李海 鄒健 邵彬 陳雨 華臻

1）(山東工商學(xué)院信息與電子工程學(xué)院,煙臺(tái) 264000)

2）(北京理工大學(xué)物理學(xué)院,北京 100084）

3）(中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所,北京 100190)

4）(貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽(yáng) 550018）

基于單模微腔與二能級(jí)原子系綜(庫(kù))構(gòu)成的混合動(dòng)力學(xué)模型,探索了非平衡庫(kù)中量子關(guān)聯(lián)相干(quantum correlated coherence,QCC)[Tan K C,et al.2016Phys.Rev.A94,022329])對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響.推導(dǎo)了量子關(guān)聯(lián)相干庫(kù)下系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程.借助于含QCC的類(lèi)GHZ庫(kù)及其對(duì)應(yīng)的參考庫(kù),清晰地揭示了非平衡庫(kù)中QCC扮演著熱力學(xué)資源的角色——能夠有效輔助系統(tǒng)從庫(kù)中提取更多能量.同時(shí),結(jié)合解析與數(shù)值模擬方法研究了類(lèi)GHZ庫(kù)的有效溫度和系統(tǒng)與庫(kù)間的耦合參數(shù)對(duì)QCC能量效應(yīng)的影響.研究發(fā)現(xiàn),QCC對(duì)腔場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)不僅依賴(lài)于庫(kù)的有效溫度,而且也和系統(tǒng)與庫(kù)間的耦合參數(shù)有關(guān).這與二能級(jí)原子構(gòu)成的傳統(tǒng)的熱庫(kù)的情況(腔場(chǎng)從熱庫(kù)中提取的能量?jī)H僅依賴(lài)于庫(kù)的有效溫度即二能級(jí)原子的熱布局)完全不同.此外,研究發(fā)現(xiàn)QCC可視作一類(lèi)優(yōu)質(zhì)的熱力學(xué)資源,在特定條件下其對(duì)系統(tǒng)的能量貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于原子熱布局的貢獻(xiàn).因此,QCC將是高輸出功率或高效率量子熱機(jī)設(shè)計(jì)中的一類(lèi)重要燃料.

1 引 言

量子信息科學(xué)的快速發(fā)展使人們對(duì)量子資源,如非定域性、糾纏和量子相干等的物理特性有了更加深入的認(rèn)識(shí)[1].借助于這些量子資源,科學(xué)家們可以實(shí)現(xiàn)經(jīng)典物理中不可能完成的一些任務(wù)[2].隨著激光技術(shù)以及微納米制造工藝的不斷提高,人們正朝著操控越來(lái)越小器件的方向發(fā)展.同時(shí),這也進(jìn)一步促進(jìn)眾多研究者對(duì)微小器件中出現(xiàn)的量子效應(yīng)的關(guān)注.尤其是量子相干,其作為核心的物理資源已參與到大多數(shù)量子現(xiàn)象之中并得以應(yīng)用[3].近期,德國(guó)物理學(xué)家Plenio課題組[4]首次給出了量子相干度量的簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述.這一突破性研究激發(fā)了眾多學(xué)者對(duì)量子相干在量子信息中作為資源的相關(guān)理論的進(jìn)一步探索[5?20].例如,關(guān)于量子關(guān)聯(lián)和量子相干之間的聯(lián)系方面,Streltsov課題組[14]和Yao等[15]的研究表明:量子相干能夠產(chǎn)生量子糾纏并可以被視作量子糾纏的源;韓國(guó)科學(xué)家Tan等[16]提出:量子糾纏可以被認(rèn)為是一種特殊的量子相干.這種量子相干被稱(chēng)為量子關(guān)聯(lián)相干(quantum correlated coherence,QCC),QCC 指的是多體系統(tǒng)的各個(gè)子系統(tǒng)之間的量子糾纏或相干.最近,Wang等[17]給出了基于熵的QCC的度量方案,并驗(yàn)證了量子失諧(discord)和量子糾纏能夠用QCC有效刻畫(huà).

另一方面,量子相干的熱力學(xué)特性近年來(lái)也引起了廣大學(xué)者的興趣[21?43].他們?cè)诙喾N量子系統(tǒng)和模型中對(duì)量子相干的熱力學(xué)特性進(jìn)行了探索,包括:量子光學(xué)系統(tǒng)如微腔[21?26]、離子陷阱[27]、光學(xué)晶格[28]、光力學(xué)系統(tǒng)[29,30]和生物系統(tǒng)[31,32]等.從研究角度上看,量子效應(yīng)的熱力學(xué)探索包括兩類(lèi):一類(lèi)是研究熱循環(huán)中系統(tǒng)或量子工質(zhì)攜帶的量子效應(yīng)的熱力學(xué)特性[19,37,44?58];另一類(lèi)則考察量子非平衡庫(kù)中量子效應(yīng)的熱力學(xué)特性,如庫(kù)中的熱糾纏[59]、量子相干[22?26]和量子壓縮[60?63].特別地,在量子光學(xué)實(shí)驗(yàn)中微腔是為數(shù)不多的可以被有效操控的微納器件,它為非平衡庫(kù)中量子相干的熱力學(xué)效應(yīng)研究提供了重要的平臺(tái).2003年,物理學(xué)家Scully等[22]借助于微腔系統(tǒng)開(kāi)創(chuàng)性地研究了非平衡相干庫(kù)中三能級(jí)原子內(nèi)近簡(jiǎn)并能級(jí)間相干的熱力學(xué)效應(yīng).他們揭示了庫(kù)中原子的量子相干能夠有效促進(jìn)微腔系統(tǒng)能量的提取并實(shí)現(xiàn)高輸出功率的光子卡諾熱機(jī).受此工作啟發(fā),學(xué)者們基于微腔系統(tǒng)對(duì)量子相干熱力學(xué)特性開(kāi)展了一系列有趣的研究工作.比如:2012年Liao等[23]利用大量彼此獨(dú)立且攜帶量子相干的二能級(jí)原子檢驗(yàn)了原子相干在腔場(chǎng)熱化中的作用;Türkpen?e等[24]探索了多能級(jí)相干系統(tǒng)組成的非平衡庫(kù)對(duì)實(shí)現(xiàn)高輸出功率的量子熱機(jī)的意義;Dillenschneider等[59]研究了構(gòu)成庫(kù)的原子對(duì)中的熱糾纏和量子失諧的能量效應(yīng);近期,文獻(xiàn)[25]討論了處于一般X型態(tài)下原子對(duì)的量子相干和量子關(guān)聯(lián)對(duì)微腔系統(tǒng)做功能力的影響,揭示了影響系統(tǒng)做功能力的較為本質(zhì)的熱力學(xué)源是量子相干而非量子關(guān)聯(lián).這些研究使人們對(duì)非平衡庫(kù)中量子相干或關(guān)聯(lián)的熱力學(xué)特性有了更加深入的認(rèn)識(shí).

然而,我們注意到:在前面提到的研究中非平衡庫(kù)都是由獨(dú)立的粒子單元構(gòu)成(粒子單元指的是每次穿過(guò)腔場(chǎng)的單個(gè)原子或原子團(tuán)),庫(kù)中的相干或關(guān)聯(lián)僅僅包含于每個(gè)粒子單元之中.為便于描述,我們稱(chēng)前面這類(lèi)非平衡庫(kù)為“局域相干庫(kù)”.在局域相干庫(kù)下,由于各粒子單元彼此獨(dú)立,腔場(chǎng)在任意時(shí)刻的動(dòng)力學(xué)演化僅與進(jìn)入腔場(chǎng)的粒子單元有關(guān),與腔外的粒子單元無(wú)關(guān).這里,一個(gè)自然且有趣的問(wèn)題是:當(dāng)考慮構(gòu)成庫(kù)的所有粒子單元之間存在量子關(guān)聯(lián)相干(QCC)時(shí)(我們稱(chēng)這類(lèi)庫(kù)為“量子關(guān)聯(lián)相干庫(kù)”或“QCC庫(kù)”.此庫(kù)下每次進(jìn)入腔場(chǎng)的單個(gè)粒子單元將攜帶腔外其他粒子單元的信息,腔場(chǎng)任意時(shí)刻的演化不僅與進(jìn)入腔場(chǎng)的粒子單元有關(guān),也與腔外其他粒子單元有關(guān)),與局域庫(kù)相比系統(tǒng)從庫(kù)中提取的能量將會(huì)有何變化?QCC是否也能扮演熱力學(xué)資源的角色輔助系統(tǒng)提取較多能量?這是本文所關(guān)心的核心問(wèn)題.

為了有效研究QCC的熱力學(xué)效應(yīng),本文基于微腔系統(tǒng)分別討論了由大量彼此關(guān)聯(lián)的二能級(jí)原子構(gòu)成的QCC庫(kù)和獨(dú)立原子構(gòu)成的局域庫(kù)下腔場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程(如圖1所示).為研究方便,文中考慮了單個(gè)二能級(jí)原子為粒子單元順次穿腔的情形.借助于具體的庫(kù)態(tài)—類(lèi)GHZ態(tài)(攜帶QCC)和其對(duì)應(yīng)的參考態(tài)(不含QCC),我們清楚地展示了:腔場(chǎng)從類(lèi)GHZ庫(kù)態(tài)中提取的能量總大于其從相應(yīng)參考態(tài)的庫(kù)中獲得的能量,并表明QCC與局域相干[22?26](單個(gè)粒子單元中攜帶的相干)類(lèi)似,能夠扮演熱力學(xué)資源的角色以提高系統(tǒng)的能量.同時(shí),我們也討論了庫(kù)的有效溫度以及系統(tǒng)與庫(kù)間的耦合參數(shù)對(duì)QCC的能量效應(yīng)的影響,并揭示了QCC對(duì)腔場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)不僅依賴(lài)于庫(kù)的有效溫度而且與系統(tǒng)和庫(kù)間的耦合參數(shù)有關(guān).特別是在弱耦合條件下,類(lèi)GHZ庫(kù)中的QCC對(duì)腔場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于庫(kù)中原子熱布局對(duì)腔場(chǎng)的能量貢獻(xiàn).因此,在特定條件下QCC可視為一種優(yōu)質(zhì)的熱力學(xué)資源.

圖1 單模微腔與一系列二能級(jí)原子組成的原子庫(kù)相互作用示意圖 (a)處于QCC庫(kù)中的二能級(jí)原子順次穿過(guò)微腔;(b)庫(kù)中無(wú)QCC情況下,二能級(jí)原子順次穿過(guò)微腔Fig.1.Schematic diagram of a single-mode microcavity interacting with a TLA-bath consisting of a series of twolevel atoms:(a) The atoms of bath with QCC passing through the cavity one by one;(b) the atoms of bath without QCC crossing the cavity.

本文主要研究?jī)?nèi)容如下:第2節(jié)簡(jiǎn)單回顧了單模微腔系統(tǒng)與一系列隨機(jī)穿過(guò)腔場(chǎng)的二能級(jí)原子相互作用的動(dòng)力學(xué)模型;第3節(jié)首先介紹了QCC的特性,然后構(gòu)造了一類(lèi)擁有QCC的庫(kù)態(tài)—類(lèi)GHZ態(tài)及其相應(yīng)的參考態(tài);第4節(jié)給出了非平衡庫(kù)下腔場(chǎng)演化的動(dòng)力學(xué)方程;基于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，我們對(duì)類(lèi)GHZ態(tài)中QCC的能量效應(yīng)進(jìn)行了研究,并分析了庫(kù)的有效溫度以及系統(tǒng)與庫(kù)間的耦合參數(shù)對(duì)QCC的能量效應(yīng)的影響;第5節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié).

2 腔量子電動(dòng)力學(xué) (QED)模型

這里,我們考慮由大量完全相同的二能級(jí)原子構(gòu)成的非平衡庫(kù)與一單模腔場(chǎng)相互作用QED模型[64?68](如圖1所示).假設(shè)庫(kù)中原子間無(wú)任何相互作用,并讓原子一個(gè)接一個(gè)隨機(jī)地注入腔場(chǎng).當(dāng)考慮任意時(shí)刻腔內(nèi)至多保留一個(gè)原子,且原子與腔場(chǎng)發(fā)生共振耦合即Jaynes-Cummings(JC)耦合時(shí),系統(tǒng)哈密頓可表示為

3 非平衡 QCC 庫(kù)

3.1 量子局域相干與QCC

對(duì)于一個(gè)多粒子系統(tǒng)而言,根據(jù)量子相干在其中存儲(chǔ)形式的不同,系統(tǒng)的態(tài)可劃分為兩種:局域相干的態(tài)和QCC態(tài).這里,局域相干指的是體系中各個(gè)子系統(tǒng)之間相互獨(dú)立即彼此間無(wú)任何的關(guān)聯(lián)存在,且相干僅僅出現(xiàn)于各個(gè)子系統(tǒng)之內(nèi);而QCC則是指出現(xiàn)在各個(gè)子系統(tǒng)之間的量子關(guān)聯(lián)或相干[16].為了清晰地對(duì)比兩類(lèi)態(tài)的特征,下面給出任意體量子系統(tǒng)的局域相干的態(tài)和QCC態(tài),分別記為和,的一般表達(dá)形式.根據(jù)局域相干的態(tài)的特征,可形式地表示為

3.2 類(lèi)GHZ態(tài)和參考態(tài)

為了便于分析QCC的熱力學(xué)效應(yīng),我們構(gòu)造一類(lèi)非平衡QCC庫(kù)態(tài)—類(lèi)GHZ態(tài)及其對(duì)應(yīng)的參考態(tài)進(jìn)行研究.在二能級(jí)原子本征基矢構(gòu)造的非正交基下,類(lèi)GHZ庫(kù)態(tài)表示為

根據(jù)Wootter關(guān)于兩體糾纏的定義[70],原子A和B間的糾纏度可以表示為

從方程(13）可以看出:對(duì)于一個(gè)確定大小的類(lèi)GHZ庫(kù)或參考庫(kù)(庫(kù)尺寸固定),其有效溫度僅與參數(shù)有關(guān).因此,我們將稱(chēng)之為溫度參數(shù).當(dāng)庫(kù)尺寸非常大即時(shí),方程(13）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

4 非平衡庫(kù)下的腔場(chǎng)動(dòng)力學(xué)

4.1 局域相干庫(kù)下腔場(chǎng)演化

這里,我們將考慮腔場(chǎng)處于N個(gè)獨(dú)立的二能級(jí)原子構(gòu)成的局域相干庫(kù)下的腔場(chǎng)演化.記為庫(kù)的密度矩陣并表示為:

上式給出了腔場(chǎng)演化的遞歸形式.根據(jù)方程(17）,只要給出腔場(chǎng)的初始態(tài),便可求得任意第個(gè)原子穿過(guò)腔后腔場(chǎng)的密度矩陣.這里,假設(shè)原子隨機(jī)穿過(guò)腔場(chǎng),且每次最多只有一個(gè)粒子以概率進(jìn)入腔場(chǎng)(原子未進(jìn)入腔的概率為).當(dāng)考慮原子每次穿過(guò)腔的時(shí)間極短即時(shí),腔場(chǎng)的主方程可表示為

4.2 QCC庫(kù)下腔場(chǎng)演化

4.3 類(lèi)GHZ庫(kù)態(tài)下QCC的能量效應(yīng)

這里,我們將基于類(lèi)GHZ庫(kù)態(tài)來(lái)展示QCC的能量效應(yīng),并討論耦合參數(shù)以及庫(kù)的有效溫度參數(shù)對(duì)腔場(chǎng)從QCC中提取能量的影響.為簡(jiǎn)便起 見(jiàn) ,記和為 庫(kù) 中個(gè) 二 能 級(jí) 原子(,為庫(kù)尺寸即庫(kù)中的總的原子數(shù))穿過(guò)腔后腔場(chǎng)的能量以及腔場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的能量.假設(shè)腔場(chǎng)的初始態(tài)為真空態(tài).在弱耦合極限下,根據(jù)腔場(chǎng)演化主方程(18）和(23）可以分別求得參考庫(kù)態(tài)和類(lèi)GHZ庫(kù)態(tài)下腔場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的能量:

圖2 腔場(chǎng)在不同耦合參數(shù) (藍(lán)色點(diǎn)線(xiàn)),(紅色點(diǎn)線(xiàn))和 (黑色點(diǎn)線(xiàn))下,從不同庫(kù)態(tài)中提取的能量隨穿腔原子數(shù)( )的變化(a)腔場(chǎng)從類(lèi)GHZ態(tài)下QCC中提取能量 隨 的變化;(b)腔場(chǎng)從參考態(tài)(熱態(tài))下原子布局中提取的能量 的變化;其他參數(shù)取為 ,103;內(nèi)插圖為 在區(qū)間 的圖形Fig.2.The variations of cavity's energy, and,respectively captured from the QCC of GHZ-like state in (a)and the thermal distribution of reference state (thermal state) in (b) with the number of TLAs crossing the cavity ( ),withand for (blue dots), (red dots)and (black dots).In the inset .

圖3 腔場(chǎng)在不同有效溫度參數(shù) (藍(lán)色點(diǎn)線(xiàn)),(紅色點(diǎn)線(xiàn))和 (黑色點(diǎn)線(xiàn))下,從不同庫(kù)態(tài)中提取的能量隨穿腔原子數(shù) ( )的變化(a)腔場(chǎng)從類(lèi)GHZ態(tài)下QCC中提取能量 隨的變化;(b)腔場(chǎng)從參考態(tài)(熱態(tài))下原子布局中提取的能量 隨 的變化;其他參數(shù)取為 ξ =0.3, =200 Fig.3.The variations of cavity's energy, and , respectively captured from the QCC of -like state in (a) and the thermal distribution of reference state (thermal state)in (b)with the number of TLAs crossing the cavity ( )and ξ = 0.3 and for (blue dots), (red dots)and (black dots).

5 結(jié) 論

本文基于原子穿腔模型研究了非平衡庫(kù)中QCC的熱力學(xué)特性,給出了一般量子關(guān)聯(lián)相干庫(kù)下系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程.借助于類(lèi)GHZ態(tài)及其相應(yīng)的參考態(tài)清晰地展示了非平衡庫(kù)中QCC的能量效應(yīng),即庫(kù)中QCC能夠有效地輔助微腔系統(tǒng)獲取更多的能量.我們所揭示的QCC的這一熱力學(xué)特征與近期Francica等[46]的研究結(jié)果是一致的(文獻(xiàn)[46]展示了兩體間糾纏能夠輔助系統(tǒng)從中提取更多的功,而我們則展示了多體中的QCC可輔助系統(tǒng)獲取更多的能量).多體系統(tǒng)QCC所展現(xiàn)的這一熱力學(xué)特性具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.如將傳統(tǒng)的熱庫(kù)替換為相應(yīng)的非平衡QCC庫(kù),來(lái)設(shè)計(jì)高輸出功率或高效率的光量子熱機(jī)[22,26,59,61].這可以看作是QCC作為熱力學(xué)資源的一個(gè)直接應(yīng)用.再如,隨著激光技術(shù)以及微納加工工藝的不斷提高,近年來(lái)量子電池[71?74](quantum battery)的設(shè)計(jì)和制造引起了科學(xué)家們極大興趣.最近的研究表明:量子關(guān)聯(lián)在提高電池充電速度以及電池能量存儲(chǔ)方面扮演了重要的角色[75?76].因此,多體系統(tǒng)中QCC也可視為提高量子電池性能特性的重要資源.此外,本文也討論了庫(kù)的有效溫度和耦合參數(shù)對(duì)QCC能量效應(yīng)以及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響.揭示了一些有趣的現(xiàn)象:1）庫(kù)的有效溫度越高QCC對(duì)腔場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)越大,這與傳統(tǒng)熱庫(kù)下的情況(腔場(chǎng)從熱庫(kù)中可提取的能量與熱庫(kù)溫度成正比)一致;2）QCC對(duì)腔場(chǎng)的能量貢獻(xiàn)與耦合參數(shù)有關(guān),且耦合參數(shù)越小腔場(chǎng)從QCC中可提取的能量(腔場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的能量)越大,這一特征完全不同于傳統(tǒng)熱庫(kù)下的情況—腔場(chǎng)從傳統(tǒng)熱庫(kù)中可提取的能量獨(dú)立于耦合參數(shù),且僅與庫(kù)的溫度有關(guān);3）腔場(chǎng)能量的高低與其提取能量的能力存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系—隨著腔場(chǎng)能量的增加,其從相同原子中可提取的能量逐漸減少;4）非平衡原子庫(kù)中QCC對(duì)系統(tǒng)能量的貢獻(xiàn)優(yōu)于原子熱布局的貢獻(xiàn),特別是在較小的耦合參數(shù)下QCC的優(yōu)勢(shì)更加明顯.這展示了QCC可視作一類(lèi)優(yōu)質(zhì)熱力學(xué)資源的特性.本研究工作進(jìn)一步促進(jìn)了我們對(duì)量子相干熱力學(xué)特性的理解與認(rèn)識(shí).未來(lái)如何結(jié)合信息幾何[77]理論來(lái)挖掘多體量子關(guān)聯(lián)和相干中更加豐富、深刻的熱力學(xué)特性是非常有趣并值得研究的課題.

感謝北京理工大學(xué)物理學(xué)院魏永波博士以及郭麗莎博士的討論.