同位素的FS也與同位素的質(zhì)量數(shù)大致呈現(xiàn)線性關(guān)系.另外,也觀察到汞不同同位素的MS基本相同.值得注意的是,對于Hg+離子的這條鐘躍遷譜線,MS遠小于 FS,其對 IS 的貢獻遠小于 1%.因此,在 IS 的計算中可以忽略MS.

圖1 汞同位素離子 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2 躍遷相對于199Hg+離子的FS和MS隨質(zhì)量數(shù)變化的趨勢Fig.1.Trends of field shift and mass shift for the 5d106s 2S1/2→5d96s22D5/2transition in mercury isotope ions with respect to199Hg+as the increase of mass number.

3.2 5d106s 2S1/2→5d96s2 2D5/2鐘躍遷 FS的理論計算

為了獲得 Hg+離子 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷FS的準確結(jié)果,需要考慮體系中的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).本文采用活動空間方法[34]產(chǎn)生組態(tài)空間來系統(tǒng)地捕獲電子間的關(guān)聯(lián).選取5d106s和5d96s2為參考組態(tài),把5d和6s電子看成價電子(V),其他電子為芯電子(C).組態(tài)空間利用限制性單雙激發(fā)(SrD)方式擴展,即活動的原子芯軌道中最多只允許一個電子激發(fā)出去,而價電子可以被同時激發(fā)兩個.這樣,包括了芯電子與價電子(CV)和價電子之間的關(guān)聯(lián)(VV).為了使能量本征值和IS收斂,關(guān)聯(lián)軌道 (virtual orbitals)是逐層加入的,而且在SCF計算中每次只優(yōu)化最新加入的軌道.另外,為了全面考慮原子芯電子(C)和價電子(V)之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng),在逐層加入關(guān)聯(lián)軌道的同時,也逐層打開參考組態(tài)中占據(jù)的原子芯軌道(active orbitals),即打開的原子芯軌道上的電子也可以被激發(fā)到價軌道或虛軌道上.為了表述計算得到的原子態(tài)波函數(shù)的品質(zhì),在表2中給出了具體的計算模型以及能量本征值隨組態(tài)空間擴大的變化.n代表虛軌道最大的主量子數(shù),DF代表單組態(tài)近似模型,NCF列兩組數(shù)字分別代表參考組態(tài)5d106s2S1/2和5d96s22D5/2在每個計算模型下組態(tài)的數(shù)目,Energy eigenvalue列下的兩組值分別對應(yīng)這兩個組態(tài)的能量本征值.

如表2所示,計算是從DF近似(單組態(tài)近似)出發(fā),然后產(chǎn)生了5層虛軌道,其中前3層軌道角動量包括spdfg,最后兩層軌道角動量為spdf.對于主量子數(shù)大于8且角動量為g的軌道以及角動量全部為h的軌道,計算結(jié)果顯示它們的影響較小,所以在虛軌道中不用添加.在擴充虛軌道的同時,我們還同時逐層打開了原子芯軌道直到n=3.

表3給出了汞同位素離子相對199Hg+離子的FS收斂情況，第一列與表2的計算模型對應(yīng).可以大致看出，隨著越來越多的電子關(guān)聯(lián)被考慮，汞同位素離子的FS趨向收斂.比如，對于196Hg+離子，n=8時的 FS 與 n=9相比相差 3.28%，而 n=9時的FS與n=10相比僅相差0.12%.

3.3 Hg+離子 5d106s 2S1/2和 5d96s2 2D5/2態(tài)的超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)

使用上述計算FS的模型,也計算了Hg+離子5d106s2S1/2和 5d96s22D5/2能級的磁偶極 (A)和電四極(B)超精細結(jié)構(gòu)常數(shù),其隨電子關(guān)聯(lián)的變化趨勢展示在表4中.為了反映同位素效應(yīng),同位素的質(zhì)量數(shù)標記在超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)的左上角.另外,原子態(tài)的角動量也標記在右下角.可以看出,隨著組態(tài)空間的擴大,磁偶極(A)和電四極(B)超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)均趨于收斂.例如,199Hg+5d106s2S1/2態(tài)在n=8時的磁偶極常數(shù) A與 n=9時的差別為4.43%,而 n=9 時的 A 值比 n=10 的結(jié)果只大1%.表4中最后4行給出了文獻中已知的理論和實驗值,與文獻[35]和[36]中理論結(jié)果相比,在n=11模型下的計算結(jié)果更接近文獻[37]中的實驗值,其中,計算的199Hg+和201Hg+離子 5d106s2S1/2態(tài)磁偶極超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)A與實驗值的誤差分別為 1.67% 和 1.48%.另 外 ,還 得 到 了199Hg+和201Hg+離子5d96s22D3/2態(tài)的磁偶極超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)分別為 2735.73MHz 和–1009.86MHz,201Hg+離子電四極超精細結(jié)構(gòu)常數(shù)為841.17MHz.

表2電子關(guān)聯(lián)對能量本征值的影響Table2. Effect of electron correlations on energy eigenvalues.

表3汞同位素離子相對199Hg+離子 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2 鐘躍遷的場位移(單位:GHz)受電子關(guān)聯(lián)的影響Table3. Effect of electron correlations on the FS(in GHz)of the5d106s2S1/2→5d96s22D5/2transition in mercury isotope ions(relative to199Hg+).

表4 199Hg+和201Hg+離子 5d106s2S1/2 和 5d96s22D5/2 態(tài)的磁偶極 (A 單位:MHz)和電四極 (B 單位:MHz) 超精細結(jié)構(gòu)常數(shù) Table4. Magnetic dipole A(in MHz)and electric quadrupole B(in MHz)hyperfine interaction constants for the5d106s 2S1/2and5d96s22D5/2states of199Hg+and201Hg+.

3.4 超精細結(jié)構(gòu)下 5d106s 2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷的IS

圖2描述了198Hg+和199Hg+離子超精細結(jié)構(gòu)下 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷的 IS.其中,ISS代表精細結(jié)構(gòu)下能級的IS,HFSS代表超精細結(jié)構(gòu)能級劈裂.利用上面n=11時計算的FS和超精細結(jié)構(gòu)常數(shù),得到了199Hg+與198Hg+離子躍遷譜線的 ISS 之差為 1.13GHz,199Hg+離子 F=2到 F=0超精細分裂 (HFSS 之差)為 29.16GHz,因此這兩個同位素鐘躍遷的偏移(ν1與ν2之差)為這兩項值之和,即30.30GHz,該值即為199Hg+與198Hg+離子在超精細結(jié)構(gòu)下的IS.已知實驗測量的199Hg+離子光鐘鐘躍遷頻率為1064721609899144.94(97）Hz[14],以及198Hg+離子光鐘鐘躍遷頻率為1064.6919524THz[15],可以得到199Hg+與198Hg+離子 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷的頻率 IS 實驗值為29.66GHz,我們的理論結(jié)果與其符合的很好,兩者差別僅為2.16%.

從計算中發(fā)現(xiàn),Hg+離子能級的IS在104GHz量級,而超精細結(jié)構(gòu)分裂在 1～10GHz 量級.但是對于躍遷IS,其值是上能級5d106s2S1/2和下能級5d96s22D5/2的 IS 之差,該值與超精細結(jié)構(gòu)分裂在相同的數(shù)量級.結(jié)合表3中FS的計算結(jié)果也可以看出,對于汞元素的幾種同位素,它們的FS都小于29.16GHz的超精細結(jié)構(gòu)分裂,這導致計算IS時,超精細結(jié)構(gòu)的影響需要重點考慮.

圖2 199Hg+和198Hg+離子的超精細能級結(jié)構(gòu)圖Fig.2.Hyperfine level structure diagram of199Hg+and198Hg+.

在同時考慮了 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2躍遷的IS和超精細結(jié)構(gòu),給出了汞7種同位素離子該譜線的絕對頻率值,如表 5 所示.其中,201Hg+離子對應(yīng)的躍遷是 5d106s2S1/2(F=1）→5d96s22D5/2(F=1）,199Hg+離子的是 5d106s2S1/2(F=0)→5d96s22D5/2(F=2）.除了199Hg+和198Hg+離子外,其他汞同位素離子目前均沒有相應(yīng)實驗測量值,也沒有其他理論計算結(jié)果來進行比較,有待將來實驗驗證我們的理論計算結(jié)果.

表5 汞同位素離子 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2 躍遷譜線的絕對頻率值Table5. Absolute frequency values of the5d106s2S1/2→5d96s22D5/2transition in mercury isotope ions.

4 結(jié) 論

本文首先在Dirac-Hartree-Fock近似下,發(fā)現(xiàn)汞離子IS中FS要遠大于MS.進一步,忽略MS的影響,利用MCDHF方法,我們考慮了原子體系中主要的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),獲得了汞同位素離子5d106s2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷在超精細結(jié)構(gòu)下的 IS.其中,計算的199Hg+和198Hg+離子的 IS 與實驗值僅相差2.16%.最后,我們也理論預言了汞7 種同位素 5d106s2S1/2→5d96s22D5/2鐘躍遷譜線的絕對頻率值.本文的計算結(jié)果對進一步的實驗測量工作提供了有價值的參考數(shù)據(jù),同時也對后續(xù)汞原子核相關(guān)性質(zhì)的研究提供了理論依據(jù).