于曉敏

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

0 引言

隨著數(shù)碼科技的發(fā)展和相關(guān)產(chǎn)品在生活中的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，相機(jī)標(biāo)定技術(shù)的重要性日益增加，并且在機(jī)器人視覺(jué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域相機(jī)標(biāo)定有著廣泛的應(yīng)用，特別是對(duì)于在特征點(diǎn)稀疏的簡(jiǎn)單場(chǎng)景下的相機(jī)標(biāo)定有著越來(lái)越大的需求。要解決相機(jī)標(biāo)定問(wèn)題，必須通過(guò)一些途徑來(lái)獲取空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是由空間中相機(jī)的位置及其成像的幾何模型所決定，即由相機(jī)的外部參數(shù)和內(nèi)部參數(shù)所決定，這些參數(shù)必須由試驗(yàn)與設(shè)計(jì)來(lái)確定。

本文針對(duì)上述應(yīng)用本文提出一種只需根據(jù)少量信息就能確定相機(jī)外部參數(shù)的方法。因?yàn)楸疚牡闹攸c(diǎn)是給出一種優(yōu)化策略，所以假設(shè)已經(jīng)通過(guò)某些途徑獲取到了相機(jī)外參和特征點(diǎn)深度的初值粗略值。常見(jiàn)的相機(jī)外參初值獲取方法是5對(duì)點(diǎn)法[1]和8對(duì)點(diǎn)法[2]。在此初始化的基礎(chǔ)之上利用三角測(cè)量[3]來(lái)獲得特征點(diǎn)的初始深度。在獲得相機(jī)參數(shù)和特征點(diǎn)深度的初始值之后本文根據(jù)相機(jī)與點(diǎn)對(duì)的幾何關(guān)系來(lái)構(gòu)建最小二乘問(wèn)題對(duì)相機(jī)外參和特征點(diǎn)深度做第一步優(yōu)化。與其他方法不同的是本文的第二步優(yōu)化不是利用重投影誤差信息，而是利用光度誤差信息。

1 非線性最小二乘

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的最小二乘問(wèn)題：

這里 x∈Rn，f是任意非線性函數(shù)，設(shè)它有m維：f(x)∈Rm。如果 f是個(gè)數(shù)學(xué)形式上很簡(jiǎn)單的函數(shù)，則可以令目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，然后求解x的最優(yōu)值，但是在本文中使用李代數(shù)來(lái)表示相機(jī)的旋轉(zhuǎn)與平移，這將使得不能順利的求解這樣一個(gè)復(fù)雜的方程。所以本文利用迭代的方法，從一個(gè)初始值出發(fā)，不斷的更新當(dāng)前的優(yōu)化變量，使目標(biāo)函數(shù)下降。即對(duì)于第k次迭代，尋找一個(gè)增量Δxk，使得 f(x+Δxk)達(dá)到極小值，若Δxk足夠小，則停止，否則，繼續(xù)迭代。

這讓求解導(dǎo)函數(shù)為零的問(wèn)題變成了一個(gè)不斷尋找梯度并下降的過(guò)程，直到某個(gè)時(shí)刻增量非常小，無(wú)法再使函數(shù)繼續(xù)下降，目標(biāo)達(dá)到了一個(gè)極小，整個(gè)過(guò)程完成。所以整個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵之處就是Δxk如何確定。

本文使用高斯牛頓法來(lái)求解增量。它的思想是將f(x)進(jìn)行一階的泰勒展開(kāi)，即：

這里J(x)為 f(x)關(guān)于 x的一階導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上是一個(gè)的矩陣，也是一個(gè)m×n的雅克比矩陣。要求解的變量Δxk由高斯牛頓方程直接給出：J(x)TJ(x) Δxk=-J(x)Tf(x)，至此，對(duì)于J(x)的求解已經(jīng)成了本文的關(guān)鍵所在。

2 基于任意點(diǎn)對(duì)之間的幾何關(guān)系進(jìn)行優(yōu)化

本文根據(jù)相機(jī)外部參數(shù)與標(biāo)定點(diǎn)對(duì)之間的幾何關(guān)系[4]提出一種優(yōu)化策略，以此來(lái)做第一步優(yōu)化。此次優(yōu)化只針對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣R進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 相機(jī)外部參數(shù)與標(biāo)定點(diǎn)對(duì)之間的幾何關(guān)系

如圖1所示，假定某個(gè)標(biāo)定參照物上有n個(gè)標(biāo)定點(diǎn)G0,G1,…Gn，它們之間的位置關(guān)系是任意的，且是已知的，在本文中它們的初始位置關(guān)系由特征點(diǎn)深度信息的初始值給出。

圖1 相機(jī)與點(diǎn)對(duì)的幾何關(guān)系

在圖1中C點(diǎn)表示當(dāng)前幀的相機(jī)中心，標(biāo)定點(diǎn)Gi,Gj,Gk的初始位置關(guān)系在參考幀中已知。Gq(q =1,2…n)在當(dāng)前幀相機(jī)坐標(biāo)系下的正規(guī)化圖像坐標(biāo)[gqx,gqy,1]T是已知的。假設(shè)選取Gi,Gj為待處理點(diǎn)對(duì)，則可以得到：

其中表達(dá)式R?GiGj表示將向量GiGj由參考幀坐標(biāo)系變換到當(dāng)前幀坐標(biāo)系，R是待優(yōu)化的旋轉(zhuǎn)矩陣。

記：

由式（1）可得：v(x)=0，這里x表示由旋轉(zhuǎn)矩陣組成的向量。當(dāng)然，由于噪音的存在，我們估得的R不一定精確的使式（2）為零，所以更常見(jiàn)的做法是求一個(gè)最小二乘問(wèn)題。按照之前的分析，接下來(lái)的需要求出v(x)相對(duì)R的雅克比矩陣J(x)用以指導(dǎo)優(yōu)化方向。

2.2 雅克比矩陣的求解

由于旋轉(zhuǎn)矩陣R的自身約束，即R∈R3×3且RRT=I,det(R)=1，導(dǎo)致求解上的一些限制，所以本文中將以無(wú)約束的李代數(shù)形式來(lái)表示旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)矩陣R對(duì)應(yīng)的李代數(shù)是定義在R3上的向量，記作φ。對(duì)于每一個(gè)φ，都存在一個(gè)反對(duì)稱矩陣Φ，使得下屬等式成立：φ1,φ1,φ1∈R3。

根據(jù)李代數(shù)φ與旋轉(zhuǎn)矩陣R之間的映射關(guān)系：R=exp(φ∧)，則式（2）可寫(xiě)為：

其中向量φ為φ=[ ]

對(duì)于三維向量φ，記它的模長(zhǎng)和方向分別為θ和a，于是有 φ=θa，a=[a1,a2,a3]∈R3這里a是一個(gè)長(zhǎng)度為1的方向向量。

將李代數(shù)φ與旋轉(zhuǎn)矩陣R之間的映射關(guān)系按照泰勒展開(kāi)可寫(xiě)為：

經(jīng)計(jì)算可得：

為了方便，記：

那么由式（4）（5）（6）可得到：

其中Ai,Bi(i=1,2,3)表示向量A,B的第i個(gè)元素。

3 基于光度誤差信息的優(yōu)化

圖2 投影示意圖

如圖2所示，p1,p2為同一空間點(diǎn)在不同圖像上的投影點(diǎn)，由于誤差的存在，p2的外觀和 p1會(huì)有明顯的差別。為了減小這個(gè)差別，我們來(lái)優(yōu)化相機(jī)位姿和空間點(diǎn)的位置，來(lái)尋找與 p1更相似的 p2。記e=I1(p1)-I1(p1)為兩個(gè)像素的光度誤差，所以優(yōu)化目標(biāo)為：

其中ξ∈R6表示的是變換矩陣T∈R4×4的李代數(shù)形式。能夠做這種優(yōu)化的理由是灰度不變假設(shè)，即假設(shè)一個(gè)空間點(diǎn)在各個(gè)視角下成像的灰度是不變的。為了求解這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，本文關(guān)心的是誤差e關(guān)于相機(jī)位姿ξ和空間點(diǎn)P的導(dǎo)數(shù)，即相應(yīng)的雅克比矩陣。

3.1 關(guān)于相機(jī)位姿ξ的雅克比矩陣

為了求解誤差e關(guān)于相機(jī)位姿ξ的雅克比矩陣，需要分析它們的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，因此使用李代數(shù)上的擾動(dòng)模型，給 exp(ξ)左乘一個(gè)小擾動(dòng) exp(δξ)，并使用定義在李代數(shù)上的加法，得：

記：

這里q為擾動(dòng)分量在第二個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，而u為它的像素坐標(biāo)，利用一階泰勒展開(kāi)，有：

可以看到，一階導(dǎo)數(shù)由于鏈?zhǔn)椒▌t分成3項(xiàng)，而前兩項(xiàng)都是容易計(jì)算的，記q=[X ,Y,Z]T，那么有：

3.2 關(guān)于空間點(diǎn)位置 PP的雅克比矩陣

假設(shè)空間點(diǎn)P=[X ,Y,Z]T在不同圖像上的投影點(diǎn)為U1和U2，且經(jīng)過(guò)歐氏變換之后它的空間坐標(biāo)為P'=[X',Y',Z']T，則光度誤差可表示為：

第二項(xiàng)可表示為：

4 試驗(yàn)與分析

試驗(yàn)使用的優(yōu)化庫(kù)是g2o，相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)為：fx=929.992,fy=927.169,cx=671.617,cy=384.836。試驗(yàn)選取一個(gè)特征點(diǎn)較少的場(chǎng)景，如圖3所示。

圖3 試驗(yàn)場(chǎng)景圖

相機(jī)外參的估計(jì)及優(yōu)化結(jié)果由表1給出，使用重投影誤差來(lái)衡量?jī)?yōu)化精度。

對(duì)于空間點(diǎn)的估計(jì)及優(yōu)化結(jié)果由圖3給出，試驗(yàn)中將從深度相機(jī)采集的特征點(diǎn)深度與從本文得到的特征點(diǎn)深度進(jìn)行對(duì)比。由于這里的深度值丟失了尺度信息，所以本文比較的是深度信息兩兩之間的比值。任取若干個(gè)特征點(diǎn)，記從深度相機(jī)采集的特征點(diǎn)深度為di(i=1,2,3…)，從本文得到的特征點(diǎn)深度為di'(i=1,2,3…)，假設(shè)，，結(jié)果如圖4所示。

表1 試驗(yàn)結(jié)果

圖4 深度估計(jì)結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文首先通過(guò)其他途徑求出相機(jī)位姿及特征點(diǎn)深度的初始粗略值，然后通過(guò)兩步優(yōu)化對(duì)相機(jī)外部參數(shù)和特征點(diǎn)深度進(jìn)行調(diào)整，以達(dá)到較高精度，針對(duì)這兩步優(yōu)化，本文分別給出相應(yīng)待優(yōu)化量的雅克比矩陣，用以找迭代的梯度方向，從而達(dá)到優(yōu)化效果。從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，即使是清水房這樣的特征點(diǎn)少的簡(jiǎn)單場(chǎng)景本文的方法仍能達(dá)到較好的效果，并且該方法原理簡(jiǎn)明，方便實(shí)用。