潘美秀

[摘 要]數(shù)學(xué)中的計(jì)算都是十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，向?lái)“說(shuō)一不二”，但是應(yīng)用到生活實(shí)際時(shí)，為了方便演示、顯示公平、減少糾紛，有時(shí)不得不打破常規(guī)，引入一些虛擬數(shù)，可以大大簡(jiǎn)化思維過(guò)程，最后再將這些虛擬數(shù)以一種巧妙的方式消除掉。

[關(guān)鍵詞]獵人;倍數(shù);野兔;私分;平分

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）05-0059-02

我們以獵人分野兔為素材，由簡(jiǎn)到繁，逐步深入地研究一類難度較大的連續(xù)平分的問(wèn)題模型的建構(gòu)。

[問(wèn)題1]趙某、錢(qián)某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上點(diǎn)燃篝火露營(yíng)。午夜時(shí)分，趙某醒來(lái)，把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢(qián)某醒來(lái)，也把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份也放在一起。孫某、李某也這樣做。問(wèn)：他們至少獵捕了多少只野兔？

答：他們至少獵捕了256只野兔。

[思考]如果他們獵捕的野兔總數(shù)在1000以內(nèi)，這個(gè)數(shù)量還可能是多少？你能否找到滿足條件的數(shù)據(jù)的最大值，然后根據(jù)題意計(jì)算出四人分別私分了幾只野兔和最后剩下野兔的數(shù)量？

一、平均分后有剩余量

[問(wèn)題2]趙某、錢(qián)某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建簡(jiǎn)易帳篷宿營(yíng)。午夜，趙某醒來(lái)，把野兔平分成4份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出1只，將多出的1只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢(qián)某醒來(lái)，也把野兔平分成4份，發(fā)現(xiàn)多出1只，將多出的1只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孫某、李某也這樣做。問(wèn)：他們至少獵捕了多少只野兔？

問(wèn)題2與問(wèn)題1有所不同，每次分取野兔后都多出1只放歸山林，也就是每次都不能剛好分成整份數(shù)，我們不妨設(shè)法使趙某分野兔時(shí)能分成整份數(shù)?？梢栽O(shè)想用3個(gè)石塊代替3只野兔，混入原來(lái)的野兔中充數(shù)，這樣趙某正好將全部野兔（含石塊）平分成4份而無(wú)剩余，但一定要把3個(gè)石塊分別放在3份野兔里，趙某私自拿走不含石塊的那1份。接下來(lái)該怎么推演？顯然，趙某私自拿走的數(shù)量比題目設(shè)定的多了1只，而這只正好就是放歸山林的那1只，這樣一來(lái)，剩余的3份野兔（含3個(gè)石塊）的數(shù)量就與原題設(shè)中的數(shù)量相同。這3個(gè)石塊成了調(diào)節(jié)器，錢(qián)某也能把野兔（含石塊）恰好平分成4份，他私自拿走的是沒(méi)有石塊的那1份，也比原題設(shè)中錢(qián)某私自拿走的實(shí)際數(shù)量多了1只，這只也可以看作是他放歸山林的那1只，這樣錢(qián)某剩下的野兔（含3個(gè)石塊）也與原題設(shè)中的第二次剩余量相等。同理，孫某、李某也可以把趙某、錢(qián)某剩下的野兔（含3個(gè)石塊）平分而無(wú)剩余，只是每次剩下的野兔中都比原數(shù)量多了3個(gè)石塊。由于3個(gè)石塊的加入，問(wèn)題2就轉(zhuǎn)化成了問(wèn)題1，只是最后需要拿走魚(yú)目混珠的3個(gè)石塊。

解：44-3=253（只）。

答：他們至少獵捕了253只野兔。

[思考]如果他們獵捕的野兔總數(shù)在1000以內(nèi)，這個(gè)數(shù)量還可能是多少？你能設(shè)定一個(gè)數(shù)，然后用賦值法計(jì)算每人私拿走的野兔的數(shù)量，來(lái)檢驗(yàn)?zāi)阍O(shè)定的數(shù)據(jù)嗎？

二、剩余量由一變?yōu)槎?/p>

[問(wèn)題3]趙某、錢(qián)某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建簡(jiǎn)易帳篷宿營(yíng)。午夜，趙某醒來(lái)，把野兔平分成4份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢(qián)某醒來(lái)，也把野兔平分成4份，發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孫某、李某也這樣做。問(wèn)：他們至少獵捕了多少只野兔？

與問(wèn)題2一樣，問(wèn)題3同樣要轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1。不妨這樣假設(shè)：把趙某放歸山林的2只野兔重新捕獲后給趙某，那么，剩余3份也應(yīng)按照配比多加2只，才能使野兔的總數(shù)正好能平分成4份，因此，要用2[×3]=6（個(gè)）石塊充當(dāng)野兔。趙某在把野兔平分成4份時(shí)，其中3份每份混入2個(gè)石塊，他取走不含石塊的那1份。這樣他私自拿走的野兔數(shù)量就比原題設(shè)中他實(shí)際到手的多了2只，這2只剛好可以看作是他放歸山林的那2只。對(duì)于趙某來(lái)說(shuō)，除了平白無(wú)故多出6個(gè)石塊外，野兔數(shù)量并無(wú)變化。由于這6個(gè)石塊的混入，錢(qián)某、孫某、李某都可以把野兔（含石塊）平分成4份而無(wú)剩余。如此一來(lái)，問(wèn)題3就轉(zhuǎn)化成了問(wèn)題1，最后拿走魚(yú)目混珠的6個(gè)石塊即可。

解：44-2[×]（4-1）=250（只）。

答：他們至少獵捕了250只野兔。

[思考]假設(shè)故事的梗概不變，只是把“把野兔平分成4份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林”改為“把野兔平分成4份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出3只，將多出的3只順手放歸山林”，且他們獵捕的野兔只數(shù)在1000只左右，他們獵捕了多少只野兔？

三、份數(shù)和余數(shù)都改變

[問(wèn)題4]趙某、錢(qián)某、孫某、李某、周某五位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起。午夜，趙某醒來(lái)，把野兔平分成5份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出3只，將多出的3只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。錢(qián)某醒來(lái)，也把野兔平分成5份，發(fā)現(xiàn)多出3只，將多出的3只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。孫某、李某、周某也這樣做。問(wèn)：他們至少獵捕了多少只野兔？

結(jié)合問(wèn)題1，我們?nèi)钥梢栽O(shè)想，如果每人分野兔時(shí)都正好分完，那么這些野兔至少有55只。再結(jié)合問(wèn)題3，不妨設(shè)想用3[×]（5-1）=12（個(gè)）石塊充當(dāng)野兔，那么就可以把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成每次正好平分完的簡(jiǎn)單情景，只是最后需要拿走12個(gè)石塊。

解：55-3[×]（5-1）=3125-12=3113（只）。

答：他們至少獵捕了3113只野兔。

[思考]在類似的情境中，如果只有三位獵人，每人分走[13]的野兔后，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林，那么他們至少獵捕了多少只野兔？

由此，我們可以建立一個(gè)一般模型：有m位獵人獵捕了s只野兔，獵人A把這些野兔平分成m份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出n只，將多出的n只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的放在一起。獵人B把獵人A分剩下的野兔平分成m份，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多出n只，將多出的n只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的也放在一起。其他獵人也這樣做。那么，他們獵捕的野兔只數(shù)可用一個(gè)式子表示：[s=pmm-n（m-1）]（p、m、n都為大于0的自然數(shù)，且n小于m），s的最小值=mm-n（m-1）。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

李秀紅.尋找內(nèi)在關(guān)聯(lián) 提升認(rèn)識(shí)水平——“平均分兩種分法的比較”教學(xué)片斷與反思[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（18）.

（責(zé)編 李琪琦）