郝連明

一、問題提出

中學階段是從形象思維過渡到抽象思維的關(guān)鍵時期，所以要尤為重視對學生推理能力，特別是演繹推理能力的培養(yǎng)。數(shù)學推理是數(shù)學教育中的重要內(nèi)容，剛剛公布的高中數(shù)學課程標準的六個數(shù)學核心素養(yǎng)就包括邏輯推理，其中邏輯推理分為演繹推理和歸納推理。[1]這也表明數(shù)學是培養(yǎng)學生推理能力的重要載體。有關(guān)數(shù)學推理的研究有很多，早在20世紀我國學者在探討數(shù)學三大能力時就開始了相關(guān)研究。根據(jù)他們對國內(nèi)文獻的梳理，邏輯推理的研究主要集中在內(nèi)涵結(jié)構(gòu)、教學、現(xiàn)狀、教材、課程等幾個主要方面。[2]在現(xiàn)狀調(diào)查中，學者們普遍從小學、初中、高中三個階段開展研究，了解學生在數(shù)學推理上的表現(xiàn)情況。一些研究表明，初中階段的八年級是培養(yǎng)推理能力的重要時期，高二年級是高中階段的重要時期。[3][4]有學者在具體結(jié)論分析中發(fā)現(xiàn)男生表現(xiàn)比女生更優(yōu)異，[5]也有學者不支持這種觀點，認為不存在明顯的性別差異。[6]在學校類型的對比中，一些研究表明存在明顯的地域差異，城市學校的學生表現(xiàn)明顯好于農(nóng)村學校的學生，但也有學者不支持這一結(jié)論。[7]在對主要結(jié)論的簡要梳理中發(fā)現(xiàn)，學者們對數(shù)學推理開展了很多研究，但是沒有形成統(tǒng)一的結(jié)論。究其原因，主要是實證研究中受多種因素的影響，而諸多變量中任何一個都可能導致結(jié)果的不一致。研究中學者們往往使用不同的測試工具，構(gòu)建了不同的測試框架，采用了不同的統(tǒng)計技術(shù)和分析軟件。另外，參與測試的學生群體也可能不同，優(yōu)質(zhì)學校學生會好于普通學校學生，樣本的選擇沒有代表性也會影響測試的結(jié)果。同時，學者自身對推理的認識也會產(chǎn)生差異。數(shù)學推理素養(yǎng)、數(shù)學推理能力、演繹推理、數(shù)學證明等核心概念的不同認知，也會造成測試內(nèi)容的不同。如果不控制更多的變量因素，一定會造成結(jié)果不一致。因此，在研究中需要更進一步地設(shè)計研究框架，盡可能地控制其他變量的干擾。基于現(xiàn)有的研究發(fā)現(xiàn)，僅關(guān)注學生在數(shù)學演繹推理上的校際差異表現(xiàn)較少，一些現(xiàn)狀調(diào)查研究并沒有報告不同水平學校之間的差異，而且較少有單獨報告學生在數(shù)學演繹推理形式上的表現(xiàn)情況。因此，基于對數(shù)學演繹推理形式的認識，本研究將開展針對不同學校的測試研究。

二、構(gòu)建測評框架

本研究主要是調(diào)查不同學校學生在數(shù)學演繹推理形式上的表現(xiàn)情況。因此，構(gòu)建測評框架成為首要任務(wù)，只有構(gòu)建了測評框架，才能進行工具開發(fā)、測試、數(shù)據(jù)分析等工作，進而根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果得出結(jié)論。

很多關(guān)于數(shù)學演繹推理的測試和研究都基于形式邏輯學的分類進行，數(shù)學有自身獨特的學科特點和發(fā)展路徑。因此，數(shù)學演繹推理的研究要基于數(shù)學學科本身的角度進行分析。一些學者雖然從數(shù)學本身關(guān)注了推理的研究，但容易將數(shù)學證明等同于數(shù)學演繹推理，雖然二者表現(xiàn)形式一致，但卻有差別，不能等同視之。例如，在英國一項有關(guān)數(shù)學證明的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，很多學生在構(gòu)建證明時很少使用演繹推理。[8]因此，本研究將構(gòu)建新的測試框架來考察演繹推理的形式表現(xiàn)。史寧中教授指出，論證依靠的是公理，推理依靠的是形式，[9]即推理過程實質(zhì)是一個對形式規(guī)則應(yīng)用的過程。

通過對文獻的梳理發(fā)現(xiàn)，史寧中教授從數(shù)學學科本身角度詳細說明了數(shù)學推理的幾種不同類型。他認為數(shù)學推理是有邏輯的推理，其中的邏輯性是指推理過程滿足傳遞性。通過基于數(shù)學知識的發(fā)展過程，認為數(shù)學推理存在兩種類型，一是性質(zhì)傳遞推理，二是關(guān)系傳遞推理。

基于這樣的認識，在本研究中將數(shù)學推理形式分為三個類型：三段論、關(guān)系、運算。其中每一個維度又劃分了多個子維度。具體測評框架如下：

三、研究設(shè)計

（一）研究對象

通過對已有研究的梳理發(fā)現(xiàn)，很多學者都指出初中階段的八年級是最關(guān)鍵的時期。例如，德國在一項的測試研究中，發(fā)現(xiàn)八年級學生的推理能力提升最明顯。[11]我國的初中階段，八年級剛開始講授證明，學生的初中學習也進入一個相對穩(wěn)定的時期。因此，本研究選擇了八年級學生進行測評，具體測試學生為剛剛升入九年級的學生，確保學習了完整的八年級知識。學生用的人教版教材，學生來自吉林省某地級市3所學校。根據(jù)整體抽樣方法，3所學校代表不同層級教學水平，其中學校1最好，學校2居中，學校3較弱。

（二）研究工具

在測試工具開發(fā)中研究者與多位數(shù)學教育工作者進行了商討，經(jīng)過幾輪修訂最終形成了數(shù)學演繹推理形式測試問卷。由于本研究的目的是測試學生在演繹推理形式方面的表現(xiàn)情況，因此，在測試工具的開發(fā)中盡可能地控制了數(shù)學知識對測試結(jié)果的影響，工具中盡可能通過簡單符號、語言來表述，規(guī)避數(shù)學知識帶來的認識負荷。最后經(jīng)過可靠性檢測，問卷系數(shù)為0.727。雖然從信度的數(shù)值來看不高，但是在測試內(nèi)容上已經(jīng)能夠達到測試的要求，具有較好的專家效度。測量學的數(shù)值指標只是更好地實現(xiàn)測試目的，但是測試的目的并不是為了構(gòu)建好的測量學指標。經(jīng)過最后的修訂形成了數(shù)學演繹推理形式測試量表。實際測試中共發(fā)放問卷230份，回收230份。經(jīng)過有效性篩選，剔除部分無效問卷后獲得224份有效問卷，問卷結(jié)果采用SPSS20.0軟件進行分析。

四、結(jié)果及分析

（一）關(guān)系推理結(jié)果表現(xiàn)分析

關(guān)系推理總體學校1學校2學校3 min 1 1.2 1 1.2 max 2 2 2 2 std 0.24 0.15 0.2 0.26 mean 1.82 1.92 1.9 1.72 p（男，女）0.98 0.43 0.23 0.62

從上表中可以看出，學生在關(guān)系推理上表現(xiàn)較好。總計5道測試題，滿分為2分，學生的平均分達到1.82。其中有119名學生滿分，占比53.1%。不同學校學生之間存在一定差異，其中學校1和學校2表現(xiàn)較好，學校3表現(xiàn)較弱。通過單因素方差分析發(fā)現(xiàn)，這種差異達到了統(tǒng)計學上的顯著性，其中P（校1，校2）=0.50>0.01，而P（校1，校3）=0.00<0.01，P（校2，校3）=0.00<0.01。這表明在關(guān)系推理方面學校之間存在差異，低水平學校學生表現(xiàn)明顯弱于高水平和中等水平學校學生，而高水平和中等水平學校學生之間不存在差異。從性別角度看，整體上男生和女生之間不存在顯著性差異。進一步從學校層面看，不同學校都不存在性別差異，P值都大于0.05，從一個側(cè)面得出男女生在關(guān)系推理方面掌握較好。

（二）三段論推理結(jié)果表現(xiàn)分析

三段論推理總體學校1學校2學校3 min 1.2 1.35 1.4 1.2 max 1.95 1.9 1.95 1.95 std 0.16 0.13 0.14 0.16 mean 1.63 1.69 1.7 1.57 P（男，女）0.36 0.76 0.31 0.6

從上表看到，學生在滿分為2分的三段論推理形式測試中平均分為1.63，最高分為1.95，全部參測的學生中沒有能夠得到滿分。不同水平的學校表現(xiàn)與關(guān)系推理結(jié)果略有不同，中等水平的學校2表現(xiàn)最高，平均分達到1.70，學校3最弱，為1.57。通過方差分析發(fā)現(xiàn)，學校1和學校2之間的差異不具有顯著性，P（校1，校2）>0.01，但是P（校1，校3）<0.01，P（校2，校3）<0.01，表明學校1和學校2的表現(xiàn)明顯好于學校3，達到了顯著性差異。從性別角度分析，三所不同學校中，男女生的表現(xiàn)不具有顯著性差異，p值都大于0.05。在三段論推理的子維度中，不同性別學生在假言三段論、直言三段論、選言三段論上也不具有差異性。子維度表現(xiàn)上，學生在直言三段論和選言三段論表現(xiàn)較好，假言三段論表現(xiàn)一般，事實上幾乎所有的數(shù)學定理都可以寫成假言三段論的形式。例如，三角形內(nèi)角和等于180°，可改寫為“如果一個圖形是三角形，那么這個三角形內(nèi)角和等于180°。”可見，假言三段論對學生掌握數(shù)學知識，應(yīng)用知識進行問題解決是至關(guān)重要的。在三段論題中，學生假言三段論題的平均分僅為1.61，試題為“如果成立，則成立。若成立，則一定成立?！睂τ谶@個命題進行判斷。很多學生在該題做出了錯誤判斷，認為一定成立。事實上根據(jù)這個前提只能嚴謹?shù)恼f成立時，成立，而成立時是無法得出是否一定成立。如果加入數(shù)學知識進行思考，可以轉(zhuǎn)化為“前提：平行四邊形一組對邊平行，結(jié)論：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形”。顯然這個結(jié)論是錯誤的，該圖形可能是梯形。由此可見，推理的規(guī)則隱藏在數(shù)學知識的推導中，教學中對各種知識的證明和推導可以有意識地滲透推理形式。

（三）數(shù)學運算結(jié)果表現(xiàn)分析

數(shù)學運算總體學校1學校2學校3 min 1.2 1.3 1.2 1.2 max 2 2 2 2 std 0.21 0.15 0.19 0.2 mean 1.71 1.82 1.8 1.61 P（男，女）0.52 0.54 0.6 0.16

從上表看出，學生在滿分為2分的數(shù)學運算上平均分為1.71，學校之間的差異明顯。學校1和學校2表現(xiàn)明顯好于學校3。通過方差分析發(fā)現(xiàn)，P（校1，校2）>0.01，但是P（校1，校3）<0.01，P（校2，校3）<0.01，表明學校1和學校2之間不具有顯著性差異，學校3與學校1和學校2之間都具有顯著性差異。從性別角度看，男女生在數(shù)學運算上都不具有顯著性差異，p值都大于0.05。數(shù)學運算推理不同于關(guān)系推理和三段論，以往的很多數(shù)學演繹推理研究中并沒有加入數(shù)學運算。本研究基于數(shù)學推理角度出發(fā)，將數(shù)學運算納入測試框架中。從結(jié)果看出學生在數(shù)學運算表現(xiàn)較好，其中四個子維度差異不大，運算公式上表現(xiàn)略好。

五、研究啟示與不足

（一）關(guān)注不同學校之間的差異

通過對演繹推理形式不同維度測試結(jié)果的分析，3所不同學校學生之間的差異較為明顯。其中高水平學校和中等學校學生沒有表現(xiàn)出明顯差異，但二者與低水平學校之間有明顯差異，低水平學校學生的表現(xiàn)明顯低于前者。雖然在很多學業(yè)成績的測試，以及數(shù)學能力的測試中都反映出學校之間的差異，城市學校和優(yōu)質(zhì)學校的學生表現(xiàn)要好于其他學校，但并沒有研究表明這種差異在演繹推理形式上也存在。本研究結(jié)果表明這種校際之間的差異在數(shù)學演繹推理形式層面也同樣存在。因此，要關(guān)注不同學校層面學生數(shù)學演繹推理形式的差異情況，并針對這種情況開展更為深入的研究工作。

（二）關(guān)注不同形式推理的教學情況

通過本研究的測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學生在關(guān)系推理上表現(xiàn)相對較好，但三段論和數(shù)學運算方面表現(xiàn)一般。三段論推理包含多個類型，其中假言三段論的形式較多，也不容易理解。前提和結(jié)論的肯定和否定容易使學生做出錯誤判斷。由于幾乎所有的數(shù)學定理都可以通過假言三段論的形式表現(xiàn)出來，所以三段論推理形式的學習顯得尤為重要。因此，從推理的教學角度看，在課堂教學中對于不同推理形式要有一定的側(cè)重，特別是三段論推理要重點強調(diào)，通過多種方式提高學生的應(yīng)用能力。

（三）拓展性別差異的原因

本研究發(fā)現(xiàn)男生和女生并沒有出現(xiàn)預期的差異，在所有測試中，一級維度和二級維度都沒有呈現(xiàn)出顯著性的性別差異。這種情況可能是由于測試樣本量較小所導致，但是排除此種因素，推測出八年級學生的推理差異并不是由推理形式上的差異所導致，應(yīng)該有更復雜的原因，如知識的掌握程度、家庭環(huán)境、個人興趣等因素。因此，對性別差異的研究要更大范圍的去討論，不能僅僅停留在所研究的變量本身。

數(shù)學演繹推理是數(shù)學教育的重要研究領(lǐng)域，也是一種非常重要的數(shù)學能力，關(guān)注數(shù)學演繹推理的表現(xiàn)對開展教學研究具有重要的參考價值。雖然本研究存在一些不足，如測試樣本數(shù)量較小，測試工具的信效度還有待進一步檢驗，但是一些測試結(jié)果有助于我們開展有關(guān)數(shù)學演繹推理形式的深入研究。