王 乾，耿秀麗

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

多屬性群決策（Multiple Attribute Group Decision Making，MAGDM）是多個(gè)決策者根據(jù)自己的知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)和偏好通過(guò)一定的方式對(duì)已有決策信息進(jìn)行集結(jié)并對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。它的決策方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理[1]、軟件應(yīng)用[2]、環(huán)境保護(hù)[3]等領(lǐng)域，因此對(duì)多屬性群決策問(wèn)題的研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論價(jià)值。

由于決策者對(duì)客觀事物認(rèn)識(shí)的局限性，以及客觀事物本身的復(fù)雜性和不確定性，導(dǎo)致決策者在決策時(shí)常常不能給出精確的決策信息。針對(duì)現(xiàn)實(shí)中不確定性條件下的多屬性決策問(wèn)題，常用區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)，直覺(jué)模糊數(shù)和云模型等方法來(lái)處理評(píng)價(jià)信息。文獻(xiàn)[4]通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)偏好因子的引入,將區(qū)間數(shù)決策信息映射為實(shí)數(shù)決策信息，提出部分權(quán)重信息下考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的不確定多屬性決策方法；文獻(xiàn)[5]首先將三角模糊數(shù)決策矩陣轉(zhuǎn)化為含行為偏好的決策矩陣,通過(guò)建立線性規(guī)劃模型獲得屬性權(quán)重,從而客觀地給出了各方案的排序結(jié)果；文獻(xiàn)[6]針對(duì)屬性值為直覺(jué)模糊值的多決策者、多時(shí)間點(diǎn)、多屬性及多方案的多維度決策問(wèn)題,提出基于新的記分函數(shù)等決策方法；文獻(xiàn)[7]通過(guò)云模型、前景理論將語(yǔ)言變量評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)換成云前景決策矩陣,通過(guò)計(jì)算前景值貼近度來(lái)確定決策者權(quán)重。但在現(xiàn)有的決策問(wèn)題中，決策者往往很難用單一的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集去評(píng)價(jià)一個(gè)方案，這些方法難以解決專家在多個(gè)評(píng)價(jià)信息間猶豫不定的問(wèn)題。

多屬性群決策需要解決的另一個(gè)問(wèn)題是如何對(duì)處理的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行融合和排序處理。復(fù)雜比例評(píng)價(jià)（Complex Proportional Assessment，COPRAS）通常被應(yīng)用在具有多準(zhǔn)則并且己知它們的相對(duì)重要性的決策方案的排序與選擇上。本文將猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集與COPRAS進(jìn)行結(jié)合，提出基于猶豫模糊COPRAS的多屬性群決策評(píng)價(jià)方法。采用猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集表達(dá)專家的評(píng)價(jià)信息；利用min-upper和max-lower算子集結(jié)專家的評(píng)價(jià)信息，將多粒度的猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集轉(zhuǎn)化為語(yǔ)義區(qū)間數(shù)；采用二元語(yǔ)義詞計(jì)算方法將語(yǔ)義區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)值區(qū)間數(shù)；基于COPRAS排序方法的思想，以整體方案的滿意度最大化為目標(biāo)函數(shù)建立線性規(guī)劃模型，客觀有效的解決了屬性權(quán)重問(wèn)題；利用COPRAS的方法計(jì)算方案的效用度，為不確定性語(yǔ)言下的方案選擇提供了科學(xué)的依據(jù)。

1 基于猶豫模糊評(píng)價(jià)信息的處理

定義1：一個(gè)猶豫模糊語(yǔ)義術(shù)語(yǔ)集Hs為一個(gè)語(yǔ)義集合S的有序子集，S={si:i=0，1，2，…，g}，例如：S={s0:很差，s1:差，s2:稍差，s3:一般，s4:稍好，s5:好，s6:很好}，? 為一個(gè)語(yǔ)義變量，則為兩個(gè)不同粒度的猶豫模糊集合。

假設(shè)專家 Ek(k=1，2，…，l)對(duì)待評(píng)價(jià)項(xiàng) ?i(i=1，2，…，n)進(jìn)行評(píng)價(jià)得到的猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集為和分別表示l個(gè)專家評(píng)價(jià)得到的HFLTS的下界、上界的集合，采用min-upper和max-lower算子集結(jié)專家的評(píng)價(jià)信息的步驟如下：

（1）計(jì)算HFLTS下界集合的最優(yōu)語(yǔ)義評(píng)價(jià)和上界集合的最劣語(yǔ)義評(píng)價(jià)。

（2）確定集結(jié)結(jié)果。

二元語(yǔ)義主要采用一個(gè)二元語(yǔ)義組（si，αi）來(lái)表示決策者的語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息，其中si表示事先定義的語(yǔ)言評(píng)價(jià)集S中的一個(gè)語(yǔ)言評(píng)價(jià)等級(jí)，αi表示決策者的語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息相對(duì)于語(yǔ)言評(píng)價(jià)等級(jí)si的偏差，αi∈[-0.5，0.5）。本文采用二元語(yǔ)義詞計(jì)算方法對(duì)HFLTS進(jìn)行分析處理。

定義2[8]：設(shè)語(yǔ)言評(píng)價(jià)集S={si:i=0，1，2，…，g}，si∈S為一個(gè)語(yǔ)言短語(yǔ)，則其相應(yīng)的二元語(yǔ)義可通過(guò)下述轉(zhuǎn)換函數(shù)φ得到：

定義3[8]：β∈[0，g]為語(yǔ)義術(shù)語(yǔ)集S集結(jié)運(yùn)算的結(jié)果，令i=round(β)，i∈[0，g]。與β相應(yīng)的二元語(yǔ)義可由函數(shù)Δ得到：

式中:round為“四舍五入”的取整算子。

反之，令（si，αi）為一個(gè)二元語(yǔ)義信息，存在一個(gè)逆函數(shù)Δ-1將該信息轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)值β∈[0，g]，即：

根據(jù)定義2，采用φ函數(shù)將轉(zhuǎn)化為由二元語(yǔ)義信息表示的區(qū)間數(shù)即：

根據(jù)定義3，采用Δ-1函數(shù)將中的二元語(yǔ)義信息化為精確數(shù)值，即：

現(xiàn)假設(shè)待評(píng)價(jià)方案有m種，方案構(gòu)成的集合為A={A1，A2,…,Am}；每個(gè)方案的屬性有n個(gè)，記為C={C1，C2,…,Cn}。專家 Ek(k=1，2，…，l)根據(jù)語(yǔ)義術(shù)語(yǔ)集S={si:i=0，1，2，…，g}基于不同的屬性對(duì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果采用猶豫模糊語(yǔ)言表達(dá)。假設(shè)表示專家Ek對(duì)方案Ai基于屬性Cj的評(píng)價(jià)結(jié)果，采用式（1）至式（3）將專家的評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為語(yǔ)義區(qū)間數(shù)，然后采用二元語(yǔ)義計(jì)算方法根據(jù)式（7）和式（8）將語(yǔ)義區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)值區(qū)間數(shù)?；谵D(zhuǎn)化為數(shù)值區(qū)間數(shù)的專家評(píng)價(jià)結(jié)果=[rij，tij]建立決策矩陣:

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

2 使用COPRAS方法進(jìn)行決策

專家的評(píng)價(jià)信息用區(qū)間形式的決策矩陣表達(dá)之后，本文采用COPRAS方法計(jì)算方案的效用度，根據(jù)效用度的大小進(jìn)行決策，其具體步驟如下：

步驟1：對(duì)式（9）決策矩陣X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

得到標(biāo)準(zhǔn)化后的決策矩陣：

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

步驟2：計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化的決策矩陣：

其中ωj表示第j個(gè)屬性的權(quán)重。

得到加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化后的決策矩陣?:

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

步驟3：計(jì)算評(píng)價(jià)對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)值之和Pi：

由于評(píng)價(jià)信息是基于猶豫模糊語(yǔ)言的形式表達(dá)的，所以本文所有的屬性都被認(rèn)為是效益型。

步驟4：屬性權(quán)重的計(jì)算。

以整體方案滿意度最大化為目標(biāo)函數(shù)建立以下線性規(guī)劃模型：

其中Λ為專家集體給出的各個(gè)屬性權(quán)重的約束范圍。解線性規(guī)劃模型，得到屬性的權(quán)重ω1，ω2，...，ωn。

步驟5：基于步驟4得出屬性權(quán)重值，代入式（16）中，得到不含參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值之和P1，P2，...，Pm。

步驟6：找出標(biāo)準(zhǔn)值之和的最大值。

標(biāo)準(zhǔn)值之和越大，方案就越重要，它描繪了專家對(duì)方案的滿意程度，標(biāo)準(zhǔn)值之和越高的方案是最合適的候選方案。

步驟7：計(jì)算每種方案的效用度Ui。一種方案的效用度被定義為這種方案的標(biāo)準(zhǔn)值之和與方案最大標(biāo)準(zhǔn)值之和之間的比值。

從式（19）可以看出，每種方案的效用度的取值范圍是介于0～100之間，在進(jìn)行方案選擇的過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)每種方案的效用度大小進(jìn)行最佳方案的選擇，即對(duì)Ui從大到小進(jìn)行排序，不妨設(shè)U1≥U2≥...≥Um，該順序即為方案的優(yōu)先選擇順序。

3 案例分析

某大型國(guó)企欲選購(gòu)一批空調(diào)來(lái)提高員工的生活和工作環(huán)境，采用本文所提到的決策方法，該企業(yè)要在5種不同品牌的空調(diào)供應(yīng)商中進(jìn)行采購(gòu)。五種品牌的空調(diào)構(gòu)成的集合為A={A1,A2,A3,A4,A5}。通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研和專家討論確定了以下8種不同的考核指標(biāo)（屬性）：制冷能力強(qiáng)（C1）、制熱能力強(qiáng)（C2）、噪音小（C3）、售后服務(wù)好（C4）、安裝方便（C5）、風(fēng)力強(qiáng)勁（C6），污染?。–7）和節(jié)約能源（C8）。

3.1 專家評(píng)價(jià)信息的處理

由6位資深專家E（kk=1，2，…，6）基于不同的屬性對(duì)上述5種不同品牌的的空調(diào)進(jìn)行語(yǔ)義評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果采用猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集表達(dá)。假設(shè)語(yǔ)義集合為S={s0:很差，s1:差，s2:稍差，s3:一般，s4:稍好，s5:好，s6:很好}。專家E1給出的評(píng)價(jià)信息如表1所示。采用公式（1）至公式（3）集結(jié)專家評(píng)價(jià)信息，以第一種品牌的空調(diào)（A1）的屬性（C1）為例，給出專家評(píng)價(jià)信息的集結(jié)過(guò)程如表2所示。其中，集結(jié)后的專家語(yǔ)義評(píng)價(jià)信息如表3所示。最后采用二元語(yǔ)義計(jì)算方法根據(jù)式（7）和式（8）將語(yǔ)義區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)值區(qū)間數(shù)如表4所示。

表2 空調(diào)（A1）的屬性（C1）的專家評(píng)價(jià)信息集結(jié)過(guò)程

3.2 用COPRAS方法進(jìn)行決策

步驟1：根據(jù)公式（10）和公式（11）對(duì)表2中的決策矩

表3 專家評(píng)價(jià)信息的集結(jié)結(jié)果

表4 區(qū)間數(shù)表達(dá)的專家評(píng)價(jià)信息處理結(jié)果

陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化后的結(jié)果如表5所示。

表5 標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

步驟2：以整體方案的滿意度最大建立線性規(guī)劃模型：

屬性權(quán)重構(gòu)成的集合為ω={ω1，ω2，...，ω8}，Λ 為專家給出的屬性權(quán)重約束范圍：

Λ={0.2≤ω1≤0.4，0.3≤ω2≤0.5，0.1≤ω3≤0.2,0.05≤ω4≤0.1,ω5≤0.05,0.1≤ω6≤0.3，0.05≤ω7≤0.1,0.05≤ω8≤0.1}。

用Excel求解上述線性規(guī)劃模型，得到8個(gè)屬性的權(quán)重分為：0.200,0.300,0.150,0.050,0.050，0.100,0.100,0.050。

步驟3：基于步驟2中得出的屬性權(quán)重值，代入式（13）和式（14）中，得到加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣如表6所示。

表6 加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

步驟4：基于步驟2中得出屬性權(quán)重值，代入式（16）中，得到5種空調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)值之和P分別為0.022,0.014,0.024,0.031,0.034。

步驟5：根據(jù)式（18）找出標(biāo)準(zhǔn)值之和的最大值。

步驟6：根據(jù)式（19）計(jì)算得到每種品牌的空調(diào)的效用度分別為0.647,0.412,0.706,0.912,1.000。

由步驟6的結(jié)果可知，每種空調(diào)的效用度的取值范圍是介于0%～100%之間，在進(jìn)行不同品牌的空調(diào)選擇過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)每種空調(diào)的效用度大小進(jìn)行最佳方案的選擇，即對(duì) Ui從大到小進(jìn)行排序，排序結(jié)果為 U5〉U4〉U3〉U1〉U2。第5種品牌的空調(diào)的效用度最大，則該企業(yè)在采購(gòu)時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮A5品牌的空調(diào)，若該品牌供應(yīng)商的供應(yīng)量能夠滿足該企業(yè)的需求量，則只需要采購(gòu)該品牌空調(diào)即可；若供應(yīng)量不足，則不足的部分應(yīng)在A4品牌的空調(diào)供應(yīng)商處采購(gòu)，以此類推，直到采購(gòu)的量滿足該企業(yè)需求量為止。

為說(shuō)明本文方法的有效性，使用TOPSIS方法對(duì)方案進(jìn)行排序。為了使對(duì)比效果更加突出，采用同樣的方法對(duì)專家的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行處理，即采用猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集表達(dá)專家的評(píng)價(jià)信息；利用min-upper和max-lower算子集結(jié)專家的評(píng)價(jià)信息，將多粒度的猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集轉(zhuǎn)化為語(yǔ)義區(qū)間數(shù)；采用二元語(yǔ)義詞計(jì)算方法將語(yǔ)義區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)值區(qū)間數(shù)；直接取區(qū)間數(shù)上限、下限的平均值作為T(mén)OPSIS方法決策矩陣的元素如表7所示。其中，參考本文案例步驟2得到各個(gè)屬性的權(quán)重值分別為0.200,0.300,0.15,0.050,0.050,0.100,0.100,0.050。最后采用TOPSIS方法計(jì)算每個(gè)方案的貼近度Si分別為0.346,0.005,0.827,0.255,0.980。根據(jù)貼近度的大小進(jìn)行排序的結(jié)果為S5〉S3〉S1〉S4〉S2。通過(guò)排序結(jié)果可知，兩種方法對(duì)方案A4的排序位置存在差異，這是因?yàn)門(mén)OPSIS是一種補(bǔ)償方法，可以在各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之間提供明確的權(quán)衡，即允許在各種決定因素之間進(jìn)行折中，一個(gè)因素的不良影響可以用其他因素的良好效應(yīng)來(lái)補(bǔ)償。而COPRAS是根據(jù)決策屬性的重要度和效用度進(jìn)行逐步排序、估計(jì)，使得排序結(jié)果更加貼近實(shí)際。

表7 基于TOPSIS方法的決策矩陣

另外，采用直接取上限、下限平均值的方法將區(qū)間形式的決策矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值形式的決策矩陣作為T(mén)OPSIS方法的輸入，誤差較大。而COPRAS方法的輸入直接就是區(qū)間形式的決策矩陣，更加符合實(shí)際決策情境。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出基于猶豫模糊COPRAS的多屬性群決策方法，建立線性規(guī)劃模型獲得屬性的權(quán)重。具有以下特點(diǎn)：

（1）采用猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集表達(dá)專家評(píng)價(jià)信息，解決了專家在多個(gè)語(yǔ)義術(shù)語(yǔ)間猶豫不定的問(wèn)題，利用min-upper和max-lower算子解決了多個(gè)專家不一致的評(píng)價(jià)信息。

（2）以整體方案的滿意度最大建立線性規(guī)劃模型計(jì)算屬性權(quán)重，客觀有效地解決了屬性權(quán)重的確定問(wèn)題。

（3）采用COPRAS方法計(jì)算每種方案的效用度，該方法在評(píng)估和排序備選方案的過(guò)程中能夠考慮到不同方案的重要性和效度，并且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單透明。

通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)某大型國(guó)企空調(diào)的選購(gòu)問(wèn)題的研究分析，表明了本文方法的有效性與可行性。但猶豫模糊術(shù)語(yǔ)集中各個(gè)語(yǔ)義概率相同，與實(shí)際中個(gè)別情況不符，進(jìn)一步的研究將采用概率語(yǔ)義術(shù)語(yǔ)集對(duì)多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行探討。