胡辰

摘? 要：模型素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，培育學(xué)生的建模思想、方法和能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)建模的過程就是一種“數(shù)學(xué)化”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師發(fā)掘教材中的模型因子，激發(fā)學(xué)生建模興趣，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)生命在數(shù)學(xué)建模歷程中成長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;建模教學(xué);建模策略

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，“學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三：抽象、推理與模型”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》也明確指出，“從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”可見，在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和概括能力也同時(shí)得到發(fā)展。

一、“數(shù)學(xué)建模”的本質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、策略，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想。所謂“數(shù)學(xué)建模”，也就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、方法等，通過抽象、概括，建立的能夠描述、分析、解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型 [1]。著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究?！?從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)建模的過程就是一種“數(shù)學(xué)化”。一般而言，數(shù)學(xué)建模有兩個(gè)重要的步驟：一是“橫向數(shù)學(xué)化”，二是“縱向數(shù)學(xué)化”。

1. 橫向數(shù)學(xué)化

生活原型是數(shù)學(xué)建模的邏輯起點(diǎn)。在數(shù)學(xué)建模過程中，教師要依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科特質(zhì)以及學(xué)生的年齡、心理特征，引領(lǐng)學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，這就是“橫向數(shù)學(xué)化”。這個(gè)過程需要學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行深入理解。

“橫向數(shù)學(xué)化”關(guān)系到整個(gè)數(shù)學(xué)建模的質(zhì)量、成效。從根本上說，數(shù)學(xué)源于生活且高于生活?！皺M向數(shù)學(xué)化”就是將學(xué)生實(shí)際生活中的素材引入課堂，讓學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)的眼光”去打量，用“數(shù)學(xué)的大腦”去考量，用“數(shù)學(xué)的語言”去描述。比如著名數(shù)學(xué)家歐拉將哥尼斯堡的“七橋問題”，提煉、抽象成“一筆畫問題”就是一種“橫向數(shù)學(xué)化”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)分析，進(jìn)而能夠?qū)⑸顔栴}抽象成數(shù)學(xué)問題。

2. 縱向數(shù)學(xué)化

所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，是指學(xué)生在“橫向數(shù)學(xué)化”基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行加工、分析、求解的過程。在“縱向數(shù)學(xué)化”中，學(xué)生對(duì)通過“橫向數(shù)學(xué)化”構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、驗(yàn)證、再分析、再改進(jìn)，從而將粗糙的數(shù)學(xué)模型逐級(jí)精致化，形成具有較強(qiáng)包攝力和解釋力的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是對(duì)問題的抽象化、簡(jiǎn)約化、本質(zhì)化的描述，是學(xué)生解決問題的重要工具。

教學(xué)《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》，當(dāng)學(xué)生通過對(duì)眾多例子進(jìn)行觀察、分析，形成“長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬”后，可以說，“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)”的雛狀模型就已初步形成。在此基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“求簡(jiǎn)”，由于長(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)相等，兩條寬相等，因此抽象概括出比原先更精致、更簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)模型——“2長(zhǎng)+2寬”。在此基礎(chǔ)上，再將2提取，學(xué)生用符號(hào)建構(gòu)出這樣的數(shù)學(xué)模型——（a+b）×2?！皵?shù)學(xué)模型”是解決問題的重要工具，可以幫助學(xué)生更精準(zhǔn)、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義。

二、“數(shù)學(xué)建?！钡慕虒W(xué)策略

數(shù)學(xué)，就其本質(zhì)而言，就是在不斷抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的 [2]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有引導(dǎo)學(xué)生深入“數(shù)學(xué)模型”的意義上，才可以說真正走進(jìn)了數(shù)學(xué)的腹地。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用“模型思想”來觀察問題，發(fā)掘問題中的模型因子。由此培育學(xué)生模型意識(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕?gòu)過程，形成建模的數(shù)學(xué)思想。

1. 發(fā)掘模型因子，豐富建模內(nèi)容

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，蘊(yùn)含著豐富的建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的素材因子。這些因子潛隱在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四大板塊內(nèi)容之中。很多教師，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中只是“就題論題”，沒有將問題上升到數(shù)學(xué)模型的高度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生發(fā)掘模型因子，豐富數(shù)學(xué)建模內(nèi)容。

比如，認(rèn)識(shí)“整數(shù)”“小數(shù)”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立“十進(jìn)制”模型;在學(xué)習(xí)“速度×?xí)r間=路程”“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“工效×工時(shí)=工總”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生建立“乘法模型”“正反比例模型”等;在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的面積”“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”“圓的面積”后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，建構(gòu)“梯形面積模型”;在解決具有相等關(guān)系的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“方程模型”等;在學(xué)生玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“統(tǒng)計(jì)與概率”模型，等等。數(shù)學(xué)模型是對(duì)問題的本質(zhì)和解決問題的策略的抽象概括，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘問題中所蘊(yùn)含的模型因子，有助于學(xué)生形成建模意識(shí)，感悟建模思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型是豐富的。它包括概念型模型、計(jì)算型模型和應(yīng)用型模型等。用模型思想研究小學(xué)數(shù)學(xué)，不僅是為了獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，而是讓學(xué)生從模型的視角去認(rèn)識(shí)、描述、把握數(shù)學(xué)問題。只有當(dāng)學(xué)生能夠運(yùn)用模型思想處理問題時(shí)，學(xué)生才能真正地感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。

2. 激發(fā)建模興趣，豐富建模方法

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過程是一個(gè)長(zhǎng)期的、不斷累積經(jīng)驗(yàn)、不斷深化發(fā)展的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生建模興趣，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用 [3]。在這個(gè)過程中，教師要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模的方法，讓學(xué)生習(xí)得建模技巧。通過數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通，進(jìn)而創(chuàng)造性地展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（1）在事理中建模

學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理、生成數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的源頭活水，能夠給學(xué)生的數(shù)學(xué)建模提供強(qiáng)勁的動(dòng)力，給學(xué)生的數(shù)學(xué)建模提供重要的啟迪。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，受生活事理的啟發(fā)，學(xué)生能夠主動(dòng)思考，形成適切的、典型的、鮮活的、有趣的數(shù)學(xué)模型。例如“減法的性質(zhì)”——“a-b-c=a-（b+c）”，教學(xué)中，教師可以啟發(fā)學(xué)生：將兩塊餅一個(gè)一個(gè)地吃，就相當(dāng)于什么？學(xué)生能夠聯(lián)想到“將兩塊餅一個(gè)一個(gè)地吃，就相當(dāng)于兩塊餅一起吃”。這種以“生活事理”詮釋“數(shù)學(xué)算理”的教學(xué)，能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型。

（2）在遷移中建模

美國(guó)著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾深刻地指出：有學(xué)習(xí)的地方就有遷移。遷移對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模發(fā)揮著重要的作用。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模的過程中，教師可以充分運(yùn)用學(xué)生的先前認(rèn)知結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在類比、遷移中進(jìn)行建模。例如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》，由于學(xué)生知曉了“商不變的規(guī)律”以及“分?jǐn)?shù)、除法”之間的關(guān)系，因此學(xué)生容易類比遷移概括出“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的數(shù)學(xué)模型——“=（c≠0）”。遷移型的數(shù)學(xué)建模，有助于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激活學(xué)生相關(guān)的知識(shí)、方法、過程、經(jīng)驗(yàn)等，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模提供充分的準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)建模的方法很多，除了上述的建模法外，還有圖像法、邏輯推理法、比較法，等等。為了順利地幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模，教師應(yīng)當(dāng)好向?qū)Ш蛥⒅\，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模支著，給學(xué)生提供數(shù)學(xué)建模的腳手架，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)建模方式、方法與策略。

3. 展示建模過程，形成模型思想

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷模型的誕生過程，只有當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了模型的誕生歷程，學(xué)生才能感悟到模型思想 [4]。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不僅僅是為了獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，更為重要的是讓學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，能夠主動(dòng)地提出假設(shè)，進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證，從而建構(gòu)模型。換言之，模型思想可以概括為模型意識(shí)、模型能力、模型習(xí)慣、模型策略，等等。

例如：教學(xué)《用數(shù)對(duì)確定位置》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)），筆者首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境：如何有效地描述小明的班級(jí)座位？學(xué)生的想法各式各樣，有學(xué)生用語言描述，如第幾排第幾個(gè)？有學(xué)生從前往后描述，有學(xué)生從左往右描述，等等。為此，筆者出示了低年級(jí)的排隊(duì)的實(shí)際問題，然后給出了“橫軸”，激活學(xué)生的內(nèi)隱圖式。學(xué)生開始意識(shí)到要將原先的用文字表述簡(jiǎn)約成符號(hào)、數(shù)字表述，有學(xué)生列在前、行在后，有學(xué)生行在前、列在后，……。在此基礎(chǔ)上，教師構(gòu)建一個(gè)基于“坐標(biāo)原理”的確定位置雛形，即用“數(shù)對(duì)”表示。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的過程，形成確定位置的模型后，筆者讓學(xué)生表示空間中的物體位置，這時(shí)，有學(xué)生已經(jīng)能夠用長(zhǎng)、寬、高三個(gè)數(shù)的數(shù)對(duì)來確定位置了。他們的表達(dá)方式不僅變得有序，而且變得精準(zhǔn)了。

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要將教學(xué)的著眼點(diǎn)放置于學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的觀察、提煉、整合過程中?；趯W(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知規(guī)律，基于對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的整合抽象，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，能夠讓學(xué)生獲得對(duì)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。這種觀察、提煉和整合，能夠發(fā)展學(xué)生的模型思想。

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁和紐帶。數(shù)學(xué)建模的過程本質(zhì)上就是一種“數(shù)學(xué)化”的過程。這種“數(shù)學(xué)化”不是抽象的“形而上”，也不是空洞的“形式化”，而是站在數(shù)學(xué)的視角分析、把握問題。讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，從而培育學(xué)生的模型思想和建模能力。引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，親歷數(shù)學(xué)建模的過程，從而發(fā)掘?qū)W生的建模潛質(zhì)，培育學(xué)生的模型思想。

參考文獻(xiàn)：

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